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| 第12版批准人布鲁诺·贝塞利2023年10月6日星期五上午10:03:45 |
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| 名称
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分配给Paul D.Hanna
例如，满足A（x）=1+x*A（x。
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| 数据
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1, 1, 12, 171, 3644, 104245, 3718470, 159587365, 8014254120, 461209324905, 29936339490050, 2164061360402425, 172443226346717100, 15018744392959920925, 1419463584040707175950, 144700081009666607896125, 15826417814285141247938000, 1848740412846656456007516625
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0,3
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| 评论
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正式适用于所有功率系列F（x）的相关标识：
（1） F（x）=（1/x）*和{n>=1}n^（n-1）*x^n/n！*F（x）^n*exp（-n*x*F（x）），
（2） F（x）=（2/x）*和{n>=1}n*（n+1）^（n-2）*x^n/n！*F（x）^n*exp（-（n+1）*x*F（x）），
（3） F（x）=（3/x）*和{n>=1}n*（n+2）^（n-2）*x^n/n！*F（x）^n*exp（-（n+2）*x*F（x）），
（4） F（x）=（4/x）*和{n>=1}n*（n+3）^（n-2）*x^n/n！*F（x）^n*exp（-（n+3）*x*F（x）），
（5） F（x）=（k/x）*和{n>=1}n*（n+k-1）^（n-2）*x^n/n！*F（x）^n*exp（-（n+k-1）*x*F（x。
一般来说，如果k>0，例如，f.A（x）满足A（x）=1+x*A（x，x）*exp（k*x*A，x），则A（n）~k^n*（1+2*LambertW（sqrt（k）/2）^（n+3/2）*n^（n-1）/-瓦茨拉夫·科特索维奇2023年10月6日
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| 配方奶粉
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a（n）=n！*求和{k=0..n}二项式（n+1，n-k）/（n+1）*5^k*（n-k）^k/k！。
设A（x）^m=Sum_{n>=0}A（n，m）*x^n/n！那么a（n，m）=n*和{k=0..n}二项式（n+m，n-k）*m/（n+m）*5^k*（n-k）^k/k！。
例如，A（x）=Sum_{n>=0}A（n）*x^n满足以下公式。
（1） A（x）=1+x*A（x，x）*exp（5*x*A，x））。
（2） A（x）=（1/x）*系列_翻转（x/（1+x*exp（5*x）））。
（3） A（x/（1+x*exp（5*x）））=1+x*exp（5*x）。
（4） A（x）=1+（m+1）*和{n>=1}n*（n+m）^（n-2）*x^n/n！*对于所有固定的非负m，A（x）^n*exp（-（n+m-5）*x*A（x））。
（4.a）a（x）=1+和{n>=1}n^（n-1）*x^n/n！*A（x）^n*exp（-（n-5）*x*A（x”））。
（4.b）A（x）=1+2*和{n>=1}n*（n+1）^（n-2）*x^n/n！*A（x）^n*exp（-（n-4）*x*A（x”））。
（4.c）A（x）=1+3*和{n>=1}n*（n+2）^（n-2）*x^n/n！*A（x）^n*exp（-（n-3）*x*A（x”））。
（4.d）A（x）=1+4*和{n>=1}n*（n+3）^（n-2）*x^n/n！*A（x）^n*exp（-（n-2）*x*A（x”））。
（4.e）A（x）=1+5*和{n>=1}n*（n+4）^（n-2）*x^n/n！*A（x）^n*exp（-（n-1）*x*A（x”））。
（4.t）A（x）=1+6*和{n>=1}n*（n+5）^（n-2）*x^n/n！*A（x）^n*exp（-n*x*A（x”））。
a（n）~5^n*（1+2*LambertW（sqrt（5）/2））^（n+3/2）*n^（n-1）/-瓦茨拉夫·科特索维奇2023年10月6日
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| 例子
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例如：A（x）=1+x+12*x^2/2！+171*x^3/3！+3644*x^4/4！+104245*x^5/5！+3718470*x^6/6！+159587365*x ^ 7/7！+8014254120*x ^8/8！+。。。
其中A（x）满足A（x
也
A（x）=1+1^0*x*A（x）*exp（+4*x*A（x））/1！+2^1*x^2*A（x）^2*exp（+3*x*A（x））/2！+3^2*x^3*A（x）^3*exp（+2*x*A（x））/3！+4^3*x^4*A（x）^4*exp（+1*x*A（x））/4！+5^4*x^5*A（x）^5*exp（-0*x*A（x））/5！+6^5*x^6*A（x）^6*exp（-1*x*A（x））/6！+。。。
和
A（x）=1+6*1*6^（-1）*x*A（x6*2*7^0*x^2*A（x）^2*exp（-2*x*A（x））/2！+6*3*8^1*x^3*A（x）^3*exp（-3*x*A（x））/3！+6*4*9^2*x^4*A（x）^4*exp（-4*x*A（x））/4！+6*5*10^3*x^5*A（x）^5*exp（-5*x*A（x））/5！+。。。
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| 数学
