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A008303号
行读取的三角形:T(n,k)(n>=1,0<=k<=上限(n/2)-1)=具有k个峰值的[n]排列数。
19
1, 2, 4, 2, 8, 16, 16, 88, 16, 32, 416, 272, 64, 1824, 2880, 272, 128, 7680, 24576, 7936, 256, 31616, 185856, 137216, 7936, 512, 128512, 1304832, 1841152, 353792, 1024, 518656, 8728576, 21253376, 9061376, 353792, 2048, 2084864, 56520704, 222398464, 175627264, 22368256
抵消
1,2
评论
发件人Petros Hadjicostas公司,2019年8月6日:(开始)
安德烈(1895)首次定义了这些数字。在他的符号中,T(n,k)=Q(n+1,2*(k+1))表示n>=1和0<=k<=上限(n/2)-1。
他的三角形如下(第148页):
Q_{2,2}
问题{3,2}
Q_{4,2}Q_{4,4}
Q_{5,2}Q_{4}
Q_{6,2}
Q_{7,2}Q_{7.4}Q_}7,6}
...
当s为奇数,或n<=1,或s>n时,他的Q(n,s)=0。此外,当n>=2时,Q_{n,2}=2^(n-2)。
对于n>=3和s>=2,他的复发率是Q(n,s)=s*Q(n-1,s)+(n-s+1)*Q(n-1,s-2)。(显然,对于s奇数,我们得到Q(n,s)=0+0=0。)
就当前数组而言,Andrés(1895)递归变为T(n,k)=(2*k+2)*T(n-1,k)+(n-2*k)*T。在这种情况下,我们假设T(n,k)=0,k>=上限(n/2)或k<0。
(结束)
发件人Petros Hadjicostas公司2019年8月7日:(开始)
我们进一步澄清了安德烈(1895)定义的Q(n,s)量。在他的论文中,安德烈考虑了[n]的循环置换,并讨论了置换中的极大值、极小值和所谓的“序列”。
安德烈在19世纪的几篇论文中使用的排列中的“序列”一词是指排列中从最大值到最小值的连续数字列表,反之亦然,并且不包含任何内部最小值或最大值。Comtet在Ex.13(第260-261页)中也重复了这一术语(尽管他指的是相应的指数,而不是排列本身中的数字)。
一些作者将这些所谓的“序列”(由André和Comtet定义)称为“交替运行”(或只是“运行”)。如果我们在圆上的两个方向之一按升序读取这些所谓的“序列”,那么我们实际上就是在处理“循环运行”。
Q(n,s)是[n](在(n-1)中)的循环置换数!总共)正好有这些所谓的“序列”(“交替运行”)中的s。
安德烈(1895)证明,在[n]的循环置换中,最大值的数目等于最小值的数目,并且他所谓的“序列”(“交替运行”)的数目总是偶数(即Q(n,s)=0表示s奇数)。
他还表明,如果v=floor(n/2),那么在[n]的循环排列中,所谓“序列”(“交替运行”)的长度的唯一可能值是2,4。。。,2*v.这就是为什么当s是奇数,或n<=1,或s>n时Q(n,s)=0。
注意,求和{t=1..floor(n/2)}Q_{n,2*t}=求和{t=1..flower(n/2”)}t(n-1,t-1)=(n-1)!=[n]的循环置换总数。
由于T(n,k)=Q(n+1,2*(k+1))对于n>=1和0<=k<=上限(n/2)-1,我们得出结论:具有k个峰值的[n]的(线性)排列数等于具有这些所谓“序列”(“交替运行”)的2*(k+1)的[n+1]的循环排列数。
(结束)
发件人Petros Hadjicostas公司,2019年8月8日:(开始)
该数组的作者间接假设[n]的(线性)置换的“峰值”是置换的内部最大值;即,我们忽略了置换端点处的极大值。
类似地,[n]的(线性)置换的“谷”是该置换的内部极小值;即,我们忽略了置换端点处的极小值。
由于置换a_1a_2的补码。。。a_n(使用单行符号,而不是循环符号)是(n+1-a_1)(n+1-a_2)。。。(n+1-a_n),因此,对于n>=2和0<=k<=上限(n/2)-1,T(n,k)也是[n]的(线性)置换数,正好有k个谷。
(结束)
参考文献
弗洛伦斯·南丁格尔·大卫和D.E.巴顿,《组合机会》,查尔斯·格里芬,1962年;见表10.6,第163页。[他们使用符号T_{N,T^*}^{*},其中N是排列的长度,T^*是排列中的峰值数量。他们还给出了André的递推。因此,这里N=N,k=T^*-Petros Hadjicostas公司,2019年8月9日]
佛罗伦斯·南丁格尔·大卫、莫里斯·乔治·肯德尔和D.E.巴顿,《对称函数和联合表》,剑桥,1966年,第261页,表7.3。
I.P.Goulden和D.M.Jackson,《组合计数》,John Wiley and Sons,纽约,1983年,示例3.3.46-Emeric Deutsch公司2009年7月26日
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链接
