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| A239903型 |
| 限制增长字符串列表_{k-1}一个_{k-2}。。。一个_{2} 一个_{1} 当k=2和a1在{0,1}或k>2时，a{k-1}=1和a{j+1}>=1+aj，对于k-1>j>0。 |
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14
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0, 1, 10, 11, 12, 100, 101, 110, 111, 112, 120, 121, 122, 123, 1000, 1001, 1010, 1011, 1012, 1100, 1101, 1110, 1111, 1112, 1120, 1121, 1122, 1123, 1200, 1201, 1210, 1211, 1212, 1220, 1221, 1222, 1223, 1230, 1231, 1232, 1233, 1234, 10000, 10001, 10010, 10011
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,3
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评论
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我们把非负整数写成限制增长字符串（J.Arndt在他的书fxtbook.pdf，第325页中称之为），这样加泰罗尼亚数字（参见。A000108号)表示为：1=1，10=2，100=5，1000=14等，10…0（带k个零）=第k个加泰罗尼亚数字。一旦限制增长字符串的条目增长到9以上，就需要逗号或括号来分隔这些条目。精确定义见Dejter（2017）。
在“中层记数系统”一文中，限制增长字符串（RGS）被定义为以0或1开头的序列，右边的每个连续数至少为零，最多比它的最左边的相邻数大一个。此外，除了情况a（0）外，RGS是限制增长的有限整数序列，它总是以1作为第一个元素b_1在位置1开始，从那时起，序列中的每个连续元素b_{i+1}被限制在[0，（b_i）+1]范围内。
该序列以大小和字典顺序给出所有此类有限序列，通过连接此类有限序列的整数表示为十进制数（例如，从[1,2,0,1]我们得到1201）。58784这样的序列是[1，2，3，4，5，6，7，8，9，9]，因此a（58784）=1234567899，然后是第一个RGS，[1，2,3,4,5,6,7,8,9,10]，其中存在大于9的元素，这意味着这里使用的十进制只有在n=58784之前是明确的。注意58785=A000108号(11)-1.
此外，如果考虑斯坦利对加泰罗尼亚数字的解释（u），“a_1，a_2，…，a_n的整数序列，使得a_1=0和0<=a_{i+1}<=a{i}+1”（例如，对于C_3，000，001，010，011，012），并丢弃它们的初始零，那么我们与长度较短的Dejter的RGS具有双向对应，它们又与该序列的第一个C_n项（通过丢弃任何前导零）从a（0）到a（C_n-1）进行双向对应。由此得出第k个加泰罗尼亚数字，A000108号（k） （k>0），在这个系统中表示为1后面跟着k-1个零：a（1）=1，a（2）=10，a（5）=100，a（14）=1000，等等，并且还存在精确的A000245型（k） 长度k的RGS。
请注意，这与使用加泰罗尼亚数字的其他数字表示法有何不同，A014418号和A244159号因为后者是基本系统，其中一个简单的加权和{k}数字（k）*C（k）恢复自然数n（该系统的第n个数字表示），而这里它是加泰罗尼亚三角中适当项的总和(A009766号,A030237号)，通过对某个组合结构的唯一实例（加泰罗尼亚解释之一）进行取消排序而获得，该组合结构给出了与唯一自然数的对应关系。（另请参阅A014486号.)
请参阅Dejter的预印本，以获得更正式的数学定义，以及这个数字系统是如何应用于哈维尔关于中间层图中哈密顿环存在的猜想的。
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参考文献
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D.E.Knuth，《计算机编程的艺术》，第2卷：半数值算法，第三版，Addison-Wesley，1977年，第192页。
R.P.Stanley，《枚举组合数学》，剑桥，第2卷，1999年，练习19，解释（u）。
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链接
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Joerg Arndt，《计算问题：思想、算法、源代码》，施普林格出版社，2011年；可在此处免费下载：Fxtbook（传真簿）.
伊塔洛·J·德杰特，中层记数系统，arXiv:1012.0995[math.CO]，（2014）。
Italo J.Dejter，中层图的数字系统，Elec.J.图论与应用（2021），第9卷，第1期，137-156。见第138页。
Aviezri S.Fraenkel，数词系统的使用和用途，信息计算。，81(1), (1989), 46-61.