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nmax=20；A[_]=0；Do[A[x_]=1+x*A[x]*E^（5*x*A[x]）+O[x]^（nmax+1）//正常，nmax+1]；系数列表[A[x]，x]*范围[0，nmax]！(*瓦茨拉夫·科特索维奇2023年10月6日*）
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| 黄体脂酮素
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（PARI）/*a（n，m）=系数x^n/n！单位为A（x）^m，此处m=1*/
｛a（n，m=1）=n！*和（k=0，n，二项式（n+m，n-k）*m/（n+m）*5^k*（n-k）^k/k！）｝
对于（n=0，20，打印1（a（n），“，”）
（PARI）{a（n）=my（a=（1/x）*serreverse（x/（1+x*exp（5*x+O（x^（n+2）））；n！*polceoff（a，n）}
对于（n=0，20，打印1（a（n），“，”）
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| 交叉参考
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囊性纤维变性。61633英镑,A366232,A366233,A366234飞机.
囊性纤维变性。A365775飞机（双重）。
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| 关键字
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分配
非n
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| 作者
|
保罗·D·汉纳，2023年10月5日
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| 状态
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经核准的
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| 第12版批准人布鲁诺·贝塞利2023年10月6日星期五10:03:26 EDT |
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| 名称
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分配给Paul D.Hanna
例如，满足A（x）=1+x*A（x。
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| 数据
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1, 1, 10, 126, 2392, 60600, 1916304, 72917488, 3246171520, 165609099648, 9529240349440, 610657739172096, 43136025287678976, 3330356645773880320, 279024535906794539008, 25214258236430338160640, 2444656672390982922502144, 253144081975231633923342336
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| 抵消
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0,3
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| 评论
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正式适用于所有功率系列F（x）的相关标识：
（1） F（x）=（1/x）*和{n>=1}n^（n-1）*x^n/n！*F（x）^n*exp（-n*x*F（x）），
（2） F（x）=（2/x）*和{n>=1}n*（n+1）^（n-2）*x^n/n！*F（x）^n*exp（-（n+1）*x*F（x）），
（3） F（x）=（3/x）*和{n>=1}n*（n+2）^（n-2）*x^n/n！*F（x）^n*exp（-（n+2）*x*F（x）），
（4） F（x）=（4/x）*和{n>=1}n*（n+3）^（n-2）*x^n/n！*F（x）^n*exp（-（n+3）*x*F（x）），
（5） F（x）=（k/x）*和{n>=1}n*（n+k-1）^（n-2）*x^n/n！*F（x）^n*exp（-（n+k-1）*x*F（x。
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| 配方奶粉
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a（n）=n！*求和{k=0..n}二项式（n+1，n-k）/（n+1）*4^k*（n-k）^k/k！。
设A（x）^m=Sum_{n>=0}A（n，m）*x^n/n！那么a（n，m）=n*和{k=0..n}二项式（n+m，n-k）*m/（n+m）*4^k*（n-k）^k/k！。
E.g.f.A（x）=Sum_{n>=0｝A（n）*x^n满足以下公式。
（1） A（x）=1+x*A（x，x）*exp（4*x*A，x））。
（2） A（x）=（1/x）*系列_翻转（x/（1+x*exp（4*x）））。
（3） A（x/（1+x*exp（4*x）））=1+x*exp（4*x）。
（4） A（x）=1+（m+1）*和{n>=1}n*（n+m）^（n-2）*x^n/n！*所有固定非负m的A（x）^n*exp（-（n+m-4）*x*A（x。
（4.a）a（x）=1+和{n>=1}n^（n-1）*x^n/n！*A（x）^n*exp（-（n-4）*x*A（x”））。
（4.b）A（x）=1+2*和{n>=1}n*（n+1）^（n-2）*x^n/n！*A（x）^n*exp（-（n-3）*x*A（x”））。
（4.c）A（x）=1+3*和{n>=1}n*（n+2）^（n-2）*x^n/n！*A（x）^n*exp（-（n-2）*x*A（x”））。
