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(问候来自整数序列在线百科全书!)

G。C。格雷贝尔

(另请参见G。C。格雷贝尔的维基页面)

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显示条目1-10|旧的更改
邮编:A129862 按行读取的三角形:T(n,k)是根系Dμn的(-1)^n乘以Cartan矩阵特征多项式的系数[x^k]。
(历史;已发布版本)
#十九通过G。C。格雷贝尔2021年6月21日星期一16:52:05
状态

编辑

提出

#十八通过G。C。格雷贝尔2021年6月21日星期一16:51:57
公式

T(n,k)=系数((2-x)*Lucas(2*n-2,i*sqrt(x)),其中T(0,0)=1,T(1,0)=2,T(1,1)=-1-G。C。格雷贝尔2021年6月21日

黄体脂酮素

(圣人)

defp(n,x):返回2*(2-x)*sum(((n-1)/(2*n-k-2))*二项式(2*n-k-2,k)*(-x)^(n-k-1)代表k in(0..n-1))

def T(n):返回(p(n,x))。full_simplify()。系数(稀疏=False)

[1,2,-1]+展平([T(n)代表n in(2..12)])#G。C。格雷贝尔2021年6月21日

交叉引用

囊性纤维变性。邮编:A156608,邮编:A156609,邮编:A156610,邮编:A156612,A219233年.

#17通过G。C。格雷贝尔美国东部时间2021年6月21日星期一03:10:44
链接

G。C。格雷贝尔,<a href=“/邮编:A129862/b10..u=100行展平的三角形</a>

例子

三角形开头为:

  1个;

  2,-,   -1个;

  4,-,   -4,,    1个;

  4,-,  -10,,    6,-,    -1个;

  4,-,  -20,,   21,-,    -8,,    1个;

  4,-,  -34,,   56,-,   -36,,   10,-,    -1个;

  4,-,  -52,,  125,-,  -120,,   55,-,   -12,,    1个;

  4,-,  -74,,  246,-,  -329,,  220,-,   -78,,   14,-,   -1个;

  4,-, -100,,  441,-,  -784,,  714,-,  -364,,  105,-,  -16,,   1个;

  4,-, -130,,  736,-, -1680,,1992,-, -1364,,  560,-, -136,,  18,-,  -1个;

  4,-, -164,,1161,-, -3312,,4950,-, -4356,,2379,-, -816,,171,-, -20,,1个;

数学

(*第一个程序*)

Tt[n,m,d_] :=_]:=如果[[n====m、 2,如果[(m====d和n====d--2) || () || (n====d和m====d--2) ,-1,如果[(n====--1 | |北====++1) &&n<=<=d--1和m<=<=d--1,-1,0]]];[d_] :=[T[n,,d], {n,1,d}, {,1,d}];]]];

M[d_j]:=表[t[n,M,d],{n,1,d},{M,1,d}];

p[n_x,x]:=若[n==0,1,特征多项式[M[n],x]];

T[n,k}:系列系数[p[n,x],{x,0,k}];

Table[T[n,k],{n,0,12},{k,0,n}]//展平(*修改人G。C。格雷贝尔2021年6月21日*)

(*第二个程序*)

Join[{1},{2,-1}},系数列表[表[(2--))*卢卡斯[2((n--1) ,Sqrt[-x]],{n,2,10}],x]] //]]//压平(*埃里克W。韦斯坦2018年4月4日*)

状态

经核准的

编辑

邮编:A156584 三角形T(n,k)=SF(n+1)/(SF(n-k+1)*SF(k+1)),其中SF(n)是超因子A000178号(n) ,按行读取。
(历史;已发布版本)
#十一通过G。C。格雷贝尔美国东部时间2021年6月21日星期一00:49:38
状态

编辑

提出

#10个通过G。C。格雷贝尔美国东部时间2021年6月21日星期一00:49:33
姓名

三角形 阅读 通过 ,T(n,k)=平方英尺(n)-+1) /(平方英尺(n-k+1)*平方英尺(k+1))其中SF(n)是超工厂A000178号(n);n>=0,1<=k<=n-1.),阅读 通过

数据

1、1、1、1、3、1、1、12、1、1、60、240、60、1、1、360、7200、360、1、1、2520、302400、1512000、302400、2520、1、1、20160、16934400、508032000、508032000、16934400、20160、1、1、181440、1219276800、256048128000、1536288768000,256048128000,1219276800,181440,1

评论

行和为:1、2、5、26、362、15122、2121842、1049973122、2050823940482、15854719559212802、5522786298803518956802。

链接

G。C。格雷贝尔,<a href=“/邮编:A156584/b156584.txt“>三角形的n=0..30行,展平</a>

公式

G。C。格雷贝尔2021年6月21日:(开始)

