|
| |
|
| A258150型 |
| 基于原始毕达哥拉斯三角形的斐波那契（congrous）数除以24的三角形。由6个三角形划分的面积。 |
|
6
|
|
|
|
1, 0, 5, 10, 0, 14, 0, 35, 0, 30, 35, 0, 0, 0, 55, 0, 105, 0, 154, 0, 91, 84, 0, 220, 0, 260, 0, 140, 0, 231, 0, 390, 0, 0, 0, 204, 165, 0, 455, 0, 0, 0, 595, 0, 285, 0, 429, 0, 770, 0, 935, 0, 836, 0, 385, 286, 0, 0, 0, 1190, 0, 1330, 0, 0, 0, 506
(列表；桌子；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)
|
|
|
|
抵消
|
2,3
|
|
|
评论
|
问题是：给定一个平方，找到一个正整数，无论是加上还是减去该平方，都会得到一个平方。也就是说，x^2+C=y^2和x^2-C=z^2。等价：z^2+C=x^2和x^2+C=y^2（算术级数中的平方）。这在斐波那契的《平方书》（Liber Quadratorum，1225）中有论述，但对有理x，y，z来说是如此。参见Sigler参考文献，命题14，第53-74页（请注意，第53页上这个问题的表述是不正确的，“从一个正方形”应改为“从同一正方形”）。另见范德瓦尔登（van der Waerden），第40-42页，A.Weil，第13-14页。所需的数字C被斐波那契（Fibonacci）称为聚合数（Sigler翻译中的聚合数）。
关于这个问题的历史，请参阅Dickson，第459-472页（他使用了（误导性的）同余数术语）。
以下解决方案基于基本勾股三角形。（斐波那契的解基于奇数平方和。）三角形T（n，m）=24*C（n，m）对于那些不导致原始毕达哥拉斯三元组的（n，米）将为0。
将两个方程相加，替换y=u+v>0和z=|u-v|，再除以2，得到x^2=u^2+v^2。考虑原始毕达哥拉斯三元组（u，v，x），其中偶数v是相对素的两两。那么GCD（u，v，x）=1。u、v和x的公因数f将导致在两个方程的两边乘以f^2。关于原始毕达哥拉斯三元组，请参见A249866型一个是u=n^2-m^2，v=2*n*m和x=n^2+m^2（GCD（n，m）=1，n>m>=1，n+m奇数）。那么C=C（n，m）=4*n*m*（n^2-m^2）=2*v（n，m）*u（n，米）。这是毕达哥拉斯三角形面积的四倍。C可以被4整除！=24（参见A020885型). 定义T（n，m）=C（n，m）/4！，对于2<=m+1<=n，这是相应的原始毕达哥拉斯三角形的面积除以6。
T（n，m）=n*m*（n^2-m^2）/6，对于m=1，2。。。，n-1，对于n>=2，在m=1时为最小值，在m=n-1时，n>=3时为次大值。注意，这里考虑了所有（n，m）对。第一部分的证明很容易。对于m=2，3，…，T（n，m）-T（n，n-1）>0的证明。。。，n-2和n>=3等价于n^2*（m-2）+3*n>m^3+1，这在n>=m+2和m>=2时很容易证明。因此，带0的三角形T（n，m）在m=1时，偶数n达到最小的非零行条目，奇数n时，最小的非零行条目出现在m=n-1（最后一个条目）。
这允许我们（在求解奇偶n的两个三次方程后，命名为ne=ne（n）和no=no（n））找到行号nmin（n）=max（ne（n），no（n。
Giovanni di Palermo（巴勒莫的约翰大师）向斐波纳契提出的最初问题是找到一个[有理]正方形，当增加或减少5时即为正方形。斐波纳契在第17号命题（见Sigler，第77-81页）中，在他的Liber Quadratorum中给出了x^2=（41/12）^2=1681/144，y^2=。这对应于整数四元组（C；x，y，z）=（720；41，49，31），对应于原始毕达哥拉斯三元组[9，40，41]。参见（n，m）=（5，4）的示例。
如果m+n>3且不能被3整除，则m+n|T（n，m）。
此外，如果2n-1>3且不能被3整除，则2n-1=6k+-1，且T（n，n-1）=（2n-1）*P（-+k），其中P（-+k）是广义五边形数(A001318号). 例如，T（6,5）=11*P（-2）=11x5。
|
|
|
参考文献
|
L.E.Dickson，《数字理论史》。卡内基公共研究所。256，华盛顿特区，第2卷，1920年，第459-472页。
L.E.Sigler、Leonardo Pisano、Fibonacci，《正方形之书》，学术出版社，1987年。
B.L.van der Waerden，《代数史》，施普林格出版社，1985年，第40-42页。
