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A366235型 例如,满足A(x)=1+x*A(x。
(历史;已发布版本)
第12版批准人布鲁诺·贝塞利2023年10月6日星期五上午10:03:45
名称

分配给Paul D.Hanna

例如,满足A(x)=1+x*A(x。

数据

1, 1, 12, 171, 3644, 104245, 3718470, 159587365, 8014254120, 461209324905, 29936339490050, 2164061360402425, 172443226346717100, 15018744392959920925, 1419463584040707175950, 144700081009666607896125, 15826417814285141247938000, 1848740412846656456007516625

偏移

0,3

评论

正式适用于所有功率系列F(x)的相关标识:

(1) F(x)=(1/x)*和{n>=1}n^(n-1)*x^n/n!*F(x)^n*exp(-n*x*F(x)),

(2) F(x)=(2/x)*和{n>=1}n*(n+1)^(n-2)*x^n/n!*F(x)^n*exp(-(n+1)*x*F(x)),

(3) F(x)=(3/x)*和{n>=1}n*(n+2)^(n-2)*x^n/n!*F(x)^n*exp(-(n+2)*x*F(x)),

(4) F(x)=(4/x)*和{n>=1}n*(n+3)^(n-2)*x^n/n!*F(x)^n*exp(-(n+3)*x*F(x)),

(5) F(x)=(k/x)*和{n>=1}n*(n+k-1)^(n-2)*x^n/n!*F(x)^n*exp(-(n+k-1)*x*F(x。

一般来说,如果k>0,例如,f.A(x)满足A(x)=1+x*A(x,x)*exp(k*x*A,x),则A(n)~k^n*(1+2*LambertW(sqrt(k)/2)^(n+3/2)*n^(n-1)/-瓦茨拉夫·科特索维奇2023年10月6日

配方奶粉

a(n)=n!*求和{k=0..n}二项式(n+1,n-k)/(n+1)*5^k*(n-k)^k/k!。

设A(x)^m=Sum_{n>=0}A(n,m)*x^n/n!那么a(n,m)=n*和{k=0..n}二项式(n+m,n-k)*m/(n+m)*5^k*(n-k)^k/k!。

例如,A(x)=Sum_{n>=0}A(n)*x^n满足以下公式。

(1) A(x)=1+x*A(x,x)*exp(5*x*A,x))。

(2) A(x)=(1/x)*系列_翻转(x/(1+x*exp(5*x)))。

(3) A(x/(1+x*exp(5*x)))=1+x*exp(5*x)。

(4) A(x)=1+(m+1)*和{n>=1}n*(n+m)^(n-2)*x^n/n!*所有固定非负m的A(x)^n*exp(-(n+m-5)*x*A(x。

(4.a)a(x)=1+和{n>=1}n^(n-1)*x^n/n!*A(x)^n*exp(-(n-5)*x*A(x”))。

(4.b)A(x)=1+2*和{n>=1}n*(n+1)^(n-2)*x^n/n!*A(x)^n*exp(-(n-4)*x*A(x”))。

(4.c)A(x)=1+3*和{n>=1}n*(n+2)^(n-2)*x^n/n!*A(x)^n*exp(-(n-3)*x*A(x”))。

(4.d)A(x)=1+4*和{n>=1}n*(n+3)^(n-2)*x^n/n!*A(x)^n*exp(-(n-2)*x*A(x”))。

(4.e)A(x)=1+5*和{n>=1}n*(n+4)^(n-2)*x^n/n!*A(x)^n*exp(-(n-1)*x*A(x))。

(4.t)A(x)=1+6*和{n>=1}n*(n+5)^(n-2)*x^n/n!*A(x)^n*exp(-n*x*A(x”))。

a(n)~5^n*(1+2*LambertW(sqrt(5)/2))^(n+3/2)*n^(n-1)/-瓦茨拉夫·科特索维奇2023年10月6日

例子

例如:A(x)=1+x+12*x^2/2!+171*x^3/3!+3644*x^4/4!+104245*x^5/5!+3718470*x^6/6!+159587365*x ^ 7/7!+8014254120*x ^8/8!+。。。

其中A(x)满足A(x

A(x)=1+1^0*x*A(x)*exp(+4*x*A(x))/1!+2^1*x^2*A(x)^2*exp(+3*x*A(x))/2!+3^2*x^3*A(x)^3*exp(+2*x*A(x))/3!+4^3*x^4*A(x)^4*exp(+1*x*A(x))/4!+5^4*x^5*A(x)^5*exp(-0*x*A(x))/5!+6^5*x^6*A(x)^6*exp(-1*x*A(x))/6!+。。。