（4.d）A（x）=1+4*和{n>=1}n*（n+3）^（n-2）*x^n/n！*A（x）^n*exp（-（n-1）*x*A（x”））。
（4.e）A（x）=1+5*和{n>=1}n*（n+4）^（n-2）*x^n/n！*A（x）^n*exp（-n*x*A（x”））。
（4.t）A（x）=1+6*和{n>=1}n*（n+5）^（n-2）*x^n/n！*A（x）^n*exp（-（n+1）*x*A（x”））。
a（n）~（1+2*LambertW（1））^（n+3/2）*n^（n-1）/（4*sqrt（1+LambertW（1））*exp（n）*LambertW（1）^（2*n+3/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2023年10月6日
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| 例子
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例如：A（x）=1+x+10*x^2/2！+126*x^3/3！+2392*x^4/4！+60600*x^5/5！+1916304*x^6/6！+72917488*x ^ 7/7！+3246171520*x ^8/8！+。。。
其中A（x）满足A（x
也
A（x）=1+1^0*x*A（x）*exp（+3*x*A（x））/1！+2^1*x^2*A（x）^2*exp（+2*x*A（x））/2！+3^2*x^3*A（x）^3*exp（+1*x*A（x））/3！+4^3*x^4*A（x）^4*exp（-0*x*A（x））/4！+5^4*x^5*A（x）^5*exp（-1*x*A（x））/5！+6^5*x^6*A（x）^6*exp（-2*x*A（x））/6！+。。。
和
A（x）=1+5*1*5^（-1）*x*A（x5*2*6^0*x^2*A（x）^2*exp（-2*x*A（x））/2！+5*3*7^1*x^3*A（x）^3*exp（-3*x*A（x））/3！+5*4*8^2*x^4*A（x）^4*exp（-4*x*A（x））/4！+5*5*9^3*x^5*A（x）^5*exp（-5*x*A（x））/5！+。。。
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| 数学
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nmax=20；A[_]=0；Do[A[x_]=1+x*A[x]*E^（4*x*A[x]）+O[x]^（nmax+1）//正常，nmax+1]；系数列表[A[x]，x]*范围[0，nmax]！(*瓦茨拉夫·科特索维奇2023年10月6日*）
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| 黄体脂酮素
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（PARI）/*a（n，m）=系数x^n/n！单位为A（x）^m，此处m=1*/
{a（n，m=1）=n！*和（k=0，n，二项式（n+m，n-k）*m/（n+m）*4^k*（n-k）^k/k！）}
对于（n=0，20，打印1（a（n），“，”）
（PARI）{a（n）=my（a=（1/x）*serreverse（x/（1+x*exp（4*x+O（x^（n+2）））；n！*polceoff（a，n）}
对于（n=0，20，打印1（a（n），“，”）
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| 交叉参考
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囊性纤维变性。61633英镑,A366232,A366233,A366235型.
囊性纤维变性。A365774飞机（双重）。
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| 关键字
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分配
非n
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| 作者
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保罗·D·汉纳，2023年10月5日
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| 状态
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经核准的
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讨论
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| 2006年10月5日
| 05:04
| 瓦茨拉夫·科特索维奇：k=4的情况很好地简化了一般公式（见A366235）。
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| 09:51
| 保罗·D·汉纳：干得好，瓦茨拉夫！
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| 第16版批准人布鲁诺·贝塞利2023年10月6日星期五10:02:47 EDT |
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| 名称
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分配给Paul D.Hanna
例如，满足A（x）=1+x*A（x）*exp（3*x*A（x））的f。
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| 数据
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1, 1, 8, 87, 1428, 31125, 847818, 27785205, 1065267864, 46802921769, 2319200977230, 127985909702409, 7785440359004916, 517616528753919933, 37344834374921549154, 2906043724955696034285, 242627026212699695954352, 21634774261037677172406609, 2052077586846349144929739542