Aviezri S.Fraenkel，记数系统，IEEE计算机算术研讨会，（1983年），37-42。
Aviezri S.Fraenkel，记数系统《美国数学月刊》，第92卷，第2期（1985年2月），第105-114页。
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配方奶粉
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要找到与自然数n对应的RGS，首先要找到最大行索引k，使得加泰罗尼亚三角中的T（k，k-1）<=n(A009766号)如示例部分所示。注意，三角形的最后两列由加泰罗尼亚数字组成（即T（k，k-1）=T（k、k）=A000108号（k） ），这意味着从n中减去的第一个数字是A081290号（n） 作为行的倒数第二个元素出现A081288号（n） -1，在列中A081288号（n） -2。然后，取消排序算法沿对角线向下进行，保持列索引不变，并增加行索引，只要遇到的项的总和小于或等于n。
如果该对角线上遇到的项的总和超过n，则算法跳回到三角形的倒数第二列，但从上次开始的位置再高出一行，只要总和小于等于n，算法就会再次开始对项进行求和。
当算法最终到达零行或小于零列时，结果将是一个数字列表，每个元素都是从每个对角线求和的项数，因此第一个遍历的对角线显示为第一个1（因为第一个对角线永远不会允许多个项），并且从最后一个遍历的对角线求和的项数显示在列表中的最后一个数字。然后将这些数字列表连接为十进制数字。
这些步骤也可以向后播放，以便从这样的数字列表中恢复相应的十进制整数n，从而给出一个“排序函数”，该函数将与该“取消排序函数”相反。
另一种更简单的算法描述安蒂·卡图恩2014年4月21日：（开始）
行|该行上的术语
---+--------------------------
1 | 1 1 1 1 1 ...
2 | 2 3 4 5 6 ...
3 | 5 9 14 20 27 ...
4 | 14 28 48 75 110 ...
5 | 42 90 165 275 429 ...
6 | 132 297 572 1001 1638 ...
要计算第n个RGS，首先搜索最大的加泰罗尼亚数字C_k，即<=n（这是A081290号（n） ，作为行的第一项A081288号（n） -1）。然后，通过贪婪算法，从每一连续行中（向表格顶部移动）选择该行开头仍适合n的尽可能多的项，然后从n中减去它们。从每行开头选择的术语数给出了第n个RGS的每个元素，因此从最上面一行（全部为1）选择的术语数量显示为其最后一个元素。
（结束）
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例子
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加泰罗尼亚三角T（行，列）=A009766号以行n=0和0<=col<=n开头，如下所示：
第0行：1
第1行：1，1
第2行：1、2、2
第3行：1、3、5、5
第4行：1、4、9、14、14
第5行：1、5、14、28、42、42
第6行：1、6、20、48、90、132、132
（1s最左边的对角线是“列0”）。
...