A(x)=1+6*1*6^(-1)*x*A(x6*2*7^0*x^2*A(x)^2*exp(-2*x*A(x))/2!+6*3*8^1*x^3*A(x)^3*exp(-3*x*A(x))/3!+6*4*9^2*x^4*A(x)^4*exp(-4*x*A(x))/4!+6*5*10^3*x^5*A(x)^5*exp(-5*x*A(x))/5!+。。。

数学

nmax=20;A[_]=0;Do[A[x_]=1+x*A[x]*E^(5*x*A[x])+O[x]^(nmax+1)//正常,nmax+1];系数列表[A[x],x]*范围[0,nmax]!(*瓦茨拉夫·科特索维奇2023年10月6日*)

黄体脂酮素

(PARI)/*a(n,m)=系数x^n/n!单位为A(x)^m,此处m=1*/

{a(n,m=1)=n!*和(k=0,n,二项式(n+m,n-k)*m/(n+m)*5^k*(n-k)^k/k!)}

对于(n=0,20,print1(a(n),“,”)

(PARI){a(n)=my(a=(1/x)*serreverse(x/(1+x*exp(5*x+O(x^(n+2)));n!*polceoff(a,n)}

对于(n=0,20,print1(a(n),“,”)

交叉参考

囊性纤维变性。A161633号,A366232型,A366233型,A366234.

囊性纤维变性。A365775飞机(双重)。

关键词

分配

非n

作者

保罗·D·汉娜2023年10月5日

状态

经核准的

A366234飞机 例如,满足A(x)=1+x*A(x。
(历史;已发布版本)
第12版批准人布鲁诺·贝塞利2023年10月6日星期五10:03:26 EDT
名称

分配给Paul D.Hanna

例如,满足A(x)=1+x*A(x。

数据

1, 1, 10, 126, 2392, 60600, 1916304, 72917488, 3246171520, 165609099648, 9529240349440, 610657739172096, 43136025287678976, 3330356645773880320, 279024535906794539008, 25214258236430338160640, 2444656672390982922502144, 253144081975231633923342336

偏移

0,3

评论

正式适用于所有功率系列F(x)的相关标识:

(1) F(x)=(1/x)*和{n>=1}n^(n-1)*x^n/n!*F(x)^n*exp(-n*x*F(x)),

(2) F(x)=(2/x)*和{n>=1}n*(n+1)^(n-2)*x^n/n!*F(x)^n*exp(-(n+1)*x*F(x)),

(3) F(x)=(3/x)*和{n>=1}n*(n+2)^(n-2)*x^n/n!*F(x)^n*exp(-(n+2)*x*F(x)),

(4) F(x)=(4/x)*和{n>=1}n*(n+3)^(n-2)*x^n/n!*F(x)^n*exp(-(n+3)*x*F(x)),

(5) F(x)=(k/x)*和{n>=1}n*(n+k-1)^(n-2)*x^n/n!*F(x)^n*exp(-(n+k-1)*x*F(x。

配方奶粉

a(n)=n!*求和{k=0..n}二项式(n+1,n-k)/(n+1)*4^k*(n-k)^k/k!。

设A(x)^m=Sum_{n>=0}A(n,m)*x^n/n!那么a(n,m)=n*和{k=0..n}二项式(n+m,n-k)*m/(n+m)*4^k*(n-k)^k/k!。