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| 抵消
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0,3
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| 评论
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正式适用于所有功率系列F（x）的相关标识：
（1） F（x）=（1/x）*和{n>=1}n^（n-1）*x^n/n！*F（x）^n*exp（-n*x*F（x）），
（2） F（x）=（2/x）*和{n>=1}n*（n+1）^（n-2）*x^n/n！*F（x）^n*exp（-（n+1）*x*F（x）），
（3） F（x）=（3/x）*和{n>=1}n*（n+2）^（n-2）*x^n/n！*F（x）^n*exp（-（n+2）*x*F（x）），
（4） F（x）=（4/x）*和{n>=1}n*（n+3）^（n-2）*x^n/n！*F（x）^n*exp（-（n+3）*x*F（x）），
（5） F（x）=（k/x）*和{n>=1}n*（n+k-1）^（n-2）*x^n/n！*F（x）^n*exp（-（n+k-1）*x*F（x。
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| 配方奶粉
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a（n）=n！*求和{k=0..n}二项式（n+1，n-k）/（n+1）*3^k*（n-k）^k/k！。
设A（x）^m=Sum_{n>=0}A（n，m）*x^n/n！那么a（n，m）=n*和{k=0..n}二项式（n+m，n-k）*m/（n+m）*3^k*（n-k）^k/k！。
例如，A（x）=Sum_{n>=0}A（n）*x^n满足以下公式。
（1） A（x）=1+x*A（x，x）*exp（3*x*A，x））。
（2） A（x）=（1/x）*系列_翻转（x/（1+x*exp（3*x）））。
（3） A（x/（1+x*exp（3*x）））=1+x*exp（3+x）。
（4） A（x）=1+（m+1）*和{n>=1}n*（n+m）^（n-2）*x^n/n！*所有固定非负m的A（x）^n*exp（-（n+m-3）*x*A（x。
（4.a）a（x）=1+和{n>=1}n^（n-1）*x^n/n！*A（x）^n*exp（-（n-3）*x*A（x”））。
（4.b）A（x）=1+2*和{n>=1}n*（n+1）^（n-2）*x^n/n！*A（x）^n*exp（-（n-2）*x*A（x”））。
（4.c）A（x）=1+3*和{n>=1}n*（n+2）^（n-2）*x^n/n！*A（x）^n*exp（-（n-1）*x*A（x”））。
（4.d）A（x）=1+4*和{n>=1}n*（n+3）^（n-2）*x^n/n！*A（x）^n*exp（-n*x*A（x”））。
（4.e）A（x）=1+5*和{n>=1}n*（n+4）^（n-2）*x^n/n！*A（x）^n*exp（-（n+1）*x*A（x”））。
a（n）~3^n*（1+2*LambertW（sqrt（3）/2））^（n+3/2）*n^（n-1）/-瓦茨拉夫·科特索维奇2023年10月6日
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| 例子
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例如：A（x）=1+x+8*x^2/2！+87*x^3/3！+1428*x^4/4！+31125*x^5/5！+847818*x ^6/6！+27785205*x^7/7！+1065267864*x^8/8！+。。。
其中A（x）满足A（x
也
A（x）=1+1^0*x*A（x）*exp（+2*x*A（x））/1！+2^1*x^2*A（x）^2*exp（+1*x*A（x））/2！+3^2*x^3*A（x）^3*exp（-0*x*A（x））/3！+4^3*x^4*A（x）^4*exp（-1*x*A（x））/4！+5^4*x^5*A（x）^5*exp（-2*x*A（x））/5！+6^5*x^6*A（x）^6*exp（-3*x*A（x））/6！+。。。
和
A（x）=1+4*1*4^（-1）*x*A（x4*2*5^0*x^2*A（x）^2*exp（-2*x*A（x））/2！+4*3*6^1*x^3*A（x）^3*exp（-3*x*A（x））/3！+4*4*7^2*x^4*A（x）^4*exp（-4*x*A（x））/4！+4*5*8^3*x^5*A（x）^5*exp（-5*x*A（x））/5！+。。。
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| 数学
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nmax=20；A[_]=0；Do[A[x_]=1+x*A[x]*E^（3*x*A[x]）+O[x]^（nmax+1）//正常，nmax+1]；系数列表[A[x]，x]*范围[0，nmax]！(*瓦茨拉夫·科特索维奇2023年10月6日*）
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| 黄体脂酮素
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（PARI）/*a（n，m）=系数x^n/n！单位为A（x）^m，此处m=1*/
{a（n，m=1）=n！*和（k=0，n，二项式（n+m，n-k）*m/（n+m）*3^k*（n-k）^k/k！）}
对于（n=0，20，打印1（a（n），“，”）
（PARI）{a（n）=my（a=（1/x）*serreverse（x/（1+x*exp（3*x+O（x^（n+2）））；n！*polceoff（a，n）}
对于（n=0，20，打印1（a（n），“，”）
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| 交叉参考
|
囊性纤维变性。61633英镑,A366232,A366234飞机,A366235型.
