这里的“标准订单”是指由Maple的“排序”命令生成的订单。
根据“sort”命令的Maple帮助文件,多个变量中的多项式“按总度数排序,按字典顺序断开关系(这称为分级字典顺序)”
例如,x_1^2*x_3=x_1*x_1*x_3>x_1*x2*x_2=x_1*x_2^2,而x_1^2*x_4=x_1x_1*x1*x_4>x_1x_2*x_3。(结束)
形式泰勒级数f(x)=1+x[1]x+x[2]x^2/2!+,该项的划分多项式给出了d[log(f(x))]/dx=L_1(x[1])+L_2(x[1],x[2])x+L_3(…)x^2/2!+。。。,并且x[n]=t的归约多项式的系数是有符号的A028246号.
提升算子R=x+d[log(f(d)]/dD=x+L_1(x[1])+L_2[x[1],x[2])d+L_3(x[1],x[2],x[3])d^2/2!+。。。D=D/dx生成一个Appell多项式序列,由P_n(x[1],…,x[n];x)=(x[.]+x)^n=Sum_{k=0..n}二项式(n,k)x[k]*x^(n-k)=R^n1暗含f.f(t)*e^(x*t)=exp[t P。P_0=x[0]=1。
本影合成逆Appell序列由R=x-d[log(f(d))]/dD生成,例如f.e^(x*t)/f(t)=exp[t IP。对于n>0,IP_0=x[0]=1和x[n]=-1的约化IP_n(x[1],…,x[n];x)多项式的无符号数组为A154921号,其中f(t)=2-e^t.(结束)
Appell形式允许提升算子R的幂基x^n中的矩阵表示,该提升算子包含该数组的划分多项式L_n(x[1],…,x[n]):
VP_(n+1)=VP_n*R=VP_n*XPS^(-1)*MX*XPS,其中XPS是由Pascal矩阵PS的第n对角线乘以A007318号通过不确定的x[n],其中对于一的主对角线x[0]=1,即XPS[n,k]=PS[n,k]*x[n-k];矩阵MX是A129185号; 矩阵XPS^(-1)是XPS的逆矩阵,它可以通过将Pascal矩阵的对角线乘以A133314号即XPS^(-1)[n,k]=PS[n,k]*IPT(n-k,x[1],…);VP_n是幂基中的行向量,表示由矩1,x[1],x[2],…,的基本序列形成的Appell多项式P_n(x)。。。,即,本影P_n(x)=(x[.]+x)^n=Sum_{k=0..n}二项式(n,k)*x[k]*x^(n-k)。
那么R=XPS^(-1)*MX*XPS是Pascal矩阵PS,其中一个附加的第一个超对角线是1,另一个下对角线乘以该数组的划分多项式,即R[n,k]=PS[n,k]*L_{n+1-k}(x[1],…,x[n+1-k]),但一个的第一个超级对角线除外。
一致地,VP_n=(1,0,0,…)*R^n=(1、0,0…)*XPS^(-1)*MX^n*XPS=(1)、0…)*MX^n*XPS=XPS的第n行向量,这是P_n(x)=(x[.]+x)^n的向量表示,其中x[0]=1。
有关反映矩阵表示的本影表示R=exp[g.*D]*x*exp[h.*D],请参见Copeland链接。
第一类St1_n(a[1],a[2],…,a[n])的Stiling配分多项式A036039号,第二类St2_n(b[1],b[2],…,b[n])的Stling配分多项式A036040型,和改进的Lah多项式Lah_n[c[1],c[2]。。。,c【n】)第页,共页A130561型是分别位于不同不定项a[1]、b[1]和c[1]中的Appell序列。将其提升运算符的公式与本条目中的公式进行比较,L_n(x[1],x[2],…,x[n])的计算结果为
A) (n-1)!*对于x[n]=St1_n(a[1],a[2],…,a[n]),则为a[n][n];
B) x[n]=St2_n(B[1],B[2],…,B[n])的B[n]:x[n];
C) n!*号对于x[n]=Lah_n(c[1],c[2],…,c[n]),c[n]。
相反,来自各自的示例f.s(2016年9月12日添加)
D) x[n]=St1_n(L_1(x[1])/0。。。,L_n(x[1],…,x[n])/(n-1)!);