例如,A(x)=Sum_{n>=0}A(n)*x^n满足以下公式。

(1) A(x)=1+x*A(x,x)*exp(4*x*A,x))。

(2) A(x)=(1/x)*系列_版本(x/(1+x*exp(4*x)))。

(3) A(x/(1+x*exp(4*x)))=1+x*exp(4*x)。

(4) A(x)=1+(m+1)*和{n>=1}n*(n+m)^(n-2)*x^n/n!*所有固定非负m的A(x)^n*exp(-(n+m-4)*x*A(x。

(4.a)a(x)=1+和{n>=1}n^(n-1)*x^n/n!*A(x)^n*exp(-(n-4)*x*A(x”))。

(4.b)A(x)=1+2*和{n>=1}n*(n+1)^(n-2)*x^n/n!*A(x)^n*exp(-(n-3)*x*A(x”))。

(4.c)A(x)=1+3*和{n>=1}n*(n+2)^(n-2)*x^n/n!*A(x)^n*exp(-(n-2)*x*A(x”))。

(4.d)A(x)=1+4*和{n>=1}n*(n+3)^(n-2)*x^n/n!*A(x)^n*exp(-(n-1)*x*A(x))。

(4.e)A(x)=1+5*和{n>=1}n*(n+4)^(n-2)*x^n/n!*A(x)^n*exp(-n*x*A(x”))。

(4.t)A(x)=1+6*和{n>=1}n*(n+5)^(n-2)*x^n/n!*A(x)^n*exp(-(n+1)*x*A(x”))。

a(n)~(1+2*LambertW(1))^(n+3/2)*n^(n-1)/-瓦茨拉夫·科特索维奇2023年10月6日

例子

例如:A(x)=1+x+10*x^2/2!+126*x^3/3!+2392*x^4/4!+60600*x^5/5!+1916304*x^6/6!+72917488*x ^ 7/7!+3246171520*x ^8/8!+。。。

其中A(x)满足A(x

A(x)=1+1^0*x*A(x)*exp(+3*x*A(x))/1!+2^1*x^2*A(x)^2*exp(+2*x*A(x))/2!+3^2*x^3*A(x)^3*exp(+1*x*A(x))/3!+4^3*x^4*A(x)^4*exp(-0*x*A(x))/4!+5^4*x^5*A(x)^5*exp(-1*x*A(x))/5!+6^5*x^6*A(x)^6*exp(-2*x*A(x))/6!+。。。

A(x)=1+5*1*5^(-1)*x*A(x5*2*6^0*x^2*A(x)^2*exp(-2*x*A(x))/2!+5*3*7^1*x^3*A(x)^3*exp(-3*x*A(x))/3!+5*4*8^2*x^4*A(x)^4*exp(-4*x*A(x))/4!+5*5*9^3*x^5*A(x)^5*exp(-5*x*A(x))/5!+。。。

数学

nmax=20;A[_]=0;Do[A[x_]=1+x*A[x]*E^(4*x*A[x])+O[x]^(nmax+1)//正常,nmax+1];系数列表[A[x],x]*范围[0,nmax]!(*瓦茨拉夫·科特索维奇2023年10月6日*)

黄体脂酮素

(PARI)/*a(n,m)=系数x^n/n!单位为A(x)^m,此处m=1*/

{a(n,m=1)=n!*和(k=0,n,二项式(n+m,n-k)*m/(n+m)*4^k*(n-k)^k/k!)}

对于(n=0,20,print1(a(n),“,”)

(PARI){a(n)=my(a=(1/x)*serreverse(x/(1+x*exp(4*x+O(x^(n+2)));n!*polceoff(a,n)}

对于(n=0,20,print1(a(n),“,”)

交叉参考

囊性纤维变性。A161633号,A366232型,A366233,A366235型.

囊性纤维变性。A365774飞机(双重)。

关键词

分配

非n

作者

保罗·D·汉娜2023年10月5日

状态

经核准的

讨论
2006年10月5日 05:04
瓦茨拉夫·科特索维奇:k=4的情况很好地简化了一般公式(见A366235)。
09:51
保罗·D·汉娜干得好,瓦茨拉夫!
A366233型 例如,满足A(x)=1+x*A(x。
(历史;已发布版本)
第16版批准人布鲁诺·贝塞利2023年10月6日星期五10:02:47 EDT
名称

分配给Paul D.Hanna

例如,满足A(x)=1+x*A(x。

数据

1, 1, 8, 87, 1428, 31125, 847818, 27785205, 1065267864, 46802921769, 2319200977230, 127985909702409, 7785440359004916, 517616528753919933, 37344834374921549154, 2906043724955696034285, 242627026212699695954352, 21634774261037677172406609, 2052077586846349144929739542

偏移

0,3

评论

正式适用于所有功率系列F(x)的相关标识:

(1) F(x)=(1/x)*和{n>=1}n^(n-1)*x^n/n!*F(x)^n*exp(-n*x*F(x)),

(2) F(x)=(2/x)*和{n>=1}n*(n+1)^(n-2)*x^n/n!*F(x)^n*exp(-(n+1)*x*F(x)),

(3) F(x)=(3/x)*和{n>=1}n*(n+2)^(n-2)*x^n/n!*F(x)^n*exp(-(n+2)*x*F(x)),

(4) F(x)=(4/x)*和{n>=1}n*(n+3)^(n-2)*x^n/n!*F(x)^n*exp(-(n+3)*x*F(x)),

(5) F(x)=(k/x)*和{n>=1}n*(n+k-1)^(n-2)*x^n/n!*对于所有固定的非零k,F(x)^n*exp(-(n+k-1)*x*F(x))。

配方奶粉

a(n)=n!*求和{k=0..n}二项式(n+1,n-k)/(n+1)*3^k*(n-k)^k/k!。

设A(x)^m=Sum_{n>=0}A(n,m)*x^n/n!那么a(n,m)=n*和{k=0..n}二项式(n+m,n-k)*m/(n+m)*3^k*(n-k)^k/k!。

例如,A(x)=Sum_{n>=0}A(n)*x^n满足以下公式。

(1) A(x)=1+x*A(x,x)*exp(3*x*A,x))。

(2) A(x)=(1/x)*系列_翻转(x/(1+x*exp(3*x)))。

(3) A(x/(1+x*exp(3*x)))=1+x*exp(3+x)。

(4) A(x)=1+(m+1)*和{n>=1}n*(n+m)^(n-2)*x^n/n!*所有固定非负m的A(x)^n*exp(-(n+m-3)*x*A(x。

(4.a)a(x)=1+和{n>=1}n^(n-1)*x^n/n!*A(x)^n*exp(-(n-3)*x*A(x))。

(4.b)A(x)=1+2*和{n>=1}n*(n+1)^(n-2)*x^n/n!*A(x)^n*exp(-(n-2)*x*A(x”))。

(4.c)A(x)=1+3*和{n>=1}n*(n+2)^(n-2)*x^n/n!*A(x)^n*exp(-(n-1)*x*A(x”))。

(4.d)A(x)=1+4*和{n>=1}n*(n+3)^(n-2)*x^n/n!*A(x)^n*exp(-n*x*A(x”))。

(4.e)A(x)=1+5*和{n>=1}n*(n+4)^(n-2)*x^n/n!*A(x)^n*exp(-(n+1)*x*A(x”))。

a(n)~3^n*(1+2*LambertW(sqrt(3)/2))^(n+3/2)*n^(n-1)/-瓦茨拉夫·科特索维奇2023年10月6日

例子

例如:A(x)=1+x+8*x^2/2!+87*x^3/3!+1428*x^4/4!+31125*x^5/5!+847818*x ^6/6!+27785205*x^7/7!+1065267864*x^8/8!+。。。

其中A(x)满足A(x

A(x)=1+1^0*x*A(x)*exp(+2*x*A(x))/1!+2^1*x^2*A(x)^2*exp(+1*x*A(x))/2!+3^2*x^3*A(x)^3*exp(-0*x*A(x))/3!+4^3*x^4*A(x)^4*exp(-1*x*A(x))/4!+5^4*x^5*A(x)^5*exp(-2*x*A(x))/5!+6^5*x^6*A(x)^6*exp(-3*x*A(x))/6!+。。。

A(x)=1+4*1*4^(-1)*x*A(x4*2*5^0*x^2*A(x)^2*exp(-2*x*A(x))/2!+4*3*6^1*x^3*A(x)^3*exp(-3*x*A(x))/3!+4*4*7^2*x^4*A(x)^4*exp(-4*x*A(x))/4!+4*5*8^3*x^5*A(x)^5*exp(-5*x*A(x))/5!+。。。

数学

nmax=20;A[_]=0;Do[A[x_]=1+x*A[x]*E^(3*x*A[x])+O[x]^(nmax+1)//正常,nmax+1];系数列表[A[x],x]*范围[0,nmax]!(*瓦茨拉夫·科特索维奇2023年10月6日*)

黄体脂酮素

(PARI)/*a(n,m)=系数x^n/n!单位为A(x)^m,此处m=1*/

{a(n,m=1)=n!*和(k=0,n,二项式(n+m,n-k)*m/(n+m)*3^k*(n-k)^k/k!)}

对于(n=0,20,print1(a(n),“,”)

(PARI){a(n)=my(a=(1/x)*serreverse(x/(1+x*exp(3*x+O(x^(n+2)));n!*polceoff(a,n)}

对于(n=0,20,print1(a(n),“,”)

交叉参考

囊性纤维变性。61633英镑,A366232型,A366234飞机,A366235型.