囊性纤维变性。A365773型（双重）。
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| 关键字
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分配
非n
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| 作者
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保罗·D·汉纳，2023年10月5日
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| 状态
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经核准的
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| 第16版批准人布鲁诺·贝塞利2023年10月6日星期五10:02:22 EDT |
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| 名称
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分配给Paul D.Hanna
例如，满足A（x）=1+x*A（x。
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| 数据
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1, 1, 6, 54, 728, 13000, 290352, 7800016, 245115264, 8826560640, 358463525120, 16212238054144, 808215885708288, 44035925223746560, 2603618739995621376, 166031767704180111360, 11359670347331723952128, 830065763154102656204800, 64518486557995327748898816
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| 抵消
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0,3
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| 评论
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正式适用于所有功率系列F（x）的相关标识：
（1） F（x）=（1/x）*和{n>=1}n^（n-1）*x^n/n！*F（x）^n*exp（-n*x*F（x）），
（2） F（x）=（2/x）*和{n>=1}n*（n+1）^（n-2）*x^n/n！*F（x）^n*exp（-（n+1）*x*F（x）），
（3） F（x）=（3/x）*和{n>=1}n*（n+2）^（n-2）*x^n/n！*F（x）^n*exp（-（n+2）*x*F（x）），
（4） F（x）=（4/x）*和{n>=1}n*（n+3）^（n-2）*x^n/n！*F（x）^n*exp（-（n+3）*x*F（x）），
（5） F（x）=（k/x）*和{n>=1}n*（n+k-1）^（n-2）*x^n/n！*F（x）^n*exp（-（n+k-1）*x*F（x。
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| 配方奶粉
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a（n）=n！*求和{k=0..n}二项式（n+1，n-k）/（n+1）*2^k*（n-k）^k/k！。
设A（x）^m=Sum_{n>=0}A（n，m）*x^n/n！那么a（n，m）=n*和{k=0..n}二项式（n+m，n-k）*m/（n+m）*2^k*（n-k）^k/k！。
例如，A（x）=Sum_{n>=0}A（n）*x^n满足以下公式。
（1） A（x）=1+x*A（x，x）*exp（2*x*A，x））。
（2） A（x）=（1/x）*系列_翻转（x/（1+x*exp（2*x）））。
（3） A（x/（1+x*exp（2*x）））=1+x*exp（2*x）。
（4） A（x）=1+（m+1）*和{n>=1}n*（n+m）^（n-2）*x^n/n！*所有固定非负m的A（x）^n*exp（-（n+m-2）*x*A（x。
（4.a）a（x）=1+和{n>=1}n^（n-1）*x^n/n！*A（x）^n*exp（-（n-2）*x*A（x”））。
（4.b）A（x）=1+2*和{n>=1}n*（n+1）^（n-2）*x^n/n！*A（x）^n*exp（-（n-1）*x*A（x”））。
（4.c）A（x）=1+3*和{n>=1}n*（n+2）^（n-2）*x^n/n！*A（x）^n*exp（-n*x*A（x”））。
（4.d）A（x）=1+4*和{n>=1}n*（n+3）^（n-2）*x^n/n！*A（x）^n*exp（-（n+1）*x*A（x”））。
a（n）~n^（n-1）*（1+2*LambertW（1/sqrt（2）））^（n+3/2）/（sqrt-瓦茨拉夫·科特索维奇2023年10月6日
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| 例子
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例如：A（x）=1+x+6*x^2/2！+54*x^3/3！+728*x^4/4！+13000*x^5/5！+290352*x^6/6！+7800016*x ^ 7/7！+245115264*x^8/8！+。。。
其中A（x）满足A（x
也
A（x）=1+1^0*x*A（x）*exp（+1*x*A（x））/1！+2^1*x^2*A（x）^2*exp（-0*x*A（x））/2！+3^2*x^3*A（x）^3*exp（-1*x*A（x））/3！+4^3*x^4*A（x）^4*exp（-2*x*A（x））/4！+5^4*x^5*A（x）^5*exp（-3*x*A（x））/5！+6^5*x^6*A（x）^6*exp（-4*x*A（x））/6！+。。。
和
A（x）=1+3*1*3^（-1）*x*A（x3*2*4^0*x^2*A（x）^2*exp（-2*x*A（x））/2！+3*3*5^1*x^3*A（x）^3*exp（-3*x*A（x））/3！+3*4*6^2*x^4*A（x）^4*exp（-4*x*A（x））/4！+3*5*7^3*x^5*A（x）^5*exp（-5*x*A（x））/5！+。。。
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| 数学
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nmax=20；A[_]=0；Do[A[x_]=1+x*A[x]*E^（2*x*A[x]）+O[x]^（nmax+1）//正常，nmax+1]；系数列表[A[x]，x]*范围[0，nmax]！(*瓦茨拉夫·科特索维奇2023年10月6日*）
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| 黄体脂酮素
|
（PARI）/*a（n，m）=系数x^n/n！单位为A（x）^m，此处m=1*/
{a（n，m=1）=n！*和（k=0，n，二项式（n+m，n-k）*m/（n+m）*2^k*（n-k）^k/k！）}
对于（n=0，20，打印1（a（n），“，”）
（PARI）{a（n）=my（a=（1/x）*serreverse（x/（1+x*exp（2*x+O（x^（n+2）））；n！*polceoff（a，n）}
对于（n=0，20，打印1（a（n），“，”）
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| 交叉参考
|
囊性纤维变性。61633英镑,A366233,A366234飞机,A366235型.