T(n,k)=BarnesG(n+3)/(BarnesG(k+3)*BarnesG(n-k+3))。

T(n,k,m)=f(n,m)/(f(k,m)*f(n-k,m)),其中T(0,k,m)=1,f(n,k)=(-1)^n*(n+1)*BarnesG(n+k+1)/(Gamma(k+1)^n*BarnesG(k+1)),f(n,0)=n!,m=1(结束)

例子

{1} 你说,

三角形开头为:

  1个;

{  1,,     1},;

{  1,,     ,,        1},;

{  1,,    12,,       12,,         1},;

{  1,,    60,,      240,,        60,,         1},;

{  1,,   360,,     7200,,      7200,,       360,,        1},;

{  1,,  2520,,   302400,,   1512000,,    302400,,     2520,,     1},;

{  12016016934400508032005080320016934400201601},;

{1814401219276800、256048128000、1536288768000、256048128000、1219276800、181440,1}

数学

(*第一个程序*)

tb[牛,_] =k_]:=如果[==k==0,n!,积[和[(-1)^(i+k+j)*(j+1)*斯特林1[k-j-1,一]*(+k+1) ^i,{i,0,k-j-1} ]{kj,1,n}]];

bT[n,k,m]=如果[n====0,1,tb[牛,米]/(tb[克,米]*tb[牛顿--k、 m])];

Table[Flatten[Table[Table[b[n,k,m],{k,0,n}],{n,0,10}],{m,0,15}]

Table[T[n,k,1],{n,0,12},{k,0,n}]//展平(*修改人G。C。格雷贝尔2021年6月20日*)

(*第二个程序*)

f[n,kéu]:=如果[k==0,n(-1) ^n*(n+1)*BarnesG[n+k+1]/(Gamma[k+1]^n*BarnesG[k+1]);

T[n,k_u,m_9]:=如果[n==0,1,f[n,m]/(f[k,m]*f[n-k,m])];

Table[T[n,k,1],{n,0,12},{k,0,n}]//展平(*G。C。格雷贝尔2021年6月20日*)

黄体脂酮素

(圣人)

def f(n,k):如果(k==0)else(-1)^n*factorial(n+1)*乘积(对于(0..n-1)中的j,返回阶乘(n+1,j))

def T(n,k,m):如果(n==0)否则f(n,m)/(f(k,m)*f(n-k,m))返回1

展平([[T(n,k,1)代表k in(0..n)]代表n in(0..12)])#G。C。格雷贝尔2021年6月21日

交叉引用

囊性纤维变性。A007318型(m=0),这个序列(m=1),A156764号(m=3)。

状态

经核准的

编辑

A156764号 三角形T(n,k,m)=b(n,m)/(b(k,m)*b(n-k,m)),其中T(0,k,m)=1,b(n,k)=积{j=1..n}(和{i=0..j-1}(-1)^(j+i)*(j+1)*(k+1)^i*斯特林s1(j-1,i)),b(n,0)=n!,m=3,按行读取。
(历史;已发布版本)
#五通过G。C。格雷贝尔2021年6月21日星期一00:04:06
状态

编辑

提出

#四通过G。C。格雷贝尔美国东部时间2021年6月21日星期一00:03:56
链接

G。C。格雷贝尔,<a href=“/A156764号/b156764.txt“>三角形第n=0..30行,展平</a>

#三通过G。C。格雷贝尔美国东部时间2021年6月20日23:57:35
姓名

基于Stirling第一多项式的q-组合型广义三角序列:这里q=4:m=3:t(n,k)=If[m==0,n!,积[Sum[(-1)^(i+k)*(k+1)*StirlingS1[k-1,i]*(m+1)^i,{i,0,k-1}],{k,1,n}]];b(n,k,m)=如果[n==0,1,t[n,m]/(t[k,m]*t[n-k,m])]。

三角形T(n,k,m)=b(n,m)/(b(k,m)*b(n-k,m)),其中T(0,k,m)=1,b(n,k)=积{j=1..n}(和{i=0..j-1}(-1)^(j+i)*(j+1)*(k+1)^i*斯特林s1(j-1,i)),b(n,0)=n!,m=3,按行读取。

数据

1,1,1,1,6,1,1,40,40,1,1300,2000,300,1,1,2520,126000,126000,2520,1,23520,9878400,74088000,9878400,23520,1,1,241920,948326400,59744563200,948326400,241920,1,2721600,109734912000,64524128256000,542002677350400,64524128256000,109734912000,2721600,1

评论

行总和为;

{1,2,8,82,2602,257042,93891842,121386263042,671270409129602,

14491411964856288002,1514046250735604078169602,…}。

在这组序列中,只有m中的奇数给出整数三角形序列;

m=1是邮编:A156584.