囊性纤维变性。A365773飞机(双重)。

关键词

分配

非n

作者

保罗·D·汉娜2023年10月5日

状态

经核准的

A366232型 例如,满足A(x)=1+x*A(x。
(历史;已发布版本)
第16版批准人布鲁诺·贝塞利2023年10月6日星期五10:02:22 EDT
名称

分配给Paul D.Hanna

例如,满足A(x)=1+x*A(x。

数据

1, 1, 6, 54, 728, 13000, 290352, 7800016, 245115264, 8826560640, 358463525120, 16212238054144, 808215885708288, 44035925223746560, 2603618739995621376, 166031767704180111360, 11359670347331723952128, 830065763154102656204800, 64518486557995327748898816

偏移

0,3

评论

正式适用于所有功率系列F(x)的相关标识:

(1) F(x)=(1/x)*和{n>=1}n^(n-1)*x^n/n!*F(x)^n*exp(-n*x*F(x)),

(2) F(x)=(2/x)*和{n>=1}n*(n+1)^(n-2)*x^n/n!*F(x)^n*exp(-(n+1)*x*F(x)),

(3) F(x)=(3/x)*和{n>=1}n*(n+2)^(n-2)*x^n/n!*F(x)^n*exp(-(n+2)*x*F(x)),

(4) F(x)=(4/x)*和{n>=1}n*(n+3)^(n-2)*x^n/n!*F(x)^n*exp(-(n+3)*x*F(x)),

(5) F(x)=(k/x)*和{n>=1}n*(n+k-1)^(n-2)*x^n/n!*F(x)^n*exp(-(n+k-1)*x*F(x。

配方奶粉

a(n)=n!*求和{k=0..n}二项式(n+1,n-k)/(n+1)*2^k*(n-k)^k/k!。

设A(x)^m=Sum_{n>=0}A(n,m)*x^n/n!那么a(n,m)=n*和{k=0..n}二项式(n+m,n-k)*m/(n+m)*2^k*(n-k)^k/k!。

例如,A(x)=Sum_{n>=0}A(n)*x^n满足以下公式。

(1) A(x)=1+x*A(x,x)*exp(2*x*A,x))。

(2) A(x)=(1/x)*系列_翻转(x/(1+x*exp(2*x)))。

(3) A(x/(1+x*exp(2*x)))=1+x*exp(2*x)。

(4) A(x)=1+(m+1)*和{n>=1}n*(n+m)^(n-2)*x^n/n!*对于所有固定的非负m,A(x)^n*exp(-(n+m-2)*x*A(x))。

(4.a)a(x)=1+和{n>=1}n^(n-1)*x^n/n!*A(x)^n*exp(-(n-2)*x*A(x”))。

(4.b)A(x)=1+2*和{n>=1}n*(n+1)^(n-2)*x^n/n!*A(x)^n*exp(-(n-1)*x*A(x”))。

(4.c)A(x)=1+3*和{n>=1}n*(n+2)^(n-2)*x^n/n!*A(x)^n*exp(-n*x*A(x”))。

(4.d)A(x)=1+4*和{n>=1}n*(n+3)^(n-2)*x^n/n!*A(x)^n*exp(-(n+1)*x*A(x”))。

a(n)~n^(n-1)*(1+2*LambertW(1/sqrt(2)))^(n+3/2)/(sqrt-瓦茨拉夫·科特索维奇2023年10月6日

例子

例如:A(x)=1+x+6*x^2/2!+54*x^3/3!+728*x^4/4!+13000*x^5/5!+290352*x^6/6!+7800016*x ^ 7/7!+245115264*x^8/8!+。。。

其中A(x)满足A(x

A(x)=1+1^0*x*A(x)*exp(+1*x*A(x))/1!+2^1*x^2*A(x)^2*exp(-0*x*A(x))/2!+3^2*x^3*A(x)^3*exp(-1*x*A(x))/3!+4^3*x^4*A(x)^4*exp(-2*x*A(x))/4!+5^4*x^5*A(x)^5*exp(-3*x*A(x))/5!+6^5*x^6*A(x)^6*exp(-4*x*A(x))/6!+。。。