囊性纤维变性。A365772型（双重）。
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| 关键字
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分配
非n
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| 作者
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保罗·D·汉纳，2023年10月5日
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| 状态
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经核准的
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| 第27版批准人布鲁诺·贝塞利美国东部时间2023年7月20日星期四10:11:37 |
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| 名称
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分配给Seiichi Manyama
和{k>0}k*x^k/（1+x^k）^3的展开式。
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| 数据
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1, -1, 9, -12, 20, -12, 35, -60, 72, -30, 77, -132, 104, -56, 210, -256, 170, -117, 209, -320, 378, -132, 299, -672, 425, -182, 594, -588, 464, -360, 527, -1040, 858, -306, 910, -1224, 740, -380, 1170, -1640, 902, -672, 989, -1364, 1890, -552, 1175, -2928, 1470, -775, 1938, -1872, 1484, -1080, 2090
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| 抵消
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0,3
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| 配方奶粉
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a（n）=（n/2）*和{d|n}（-1）^（d+1）*（d+1(A002129号（n）+A048272号（n） ）。
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|
| 数学
|
a[n_]：=除数和[n，（-1）^（#1）*（#+1）&]*n/2；阵列[a，55](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年7月20日*）
|
|
| 黄体脂酮素
|
（PARI）我的（N=60，x='x+O（'x^N））；Vec（总和（k=1，N，k*x^k/（1+x^k）^3））
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|
| 交叉参考
|
囊性纤维变性。A320900型,A364351型.
囊性纤维变性。A002129号,A048272号,A309731型.
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| 关键字
|
分配
签名
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| 作者
|
Seiichi Manyama先生，2023年7月19日
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| 状态
|
经核准的
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| 第11版批准人布鲁诺·贝塞利2023年7月20日星期四上午10:10:59 |
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| 名称
|
分配给Seiichi Manyama
和{k>0}k^2*x^k/（1+x^k）^3的展开式。
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| 数据
|
1, 1, 15, -6, 40, 12, 77, -60, 180, 30, 187, -120, 260, 56, 630, -376, 442, 117, 551, -340, 1218, 132, 805, -1104, 1325, 182, 1998, -672, 1276, 360, 1457, -2032, 2970, 306, 3290, -1710, 2072, 380, 4134, -3080, 2542, 672, 2795, -1672, 7830, 552, 3337, -6816, 4998, 775, 7038, -2340, 4240, 1080
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| 抵消
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0,3
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| 配方奶粉
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a（n）=（n/2）*和{d|n}（-1）^（n/d+1）*（d+n）=(A000593号（n） +个*A048272号（n） ）。
|
|
| 数学
|
a[n_]：=除数和[n，（-1）^（n/#+1）*（#+n）&]*n/2；阵列[a，55](*阿米拉姆·埃尔达尔2023年7月20日*）
|
|
| 黄体脂酮素
|
（PARI）我的（N=60，x='x+O（'x^N））；Vec（总和（k=1，N，k^2*x^k/（1+x^k）^3））
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| 交叉参考
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囊性纤维变性。A320900型,A364343型.
囊性纤维变性。A000593号,A048272号,A309732型.
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| 关键字
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分配
签名
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| 作者
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Seiichi Manyama先生，2023年7月19日
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| 状态
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经核准的
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| A364298型
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| 按升序反对偶读取的平方数组：T（n，k）=[x^k]1/（1+x）*Legendre_P（k，（1-x）/（1+x））^（-n）表示n>=1，k>=0。
(历史;已发布版本)
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| 第8版批准人布鲁诺·贝塞利2023年7月20日星期四上午10:10:40 |
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| 名称
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方形 阵列 阅读 通过 提升 反对症:T型(n个,k个) = [x个^k个]1/(1+x个) *勒让德_对(k个, (1-x个)/(1+x个))^(-n个)对于n个>=1,k个>=0.