阿洛伊斯·海因茨,行n=1..200,扁平(Vincenzo Librandi的前30行)
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闫庄,单体网络和按游程计算排列,arXiv预印本arXiv:1505.02308[math.CO],2015。
闫庄,按运行计数排列,J.Comb。理论Ser。A 142(2016),第147-176页。
配方奶粉
发件人Emeric Deutsch公司2009年7月26日:(开始)
例如:g(t,z)=[exp(bz)-exp(az)]/[b*exp-
求和{k>=0}k*T(n,k)=n*(n-2)/3=A090672号(n-1)。
第n行有上限(n/2)条款。(结束)
例如:tan(t*sqrt(x-1))/(sqrtt+2*t^2/2!+(4+2*x)*t^3/3!+(8+16*x)*t^4/4!+。。。。行生成多项式P(n,x)满足x^(n-1)*P(n,1+1/x^2)=R(n-1,x),其中R(n,x)是A185896号.A000670号(n) =(3/2)^(n-1)*P(n,8/9)-彼得·巴拉2011年10月14日
发件人王金源2020年12月28日:(开始)
对于n>1和k>1,T(n,k)=(n-2*k+2)*T(n-1,k-1)+2*k*T(n-1,k);T(n,1)=2^(n-1);当k>1时,T(1,k)=0。
T(2*k-1,k)=A000182号(k) ●●●●。(结束)
发件人阿马尔·卡塔布,2024年8月17日:(开始)
T(2*n,k)=4^(n-k+1)*Sum_{p=0..k}(-1)^p*(2*p+2*n-2*k-1)/(p+2*n-2*k-1(A008292号(2*n,k-p+1)+A008292号(2*n,2*n+p-k))。
T(2*n+1,k)=4^(n-k)*Sum_{p=0..k}(-1)^p*(p+n-k)/(p+2*n-2*k)二项式(p+2*n-2*k,p)(A008292号(2*n+1,k-p+1)+A008292号(2*n,2*n+p-k+1))对于k<>n(结束)
例子
三角形T(n,k)(行n>=1,列k>=0)的起始位置如下:
[ 1] 1;
[ 2] 2;
[ 3] 4, 2;
[ 4] 8, 16;
[ 5] 16, 88, 16;
[ 6] 32, 416, 272;
[ 7] 64, 1824, 2880, 272;
[ 8] 128, 7680, 24576, 7936;
[ 9] 256, 31616, 185856, 137216, 7936;
[10] 512, 128512, 1304832, 1841152, 353792;
T(3,1)=2,因为我们有132和231。
发件人Petros Hadjicostas公司2019年8月7日:(开始)
根据安德烈(1895)的符号(见上面的注释),我们有Q(4,2)=T(3,0)=4和Q(4,1)=T(3,1)=2。
超出(4-1)!=[4]的6个循环排列,排列1324和1423中的每个排列正好有4个所谓的“序列”(“交替运行”),而其余的每个排列(1234、1243、1342和1432)正好有2个所谓的序列(“交替循环”)。
详细地说,我们列出了上述循环排列的所谓“序列”(“交替运行”):
1234-->1234和41(最大值为4,最小值为1)。
1243-->124和431(最多4个,最少1个)。
1324-->13、32、24和41(最大值3、4和最小值1、2)。
1342-->134和421(最多4个,最少1个)。
1423-->14、42、23和31(最大值3、4和最小值1、2),
1432-->14和4321(最多4个,最少1个)。
(结束)
MAPLE公司
#Maple程序生成(通过直接计数)程序中指定的行n的生成多项式。
n:=8:使用(组合):P:=置换(n):st:=proc(P)局部ct,j:ct:=0:对于j从2到nops(P)-1 do,如果P[j-1]<P[j]和P[j+1]<P[j],那么ct:=ct+1 else end if end do:ct end proc:sort(add(t^st(P[j]),j=1。。阶乘(n))#Emeric Deutsch公司2009年7月26日
#第二届枫叶计划:
a:=1+sqrt(1-t):b:=1-sqrt(1-t):G:=(exp(b*z)-exp(a*z))/(b*exp(a**)-a*exp。。ceil((1/2)*n)-1)端do;#以三角形形式生成序列-Emeric Deutsch公司2009年7月26日
#第三届枫叶计划:
b: =proc(u,o,t)选项记忆;展开(`if`(u+o=0,1,
加(b(u-j,o+j-1,0)*x^t,j=1..u)+
加(b(u+j-1,o-j,1),j=1..o))
结束时间:
T: =n->(p->seq(系数(p,x,i),i=0..度(p))(b(n,0$2)):
seq(T(n),n=1..15)#阿洛伊斯·海因茨2014年5月22日
#D.André的复发(1895年)。
T:=proc(n,k)选项记忆;