安德烈·威尔（AndréWeil），《数论：穿越历史的方法》（Number Theory，An approach through history），《从汉谟拉比到勒让德》（From Hammurapi to Legendre），伯卡用户出版社，1984年，第13-14页。
|
|
|
链接
|
|
|
|
配方奶粉
|
T（n，m）=n*m*（n^2-m^2）/6，如果2<=m+1<=n，n+m奇数，GCD（n，m）=1，否则为0。
|
|
|
例子
|
三角形T（n，m）开始于：
n \ m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2: 1
3: 0 5
4: 10 0 14
5: 0 35 0 30
6: 35 0 0 0 55
7: 0 105 0 154 0 91
8: 84 0 220 0 260 0 140
9: 0 231 0 390 0 0 0 204
10: 165 0 455 0 0 0 595 0 285
11: 0 429 0 770 0 935 0 836 0 385
12: 286 0 0 0 1190 0 1330 0 0 0 506
...
偶数n的每一行的最小非零数是T（n，1），奇数n的最小非零数是T（n，n-1）。
对于N=300，上述nmin（N）为12。
因此，对于n>12的行，不会出现大于300的数字。
-----------------------------------------------------
相应的四元数（C；x，y，z）为：
n=2:（24；5，7，1），
n=3：（120；13，17，7），
n=4：（240；17，23，7），（336；25，31，17），
n=5：（840；29，41，1），（720；41，49，31），
n=6：（840；37，47，23），（1320；61，71，49），
n=7：（2520；53，73，17），（3696；65，89，23），
(2184; 85, 97, 71),
n=8：（2016；65，79，47），（5280；73，103，7），
(6240; 89, 119, 41), (3360; 113, 127, 97),
n=9：（5544；85113，41），（9360；97137，7），
(4896; 145, 161, 127),
n=10:（3960；10111979），（10920；10915131），
(14280; 149, 191, 89), (6840; 181, 199, 161),
n=11：（10296；125，161，73），（18480；137，193，17），
(22440; 157, 217, 47), (20064; 185, 233, 119),
(9240; 221, 241, 199),
n=12：（6864；145，167，119），（28560；169，239，1），
(31920; 193, 263, 73), (12144; 265, 287, 241),
...
-----------------------------------------------------
相应的原始毕达哥拉斯三元组
（u，v，x）为：
n=2:[3，4，5]，
n=3:[5，12，13]，
n=4:[15，8，17]，[7，24，25]，
n=5:[21,20,29]，[9,40,41]，
n=6:[35，12，37]，[11，60，61]，
n=7:[45，28，53]，[33，56，65]，
[13, 84, 85],
n=8:[63，16，65]，[55，48，73]，
[39, 80, 89], [15, 112, 113],
n=9:[77，36，85]，[65，72，97]，
[17, 144, 145],
n=10:[99，20，101]，[91，60，109]，
[51, 140, 149], [19, 180, 181],
n=11:[117，44，125]，[105，88，137]，
[85，132，157]，[57，176，185]，
[21, 220, 221],
n=12:[143，24，145]，[119，120，169]，
[95, 168, 193], [23, 264, 265],
...
|
|
|
数学
|
温度[n_，m_]/；2<=m+1<=n&&OddQ[n+m]&&互质Q[n，m]：=n*m*（n^2-m^2）/6；T[_，_]=0；表[T[n，m]，{n，2，12}，{m，1，n-1}]//扁平(*Jean-François Alcover公司，2015年6月16日，在给定公式后*）
|
|
|
交叉参考
|
|
|
|
关键词
|
|
|
|
作者
|
|
|
|
状态
|
经核准的
|
| |
|
|
