A163940-OEIS公司

A163940型

与发散级数有关的三角形1^m*1！-2^m*2！+3^m*3！-4^m*4！+。。。对于m>=-1。

1, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 5, 3, 0, 1, 9, 17, 4, 0, 1, 14, 52, 49, 5, 0, 1, 20, 121, 246, 129, 6, 0, 1, 27, 240, 834, 1039, 321, 7, 0, 1, 35, 428, 2250, 5037, 4083, 769, 8, 0, 1, 44, 707, 5214, 18201, 27918, 15274, 1793, 9, 0, 1, 54, 1102, 10829, 54111, 133530, 145777, 55152, 4097, 10, 0 (列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

	抵消	`0,5`
	评论	`发散级数g（x，m）=Sum_{k>=1}（-1）^（k+1）k^mkx^k，m>=-1与高阶指数积分E（x，m，n=1）有关，请参见A163931号.` `哈代，见下面的链接，描述了欧拉是如何得出这样一个令人惊讶的结论：g（x，-1）=exp（1/x）Ei（1,1/x），其中Ei（1，x）=E（x，m=1，n=1）。从这个结果可以得出g（x，0）=1-g（x、-1）。按照欧拉的足迹，我们发现g（x，m）=（-1）^（m）（m（x，m）x-ST（x，米）Ei（1,1/x）exp（1/x））/x^（m+1），m=>-1。` `所以g（x=1，m）=（-1）^m(A040027号（米）-A000110号（m+1）A073003型)，使用A040027号（m=-1）=0。我们观察到A073003型=-exp（1）Ei（-1）是Gompertz常数，A000110号是贝尔号码和A040027号几年前由古尔德出版。` `M（x，M）=Sum_{k=0..M}a（M，k）x^k的多项式系数，对于M>=0，导致上述三角形。我们指出M（x，M=-1）=0。` `ST（x，m）=Sum_{k=0..m+1}S2（m+1，k）*x^k，m>=-1的多项式系数导致第二类斯特林数，参见A106800标准.` `生成左侧列系数的公式得出Minkowski数A053657美元。我们在A163972号.` `右侧列具有简单的生成函数，请参见公式。我们在第一个Maple程序中使用它们来生成三角形系数（n>=0和0<=k<=n）。第二个Maple程序在x=1时计算m>=-1时的g（x，m）值。`
	链接	`n，a（n）的表，n=0..65。` `G.H.哈代，分歧者系列牛津大学出版社，1949年。第26-29页和第7-8页。` `莫里斯·德戈松、布兰科·德拉戈维奇和安德烈·赫伦尼科夫，一些p-adic微分方程，（见第5节），arxiv:math-ph/00100232000年10月。`
	配方奶粉	`右边列的生成函数是Gf（p，x）=1/（（1-（p-1）x）^2Product_{k=1..p-2}（1-kx））；Gf（1，x）=1。右第一列p=1，第二列p=2，依此类推。。` `发件人彼得·巴拉2013年7月23日：（开始）` `推测显式公式：T（n，k）=Stirling2（n，n-k）+（n-k）Sum_{j=0..k-1}（-1）^jStirling（n，n+1+j-k）j！对于0<=k<=n。` `第n行多项式R（n，x）似乎满足递归方程R（n、x）=nx^（n-1）+和{k=1..n-1}二项式（n，k+1）x^（n-k-1）*R（k，x）。行多项式似乎只有实数零。（完）`
	例子	`前几行三角形为：` `[1]` `[1, 0]` `[1, 2, 0]` `[1, 5, 3, 0]` `[1, 9, 17, 4, 0]` `[1, 14, 52, 49, 5, 0]` `前几个M（x，M）是：` `M（x，M=0）=1` `M（x，M=1）=1+0x` `M（x，M=2）=1+2x+0x^2` `M（x，M=3）=1+5x+3x^2+0x^3` `前几个ST（x，m）是：` `ST（x，m=-1）=1` `ST（x，m=0）=1+0x` `ST（x，m=1）=1+1x+0x^2` `ST（x，m=2）=1+3x+x^2+0x^3` `ST（x，m=3）=1+6x+7x^2+x^3+0x^4` `前几个g（x，m）是：` `g（x，-1）=（-1）（-（1）Ei（1,1/x）exp（1/x））/x^0` `g（x，0）=（1）（1）x-（1）1i（1,1/x）exp（1/x））/x^1` `g（x，1）=（-1）（1）x-（1+x）Ei（1,1/x）exp（1/x））/x^2` `g（x，2）=（1）（（1+2x）x-（1+3x+x^2）Ei（1,1/x）exp（1/x））/x^3` `g（x，3）=（-1）（（1+5x+3x^2）x-（1+6x+7x^2+x^3）Ei（1,1/x）*exp（1/x））/x^4`
	MAPLE公司	`nmax:=10；对于p从1到nmax do Gf（p）：=转换（级数（1/（（1-（p-1）x）^2乘积（（1-k1x），k1=1..p-2）），x，nmax+1-p），多项式）；对于从0到nmax-p的q，做a（p+q-1，q）：=系数（Gf（p），x，q）od:od:seq（seq（a（n，k），k=0..n），n=0..nmax-1）；` `#结束程序1` `nmax1：=nmax；A040027号：=过程（n）：如果n=-1，则0 elif n=0，否则1相加（二项式（n，k1-1）A040027号（n-k1），k1=1..n）fi：结束：A000110号：=proc（n）选项记忆；如果n<=1，则另加1（二项式（n-1，i）A000110号（n-1-i），i=0..n-1）；fi；结束时间：A073003型：=-exp（1）Ei（-1）：对于从-1到nmax1的n do g（1，n）：=（-1）^n(A040027号（n）-A000110号（n+1）A073003型)od；` `#结束程序2`
	数学	`nmax=11；` `对于[p=1，p<=nmax，p++，gf=1/（（1-（p-1）x）^2乘积[（1-k1x），{k1，1，p-2}]）+O[x]^（nmax-p+1）//正态；对于[q=0，q<=nmax-p，q++，a[p+q-1，q]=系数[gf，x，q]]]；` `表[a[n，k]，{n，0，nmax-1}，{k，0，n}]//展平(Jean-François Alcover公司2019年11月2日，第1届枫叶计划*）`
	交叉参考	`行总和相等A040027号（古尔德）。` `A000007号,A000027号,A000337号,A163941号和A163942号是右前五列。` `A000012号,A000096号,A163943号和A163944号是前四个左手列。` `囊性纤维变性。A163931号,A163972号,A106800标准（箍筋2），A000110号（贝尔），A073003型（戈佩兹），A053657号（闵可夫斯基），A014619号.` `上下文中的顺序：A293298型 A079134号 A175528号A112340型 A356264型 A037186号` `相邻序列：A163937号 A163938号 A163939号A163941号 A163942号 A163943号`
	关键词	`容易的,非n,表格`
	作者	`约翰内斯·W·梅耶尔2009年8月13日`
	扩展	`编辑人约翰内斯·W·梅耶尔2012年9月23日`
	状态	`经核准的`