公式

=4:T(n,k,) =b(n,)/(b(k,)*b(n-k,)),具有 T(0,k,) =1,b(n,k) =产品_{j=1..n} (总和_{=0..j-1} (-1)^(j+)*(j+1)*(k+1)^*斯特林1(j-1,) ),b(n,0) =n!, =:.

tT(n),,k)=如果[==0,) =f(n!,产品[总和[(-1)^(+k)*(,)/(f(k+1,)*斯特林1[f(n-k,)),具有 T(0,k-1,]*(+) =1)^, {,0f(n,k) = (-1)^n*(n+1)!*巴内斯格(n+k+1)/(伽马射线(k-+1}], {)^n*巴内斯格(k,+1)),f(n,0) =n}]];!, =. - _G.C.格雷贝尔_,六月 20 2021

b(n,k,m)=如果[n==0,1,t[n,m]/(t[k,m]*t[n-k,m])]。

例子

{1} 你说,

三角形开头为:

  1个;

{  1,,      1},;

{  1,,      6,,         1},;

{  1,,     40,,        40,,           1},;

{  1,,    300,,      2000,,         300,,           1},;

{  1,,   2520,,    126000,,      126000,,        2520,,         1},;

{  1,,  23520,,   9878400,,    74088000,,     9878400,,     23520,,      1},;

{  1241920、948326400、59744563200、59744563200、948326400、241920、1},;

{12721600,10973491200064524128256000,542002677350400,6452412825600,10973491200027216000,1},

{1326400015088550400000,91255552819200000,7154435341025280000,7154435341025280000,91255552819200000,15088550400000,33264000,1},

{1439084800、2434286131200000、1656288286688000000、133563087195026227200000、1246588813820244787200000、133563087195026227200000、1656288286688000000、2434286131200000、439084800,1}

数学

(*第一个程序*)

清除b[n_,k_]:=如果[tk==0,n,,!,产品[总和[(-1)^(+j)*(j+1)*斯特林1[j-1,]*(k+1)^, {,0,j-1}], {j,1,b];n}]];

如果[Um=0,则!,积[Sum[(-1)^(i+k)*(k+1)*StirlingS1[k-1,i]*(m+1)^i,{i,0,k-1}],{k,1,n}]];

bT[n,k,m]=如果[n====0,1,tb[牛,米]/(tb[克,米]*tb[牛顿--k、 m])];

Table[Flatten[Table[Table[b[n,k,m],{k,0,n}],{n,0,10}],{m,0,15}]

Table[T[n,k,3],{n,0,12},{k,0,n}]//展平(*修改人G。C。格雷贝尔2021年6月20日*)

(*第二个程序*)

f[n,kéu]:=如果[k==0,n(-1) ^n*(n+1)*BarnesG[n+k+1]/(Gamma[k+1]^n*BarnesG[k+1]);

T[n,k_u,m_9]:=如果[n==0,1,f[n,m]/(f[k,m]*f[n-k,m])];

Table[T[n,k,3],{n,0,12},{k,0,n}]//展平(*G。C。格雷贝尔2021年6月20日*)

黄体脂酮素

(圣人)

def f(n,k):如果(k==0)else(-1)^n*factorial(n+1)*乘积(对于(0..n-1)中的j,返回阶乘(n+1,j))

def T(n,k,m):如果(n==0)否则f(n,m)/(f(k,m)*f(n-k,m))返回1

展平([[T(n,k,3)代表k in(0..n)]代表n in(0..12)])#G。C。格雷贝尔2021年6月20日

交叉引用

囊性纤维变性.A007318型(=0),邮编:A156584(=1), 序列(=).

关键字

,,未调整

扩展

编辑G。C。格雷贝尔2021年6月20日

状态

经核准的

编辑

邮编:A156772 a(n)=729*n-198。
(历史;已发布版本)
#17通过G。C。格雷贝尔2021年6月19日星期六18:08:59
状态

编辑

提出

#16通过G。C。格雷贝尔2021年6月19日星期六18:08:50
姓名

729牛顿(n) =729*n-198年。

评论

身份(6561*n^2--3564*n++485)^2-(- (81*n^2--44*n++6) *(729*n)--198)^2==1可以写成邮编:A156774(n) ^2个--A156676号(n) *a(n)^2==1

公式

G、 f.:x*(531)++198*x)/(-1-)^2。

E、 g.f.:9*(22-(22-81*x)*有效期(x))-G。C。格雷贝尔2021年6月19日

数学

线性发生[{2,-1}, {}, {531260年},},40]

黄体脂酮素

(Sage)[9*(81*n-22)代表n in[1..50]]#G。C。格雷贝尔2021年6月19日

交叉引用

囊性纤维变性。邮编:A156774,A1566号,邮编:A156774.

状态

经核准的

编辑

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上次修改日期:2021年6月21日17:22。包含345365个序列(在oeis4上运行。)