A(x)=1+3*1*3^(-1)*x*A(x3*2*4^0*x^2*A(x)^2*exp(-2*x*A(x))/2!+3*3*5^1*x^3*A(x)^3*exp(-3*x*A(x))/3!+3*4*6^2*x^4*A(x)^4*exp(-4*x*A(x))/4!+3*5*7^3*x^5*A(x)^5*exp(-5*x*A(x))/5!+。。。

数学

nmax=20;A[_]=0;Do[A[x_]=1+x*A[x]*E^(2*x*A[x])+O[x]^(nmax+1)//正常,nmax+1];系数列表[A[x],x]*范围[0,nmax]!(*瓦茨拉夫·科特索维奇2023年10月6日*)

黄体脂酮素

(PARI)/*a(n,m)=系数x^n/n!单位为A(x)^m,此处m=1*/

{a(n,m=1)=n!*和(k=0,n,二项式(n+m,n-k)*m/(n+m)*2^k*(n-k)^k/k!)}

对于(n=0,20,print1(a(n),“,”)

(PARI){a(n)=my(a=(1/x)*serreverse(x/(1+x*exp(2*x+O(x^(n+2)));n!*polceoff(a,n)}

对于(n=0,20,print1(a(n),“,”)

交叉参考

囊性纤维变性。61633英镑,A366233型,A366234飞机,A366235型.

囊性纤维变性。A365772型(双重)。

关键词

分配

非n

作者

保罗·D·汉娜2023年10月5日

状态

经核准的

A364343型 和{k>0}k*x^k/(1+x^k)^3的展开式。
(历史;已发布版本)
第27版批准人布鲁诺·贝塞利2023年7月20日星期四上午10:11:37
名称

分配给Seiichi Manyama

和{k>0}k*x^k/(1+x^k)^3的展开式。

数据

1, -1, 9, -12, 20, -12, 35, -60, 72, -30, 77, -132, 104, -56, 210, -256, 170, -117, 209, -320, 378, -132, 299, -672, 425, -182, 594, -588, 464, -360, 527, -1040, 858, -306, 910, -1224, 740, -380, 1170, -1640, 902, -672, 989, -1364, 1890, -552, 1175, -2928, 1470, -775, 1938, -1872, 1484, -1080, 2090

偏移

0,3

配方奶粉

a(n)=(n/2)*和{d|n}(-1)^(d+1)*(d+1(A002129号(n)+A048272号(n) )。

数学

a[n_]:=除数和[n,(-1)^(#1)*(#+1)&]*n/2;数组[a,55](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年7月20日*)

黄体脂酮素

(PARI)我的(N=60,x='x+O('x^N));Vec(总和(k=1,N,k*x^k/(1+x^k)^3))

交叉参考

囊性纤维变性。320900澳元,A364351型.

囊性纤维变性。A002129号,A048272号,A309731型.

关键词

分配

签名

作者

Seiichi Manyama先生2023年7月19日

状态

经核准的

A364351型 和{k>0}k^2*x^k/(1+x^k)^3的展开式。
(历史;已发布版本)
11号修订版批准人布鲁诺·贝塞利美国东部时间2023年7月20日星期四10:10:59
名称

分配给Seiichi Manyama

和{k>0}k^2*x^k/(1+x^k)^3的展开式。

数据

1, 1, 15, -6, 40, 12, 77, -60, 180, 30, 187, -120, 260, 56, 630, -376, 442, 117, 551, -340, 1218, 132, 805, -1104, 1325, 182, 1998, -672, 1276, 360, 1457, -2032, 2970, 306, 3290, -1710, 2072, 380, 4134, -3080, 2542, 672, 2795, -1672, 7830, 552, 3337, -6816, 4998, 775, 7038, -2340, 4240, 1080

偏移

0,3

配方奶粉

a(n)=(n/2)*和{d|n}(-1)^(n/d+1)*(d+n)=(A000593号(n) +个*A048272号(n) )。

数学

a[n_]:=除数和[n,(-1)^(n/#+1)*(#+n)&]*n/2;数组[a,55](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年7月20日*)

黄体脂酮素

(PARI)我的(N=60,x='x+O('x^N));Vec(总和(k=1,N,k^2*x^k/(1+x^k)^3))

交叉参考

囊性纤维变性。A320900型,A364343型.

囊性纤维变性。A000593号,A048272号,A309732型.