例如，对于n=38，我们发现A081290号（38）=14，发生在第行A081288号（n） -1=4，列中A081288号（n） -1和A081288号（n） -2，即T（4,4）和T（4,1）。因此，我们减去38-14得到24，我们看到在同一对角线上向下的下一项28太大，无法容纳到相同的和中，所以我们从T（3,2）=5开始向上走一条对角线。这很合适，所以我们现在有24-5=19，同样对角线上的下一项T（4,2）=9也很合适，因此我们现在有19-9=10。同一对角线上的下一个项T（5,2）=14不再适合，所以我们把自己倒回倒数第二列，但从我们开始的对角线开始，又向前走了一步，所以T（2,1）=2，它适合，10-2=8，还有下一个T（3,1）=3，8-3=5，下一个是T（4,1）=4，5-4=1，然后是T（5,1）=5>1，因此，我们跳转到T（1,0）=1，1-1=0，并且T（2,0）=1将不再适合，因此下一次该行将为零，并且算法已经准备好，收集了1（14）、2（5+9）、3（2+3+4）和1（1）个项，它们的总和为14+5+9+2+3+4+1=38，因此a（38）=1231。
对于n=20，相同的算法会得到1（14）、1（5）、0（甚至第1列中的第一个暂定项T（2,1）=2都不适合，因此跳过了），从更高的一行中我们得到了所需的1（1），因此这些总和是14+5+0+1=20，因此a（20）=1101。
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数学
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A239903full=带[{r=2*Range[2，11]-1}，反转[Map[FromDigits[r-#]&，Rest[Select[Subsets[Range[2,11]，{10}，125477]，Min[r-#]>=0&]]]]；
A239903全[[；；100]](*保罗·沙萨2024年2月17日*）
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黄体脂酮素
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（最大值）
定义（t（j，k），（阶乘（k+j）*（k-j+1））/（阶乘；
i： 0；
x： 19；
z： 0；y： 0；s： 0；
当x>=t（i，i+1）do（i:i+1）时；
y： t（i-1，i）；a： 零矩阵（1，i）；a[1,1]:1；k： 2个；z： x-y；m： 1；
而（z>0）则(
w： 0，秒：0，p=0，
而（w<=z）do(
p： w、，
w： w+t（i-1-m，
s： 秒+1
),
m： m+1，
a[1，k]：s-1，k:k+1，
z： z-p型
);
打印（a）；
（MATLAB）
函数[c]=catrep（z）
i=0；x=0；y=0；s=0；
而z>=（阶乘（2*i+1）*（2））/（阶乘（i）*阶乘（i+2））
i=i+1；
结束
y=（阶乘（2*i-1）*（2））/（阶乘（i-1）*阶乘（i+1））；
a=零（1，i）；a（1，1）=1；k=2；x=z-y；m=1；
当x>0时
w=0；s=0；p=0；
而w<=x
p=w；
w=w+（阶乘（2*i-2*m+s-1）*（s+2））/（阶乘，i-1-m）*阶乘（i-m+s+1））；
s=s+1；
结束
m=m+1；a（1，k）=s-1；k=k+1；x＝x-p；
结束
一
结束
（方案）
;; 以下给出了n=58784的正确结果。
（定义（A239903原始n）（如果（零？n）（列表）（让循环（（n n）（行(A244160型n） ）（列（-(A244160型n） 1））（srow（-(A244160型n） 1））（catstring（列表0）））（cond（（or（zero？row）（negative？col））（reverse！（cdr catstring））（（>（A009766tr row col）n）（loop n srow（-col 1）（-srow 1）（cons 0 catstring
（定义（基线列表为特殊列表）（基线列表->n 10列表））
（定义（基线->n基本边界）（let loop（（bex-bex）（n 0））（cond（（null？bex）n））（else（loop（cdr-bex））（+（*n基本）（car-bex））））
（朱莉娅）
函数CatalanNumerals（z）
z==0&&返回0
f（n）=阶乘（n）
t（j，k）=div（f（k+j）*（k-j+1），f（j）*f（k+1））
k、 i=2,0
而z>=t（i，i+1）i+=1结束
dig=填土（0，i）；挖[1]=1
x=z-t（i-1，i）
m=i-1
当x>0时
w、 s，p=0，0，0
而w<=x
p=w
w+=t（m-1，m+s）
s+=1
结束
挖[k]=s-1
m-=1；k+=1；x=p
结束
s=“”；对于挖掘中的d，s*=字符串（d）结束
解析（Int，s）
结束
[CatalanNumerals（n）for n in 0:42]|>打印ln#彼得·卢什尼2019年11月10日
nxt（w）=如果（w[1]==#w，向量（#w+1，i，i>#w），my（k=1）；而（w[k]>w[k+1），w[k]=0；k++）；w[k]++；w）
seq（n）=｛my（a=向量（n），w=[1]）；a[1]=0；for（i=2，#v，a[i]=从数字（Vecrev（w））；w=nxt（w））；a｝\\安德鲁·霍罗伊德2023年1月24日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A007001号,A007623号,A014418号,A071154号,A071159美元,A081288号,A081290号,A081291号,A082853号,A126307号,A244155号,A244156号,A244157号,A244158号,A370222型.
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关键词
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非n,基础,最终
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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