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|
| 数据
|
1, 1, 1, 1, 3, 19, 1, 5, 73, 721, 1, 7, 163, 3747, 49251, 1, 9, 289, 10805, 329001, 5370751, 1, 11, 451, 23623, 1179251, 44127003, 859748023, 1, 13, 649, 43929, 3100001, 190464755, 8405999785, 190320431953, 1, 15, 883, 73451, 6751251, 589050007, 42601840975, 2160445363107
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| 抵消
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1,5
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| 评论
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在方形阵列中A364113型，第n行中的第k个条目定义为[x^k]1/（1-x）*Legendre_P（k，（1+x）/（1-xA364113型n的负值。
阿佩里数的两种类型A005258号和A005259号通过以下公式与勒让德多项式相关A005258号（k） =[x^k]1/（1-x）*Legendre_P（k，（1+x）/（1-x））和A005259号（k） =[x^k]1/（1-x）*Legendre_P（k，（1+x）/（1-xA364113型
两种类型的Apéry数都满足超同余
1） u（n*p^r）==u（n*1）（模p^（3*r））
和移位的超同余
2） u（n*p^r-1）==u（n*1（r-1）-1）（模p^（3*r））
对于所有素数p>=5以及正整数n和r。
我们推测当前表的每个行序列满足相同的一对超同余。
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| 例子
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方形数组开始
否|0 1 2 3 4 5 6
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
1 | 1 1 19 721 49251 5370751 859748023
2 | 1 3 73 3747 329001 44127003 8405999785
3 | 1 5 163 10805 1179251 190464755 42601840975
4 | 1 7 289 23623 3100001 589050007 152184210193
5 | 1 9 451 43929 6751251 1479318759 434790348679
6 | 1 11 649 73451 12953001 3219777011 1062573281785
|
|
| MAPLE公司
|
T（n，k）：=系数（级数（1/（1+x）*LegendreP（k，（1-x）/（1+x））^（-n），x，11），x（k）：
#显示为方形阵列
seq（打印（seq（T（n，k），k=0..10）），n=1..10）；
#显示为序列
seq（seq（T（n-k，k），k=0..n-1），n=1..10）；
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|
| 交叉参考
|
A364299型（第1行），A364300型（第2行），A364301型（主对角线），A364302型（第一次对角线）。囊性纤维变性。A005258,A005259号,A143007号,A364113型.
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| 关键字
|
分配
非n,表,容易的
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| 作者
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彼得·巴拉2023年7月18日
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| 状态
|
经核准的
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|
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| A364302型
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| a（n）=[x^n]1/（1+x）*Legendre_P（n，（1-x）/（1+x））^（-n-1），对于n>=0。
(历史;已发布版本)
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|
| 第6版批准人布鲁诺·贝塞利2023年7月20日星期四10:10:07 EDT |
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| 名称
|
分配给彼得·巴拉
a（n）=[x^n]1/（1+x）*Legendre_P（n，（1-x）/（1+x））^（-n-1），对于n>=0。
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|
| 数据
|
1, 3, 163, 23623, 6751251, 3219777011, 2313306332191, 2337707082109071, 3163417897474821763, 5524913023443862515019, 12101947272421487464092429, 32493996621780038121738419591, 104964758754905547830609842389527, 401618040258524641485654323795309235
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| 抵消
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0,2
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| 评论
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的第一个次对角线A364298型.
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| 配方奶粉
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推测：
1） 超同余a（p）==2*p+1（modp^3）适用于所有p>=5的素数（检查到p=101）。
2） 超同余a（p-1）==1（modp^4）适用于所有素数p>=3（检查到p=101）。
3） 更一般地说，超同余a（p^k-1）==1（modp^（3+k））可能适用于所有素数p>=3和所有k>=1。
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|
| MAPLE公司
|
a（n）：=系数（级数（1/（1+x）*LegendreP（n，（1-x）/（1+x））^（-n-1），x，21），x
seq（a（n），n=0..20）；
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|
| 交叉参考
|
囊性纤维变性。A364117型,A364298型,A364301型.