E) x[n]=St2_n(L_1(x[1])。。。,L_n(x[1],…,x[n]);
F) x[n]=Lah_n(L_1(x[1])/1。。。,L_n(x[1],…,x[n])/n!)。
给定只有Appell序列没有例如f.的闭合形式,就可以使用这种形式来生成提升算子,正如对A134264号.(结束)
对于上述Appell序列,提升算子与递归P_(n+1)(x)=x*P_n(x)+Sum_{k=0..n}二项式(n,k)*L_(n-k+1)(x[1],…,x[n+k-1])*P_k(x)有关。有关形式累积量(c_n=L_n(x[1],…))和矩(m_n=x[n])的推导和连接,请参阅非交叉分区上的Copeland链接。当x=0时,递归减少为x[n+1]=Sum_{k=0..n}二项式(n,k)*L_(n-k+1)(x[1],…,x[n+k-1])*x[k],x[0]=1。此数组是的不同顺序版本A127671号. -汤姆·科普兰,2016年9月13日
参见Getzler第2页,了解在计算亏格1稳定曲线的Deligne-Mumford-Knudsen模空间时使用的称为项链的稳定图的关系-汤姆·科普兰2019年11月15日
关于Connes和Moscovici提出的与函数合成相关的组合Faa-di-Bruno-Hopf代数的关系,请参见Figueroa等人-汤姆·科普兰2020年1月17日
Appell序列的例如f.是f(t)e^(x*t),其中f(0)=1。给定Laguerre-Polya类函数f(t)=e^(-a*t^2+b*t)Product_m(1-t/z_m)e^D^k,其中c_k=Sum_m(1/(z_m)^k),即零的倒数幂的迹。从前面的注释中的R来看,b=L_1(x_1),否则c_k=-L_k(x1,…,x_k)。
Laguerre/Turan/de Gua不等式(Csordas、Williamson和Skovgaard)表明,每个Appell多项式的所有零点都是实的且简单的,其极值是x轴上方的局部极大值和下方的局部极小值,并且位于下一个较低阶Appel多项式零点的上方或下方。(结束)
a_n=n!*b_n=(n-1)!*对于n>0,用f(0)=a0=b0=1表示函数
A) 指数生成函数(例如f),或形式泰勒级数:f(x)=e^{A.x}=1+Sum_{n>0}A_n*x^n/n!
B) 普通生成函数(o.g.f.),或形式幂级数:f(x)=1/(1-B.x)=1+Sum{n>0}B_n*x^n
C) 对数生成函数(l.g.f):f(x)=1-log(1-C.x)=1+Sum{n>0}C_n*x^n/n。
对数(f(x))的展开式如所示
一)A127671号和A263634型对于例如f:log[e^{a.*x}]=e^{L.(a_1,a_2,…)x}=Sum_{n>0}L_n(a_1,…,a_n)*x^n/n!,对数多项式、累积展开多项式
二)2016年2月对于o.g.f.:log[1/(1-b.x)]=log[1-f(b_1,b_2,…)x]=-求和{n>0}f_n(b.1,…,b_n)*x^n/n,Faber多项式。
exp(f(x)-1)的展开式如下所示
三)A036040型对于例如f:exp[e^{a.x}-1]=e^{BELL.(a_1,…)x},BELL/Touchard/指数配分多项式,即第二类Stirling配分多项式
四)A130561型对于一个o.g.f.:exp[b.x/(1--x)]=e^{LAH.(b.,…)x},LAH划分多项式
五)A036039号对于l.g.f.:exp[-log(1-c.x)]=e^{CIP.(c1,…)x},对称群S_n的循环指数多项式,也称为第一类斯特林配分多项式。
由于exp和log是一个组合逆对,因此可以从exp集中提取分区多项式的log集的不确定性,反之亦然。有关这些多项式之间的关系以及连通和不连通图/映射的组合学的讨论,请参阅Novak和LaCroix关于经典矩和累积量的文章以及A036040型.(结束)
忽略符号,这些多项式出现在第343页的方程组(II)中的Schröder和第31页的Stewart译文中-汤姆·科普兰2021年8月25日