关键词

分配

签名

作者

Seiichi Manyama先生2023年7月19日

状态

经核准的

A364298型 按升序反对偶读取的平方数组:T(n,k)=[x^k]1/(1+x)*Legendre_P(k,(1-x)/(1+x))^(-n)表示n>=1,k>=0。
(历史;已发布版本)
第8版批准人布鲁诺·贝塞利2023年7月20日星期四上午10:10:40
名称

方形 阵列 阅读 通过 提升 抗糖尿病药:T型(n个,k个) = [x^k个]1/(1+x) *勒让德_P(P)(k个, (1-x)/(1+x))^(-n个)对于n个>=1,k个>=0.

数据

1, 1, 1, 1, 3, 19, 1, 5, 73, 721, 1, 7, 163, 3747, 49251, 1, 9, 289, 10805, 329001, 5370751, 1, 11, 451, 23623, 1179251, 44127003, 859748023, 1, 13, 649, 43929, 3100001, 190464755, 8405999785, 190320431953, 1, 15, 883, 73451, 6751251, 589050007, 42601840975, 2160445363107

偏移

1,5

评论

在方形阵列中A364113型,第n行中的第k个条目定义为[x^k]1/(1-x)*Legendre_P(k,(1+x)/(1-xA364113型n的负值。

阿佩里数的两种类型A005258A005259号通过以下公式与勒让德多项式相关A005258号(k) =[x^k]1/(1-x)*Legendre_P(k,(1+x)/(1-x))和A005259号(k) =[x^k]1/(1-x)*Legendre_P(k,(1+x)/(1-xA364113型

两种类型的Apéry数都满足超同余

1) u(n*p^r)==u(n*1)(模p^(3*r))

和移位的超同余

2) u(n*p^r-1)==u(n*1(r-1)-1)(模p^(3*r))

对于所有素数p>=5以及正整数n和r。

我们推测当前表的每个行序列满足相同的一对超同余。

例子

方形数组开始

否|0 1 2 3 4 5 6

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

1 | 1 1 19 721 49251 5370751 859748023

2 | 1 3 73 3747 329001 44127003 8405999785

3 | 1 5 163 10805 1179251 190464755 42601840975

4 | 1 7 289 23623 3100001 589050007 152184210193

5 | 1 9 451 43929 6751251 1479318759 434790348679

6 | 1 11 649 73451 12953001 3219777011 1062573281785

MAPLE公司

T(n,k):=系数(级数(1/(1+x)*LegendreP(k,(1-x)/(1+x))^(-n),x,11),x(k):

#显示为方形阵列

seq(打印(seq(T(n,k),k=0..10)),n=1..10);

#显示为序列

seq(seq(T(n-k,k),k=0..n-1),n=1..10);

交叉参考

A364299型(第1行),A364300型(第2行),A364301型(主对角线),A364302型(第一次对角线)。囊性纤维变性。A005258号,A005259号,A143007号,A364113型.

关键词

分配

非n,,容易的

作者

彼得·巴拉2023年7月18日

状态

经核准的

A364302型 a(n)=[x^n]1/(1+x)*Legendre_P(n,(1-x)/(1+x))^(-n-1),对于n>=0。
(历史;已发布版本)
第6版批准人布鲁诺·贝塞利2023年7月20日星期四10:10:07 EDT
名称

分配给彼得·巴拉

a(n)=[x^n]1/(1+x)*Legendre_P(n,(1-x)/(1+x))^(-n-1),对于n>=0。

数据

1, 3, 163, 23623, 6751251, 3219777011, 2313306332191, 2337707082109071, 3163417897474821763, 5524913023443862515019, 12101947272421487464092429, 32493996621780038121738419591, 104964758754905547830609842389527, 401618040258524641485654323795309235

偏移

0,2

评论

的第一个子对角线A364298型.

配方奶粉

推测:

1) 超同余a(p)==2*p+1(modp^3)适用于所有p>=5的素数(检查到p=101)。

2) 超同余a(p-1)==1(modp^4)适用于所有素数p>=3(检查到p=101)。

3) 更一般地说,超同余a(p^k-1)==1(modp^(3+k))可能适用于所有素数p>=3和所有k>=1。

MAPLE公司

a(n):=系数(级数(1/(1+x)*LegendreP(n,(1-x)/(1+x))^(-n-1),x,21),x

seq(a(n),n=0..20);

交叉参考

囊性纤维变性。A364117型,A364298型,A364301型.