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| 关键字
|
分配
非n,容易的
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| 作者
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彼得·巴拉2023年7月18日
|
|
| 状态
|
经核准的
|
| |
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|
| |
|
| A364301型
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| a（n）=[x^n]1/（1+x）*Legendre_P（n，（1-x）/（1+x））^（-n）对于n>=0。
(历史;已发布版本)
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| |
|
| 第8版批准人布鲁诺·贝塞利2023年7月20日星期四10:09:50 EDT |
|
| 名称
|
分配给彼得·巴拉
a（n）=[x^n]1/（1+x）*Legendre_P（n，（1-x）/（1+x））^（-n）对于n>=0。
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|
| 数据
|
1, 1, 73, 10805, 3100001, 1479318759, 1062573281785, 1073267499046525, 1451614640844881665, 2534009926232394596267, 5548110762587726241026801, 14890865228866506199602545427, 48084585660733078332263158771313, 183923731031112887024255817209295155, 822427361894711201025101782425695273529
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| 抵消
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0,3
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| 评论
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的主对角线A364298型（带有额外的初始项1）。与进行比较A364116型.
比较两类阿佩里数A005258号和A005259号，与勒让德多项式相关A005258号（n） =[x^n]1/（1-x）*Legendre_P（n，（1+x）/（1-x））和A005259（n） =[x^k]1/（1-x）*Legendre_P（n，（1+x）/（1-x））^2。
A005258号是的主对角线A108625号和A005259号是的主对角线14307年.
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| 配方奶粉
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推测：
1） a（p）==2*p-1（modp^4），对于所有素数p>=5（检查到p=101）。
更一般地说，超同余a（p^k）==2*p^k-1（modp^（3+k））可能适用于所有素数p>=5和所有k>=1。
2） a（p-1）==1（mod p^3），对于除p=3以外的所有素数p（检查到p=101）。
更一般地说，超同余a（p^k-p^（k-1））==1（modp^。
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| MAPLE公司
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a（n）：=系数（级数（1/（1+x）*LegendreP（n，（1-x）/（1+x））^（-n），x，21），x
seq（a（n），n=0..20）；
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|
| 交叉参考
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囊性纤维变性。A005258,A005259号,A108625号,A143007号,A364116型,A364298型,A364302型.
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| 关键字
|
分配
非n,容易的
|
|
| 作者
|
彼得·巴拉2023年7月18日
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| 状态
|
经核准的
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| |
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| A364300型
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| a（n）=[x^n]1/（1+x）*Legendre_P（n，（1-x）/（1+x））^（-2），对于n>=0。
(历史;已发布版本)
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| 第7版批准人布鲁诺·贝塞利2023年7月20日星期四上午10:09:34 |
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| 名称
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分配给彼得·巴拉
a（n）=[x^n]1/（1+x）*Legendre_P（n，（1-x）/（1+x））^（-2），对于n>=0。
|
|
| 数据
|
1, 3, 73, 3747, 329001, 44127003, 8405999785, 2160445363107, 720972846685225, 303256387595475003, 157007652309393485073, 98141188253799911132091, 72882030213423405890701449, 63436168183711463443127520699, 63968150042375034921379294100073, 73985402858435691329113991048739747
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| 抵消
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0,2
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| 评论
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第2行，共行A364298型.
与Apéry数字比较A005259号，与勒让德多项式相关A005259号（n） =[x^n]1/（1-x）*Legendre_P（n，（1+x）/（1-x））^2。
A005259号满足超同余
1） u（n*p^r）==u（n*1）（模p^（3*r））
和移位的超同余
2） u（n*p^r-1）==u（n*1（r-1）-1）（模p^（3*r））
对于所有素数p>=5以及正整数n和r。
我们推测当前序列也满足超同余1）和2）。
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| 配方奶粉
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推测：
1） 17*a（p）-11*a（p-1）==40（mod p^5），对于所有素数p>=7（检查到p=101）。
2） 对于r>=2，对于所有素数p>=5，17*a（p^r）-11*a（p ^r-1）==17*a（p^（r-1））-11*a（p^（r_1）-1）（mod p^，3*r+3））。
3） a（p）^（3*17）==a（1）^。
4） 对于r>=2，所有素数p>=5的a（p^r）^（3*17）*a（p^（r-1）-1）^11==a（p^（r-1））^（3*17）*a（p^r-1）^11（mod p^（3*r+3））。
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| MAPLE公司
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a（n）：=系数（级数（1/（1+x）*LegendreP（n，（1-x）/（1+x））^（-2），x，21），x
seq（a（n），n=0..20）；
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| 交叉参考
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囊性纤维变性。A005259号,A364298型,A364299型,A364301型,A364302型.
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| 关键字
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分配
非n,容易的
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| 作者
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彼得·巴拉2023年7月18日
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| 状态
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经核准的
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