如果n<1或2*k>(n-1),则返回0fi;
如果k=0,则返回2^(n-1)fi;
(2*k+2)*T(n-1,k)+(n-2*k)*T
seq(seq(T(n,k),k=0..(n-1)/2),n=1..12)#彼得·卢什尼2019年8月6日
数学
来自Luc Roy,2010年7月8日:(开始)
似乎序列的一半A008303号可以通过此Mathematica程序获得:
展开[CoefficientList[Simplify[Inverse Series[Integrate[
序列[(1+m正弦[x]^2)^(-1),{x,0,15},{m,0,15}],x]],x]
分母[系数列表[系列[Exp[x],{x,0,15}],x]]]
(*Luc Roy程序的Mathematica输出*)
{0,1,0,2 m,0,8 m+16 m^2,0,32 m+416 m^2+272 m^3,0,128 m+7680 m^2+44576 m^3+7936 m^4,0,512 m+128512 m^2+1304832 m^3+1841152 m^4+353792 m^5,0,2048 m+2084864 m^2+56520704 m^3+222398464 m^4+175627264 m^5+22368256 m^6,0,8192 m+33497088 m^2+2230947840平方米3+20261765120平方米4+41731645440平方米5+21016670208平方米^6+1903757312平方米7}
(结束)
(*另一个Mathematica程序*)
m=14;a=1+平方[1-t];b=1-平方[1-t];
g[z_]=(E^(b*z)-E^(a*z))/(b*E^;
gser=序列[g[z],{z,0,m}];
Do[p[n]=n*系数[gser,z,n]//简化,{n,0,m}];
扁平[表[系数[p[n],t,j],{n,0,m},{j,0,天花板[n/2]-1}]]
(*从Jean-François Alcover公司的Mathematica程序*)
表[表[系数[p[n],t,j],{n,0,m},{j,0,上限[n/2]-1}]]
(*Petros Hadjicostas公司2019年8月6日*)
gf:=平方[x-1]Cot[y平方[x-1]]-1;ser:=系列[1/gf,{y,0,16}];
cy[n]:=n!系数[ser,y,n];row[n_]:=系数列表[cy[n],x];
表[行[n],{n,1,12}]//展平(*彼得·卢什尼2019年8月6日*)
黄体脂酮素
(C++)
#包含<矢量>
#包括<iostream>
使用命名空间标准;
int峰值(常数向量<int>&perm){
整数pks=0;
for(int i=1;i<perm.size()-1;i++)
如果(perm[i]>perm[i+1]&&perm[i]>perm[i-1])pks++;
返回pks;
}
int main(int argc,char*argv[]){
整数n=1;
如果(argc>1)n=atoi(argv[1]);
int nmax=n+12;
如果(argc>2)nmax=atoi(argv[2]);
对于(;n<nmax;n++){
常数整型kmax=(n+1)/2;
向量<int>Tnk(kmax);
向量<int>perm(n);
对于(int i=0;i<n;i++)perm[i]=i+1;
int pks=峰值(perm);
Tnk[pks]++;
while(next_permutation(perm.begin(),perm.end())){
pks=峰值(perm);
Tnk[pks]++;
}
for(int i=0;i<Tnk.size();i++)cout<<Tnk[i]<<“,”;
}
}
/*R.J.马塔尔2007年6月26日*/
(PARI){T(n,k)=如果(n<1,0,my(z=sqrt(1-y+y*O(y^(n\2)));n!*polcoef(polcoif(z/(z-tanh(x*z)),n,x),k))}/*迈克尔·索莫斯,2023年5月24日*/
交叉参考
发件人Emeric Deutsch公司2009年7月26日:(开始)
第n行中的条目之和为n=A000142号(n) ●●●●。
T(n,0)=2^(n-1)=A000079号(n-1)。
T(n,1)=A000431号(n) ●●●●。
T(n,2)=A000487号(n) ●●●●。
T(n,3)=A000517号(n) ●●●●。
T(2n,n-1)=T(2n+1,n)=A000182号(n+1)(正切数)。(结束)
关键词
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来自的其他评论Emeric Deutsch公司2004年5月8日
更多术语来自R.J.马塔尔弗拉德塔·乔沃维奇2007年6月26日
更正人Emeric Deutsch公司2009年7月26日
编辑的定义-N.J.A.斯隆2023年5月25日
状态
经核准的

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