关键词

分配

非n,容易的

作者

彼得·巴拉2023年7月18日

状态

经核准的

A364301型 a(n)=[x^n]1/(1+x)*Legendre_P(n,(1-x)/(1+x))^(-n)对于n>=0。
(历史;已发布版本)
第8版批准人布鲁诺·贝塞利2023年7月20日星期四10:09:50 EDT
名称

分配给彼得·巴拉

a(n)=[x^n]1/(1+x)*Legendre_P(n,(1-x)/(1+x))^(-n)对于n>=0。

数据

1、1、73、10805、3100001、1479318759、1062573281785、1073267499046525、1451614640844881665、25340099262394596267、5548110762587726241026801、14890865228866506199602545427、4808458566073307833226326325658771313、183923731031112887024255817209295155、82242736189471120102510178242595273529

偏移

0,3

评论

的主对角线A364298型(带有额外的初始项1)。与进行比较A364116型.

比较两类阿佩里数A005258号A005259号,与勒让德多项式相关A005258号(n) =[x^n]1/(1-x)*Legendre_P(n,(1+x)/(1-x))和A005259号(n) =[x^k]1/(1-x)*Legendre_P(n,(1+x)/(1-x))^2。

A005258号是的主对角线A108625号A005259号是的主对角线A143007号.

配方奶粉

推测:

1) a(p)==2*p-1(modp^4),对于所有素数p>=5(检查到p=101)。

更一般地说,超同余a(p^k)==2*p^k-1(modp^(3+k))可能适用于所有素数p>=5和所有k>=1。

2) a(p-1)==1(mod p^3),对于除p=3以外的所有素数p(检查到p=101)。

更一般地说,超同余a(p^k-p^(k-1))==1(modp^。

MAPLE公司

a(n):=系数(级数(1/(1+x)*LegendreP(n,(1-x)/(1+x))^(-n),x,21),x

seq(a(n),n=0..20);

交叉参考

囊性纤维变性。A005258号,A005259号,108625英镑,A143007号,A364116型,A364298型,A364302型.

关键词

分配

非n,容易的

作者

彼得·巴拉2023年7月18日

状态

经核准的

A364300型 a(n)=[x^n]1/(1+x)*Legendre_P(n,(1-x)/(1+x))^(-2),对于n>=0。
(历史;已发布版本)
第7版批准人布鲁诺·贝塞利2023年7月20日星期四上午10:09:34
名称

分配给彼得·巴拉

a(n)=[x^n]1/(1+x)*Legendre_P(n,(1-x)/(1+x))^(-2),对于n>=0。

数据

1, 3, 73, 3747, 329001, 44127003, 8405999785, 2160445363107, 720972846685225, 303256387595475003, 157007652309393485073, 98141188253799911132091, 72882030213423405890701449, 63436168183711463443127520699, 63968150042375034921379294100073, 73985402858435691329113991048739747

偏移

0,2

评论

第2行,共行A364298型.

与Apéry数字比较A005259号,与勒让德多项式相关A005259号(n) =[x^n]1/(1-x)*Legendre_P(n,(1+x)/(1-x))^2。

A005259号满足超同余

1) u(n*p^r)==u(n*p^(r-1))(模p^(3*r))

和移位的超同余

2) u(n*p^r-1)==u(n*1(r-1)-1)(模p^(3*r))

对于所有素数p>=5以及正整数n和r。

我们推测当前序列也满足超同余1)和2)。

配方奶粉

推测:

1) 17*a(p)-11*a(p-1)==40(mod p^5),对于所有素数p>=7(检查到p=101)。

2) 对于r>=2,对于所有素数p>=5,17*a(p^r)-11*a(p ^r-1)==17*a(p^(r-1))-11*a(p^(r_1)-1)(mod p^,3*r+3))。

3) a(p)^(3*17)==a(1)^。

4) 对于r>=2,所有素数p>=5的a(p^r)^(3*17)*a(p~(r~(r_1)-1)^11==a(p_(r~))^。

MAPLE公司

a(n):=系数(级数(1/(1+x)*LegendreP(n,(1-x)/(1+x))^(-2),x,21),x

seq(a(n),n=0..20);

交叉参考

囊性纤维变性。A005259,A364298型,A364299型,A364301型,A364302型.

关键词

分配

非n,容易的

作者

彼得·巴拉2023年7月18日

状态

经核准的

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