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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A293129号 五十、 g.f.:和{n=-oo..+oo}(x-x^(2*n-1))^(2*n-1)/(2*n-1)。 5
1、4、4、1、1、15、1、12、40、16、1、77、92、24、101、28、204、373、1、36、667、40、575、689、826、48、39393、15882、1379、1937、590、590、60、6101、64、1、5227、3129、9515、1826、76、4390、12404、11341、11341、84、18361、18361、88、5875、46320、7844、46320、7844、96、1553、333333、38886、50883、25741、108、25741、108、25505025741、108、2550507、44993、822658226582265、82265、82265、82265、5891449、15835、120、150162、12419376、390653、104015,29394、136、242217、249506、507789、144、210831、148、33079、647187、593029、711482、47101、160 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
抵消

1,2

评论

将l.g.f.与:Sum{n=-oo..+oo,n<>0}(x-x^n)^n/n=-log(1-x)。

这里l.g.f.l(x)=和{n>=1}a(n)*x^(2*n-1)/(2*n-1)。

a(2^n+1)=1表示n>=1(猜想)。

链接

保罗·D·汉娜,n=1..2050的n,a(n)表

公式

五十、 g.f.:Sum{n=-oo..+oo}(x+x^(2*n-1))^(2*n-1)/(2*n-1)-注意加号。

五十、 g.f.:-log(1-x)-Sum{n=-oo..+oo,n<>0}(x-x^(2*n))^(2*n)/(2*n)。

五十、 g.f.:L(x)=P(x)+Q(x),其中

P(x)=和{n>=1}(x-x^(2*n-1))^(2*n-1)/(2*n-1),

Q(x)=和{n>=1}x^((2*n-1)^2)/((2*n-1)*(1-x^(2*n))^(2*n-1))。

例子

五十、 g.f.“g.f.:L(x)L(x)=x+4*x^3/3+x^5/5/5+15*x x^7/7+x x^9/9+12*x^11/11/11+40*x^13/13+16*x^15/15+15/15+x 17/17+77*x ^19/19+19+92*x^21/21+24*x^23/23/23+101*x^25/25+25+28*x 27/27+204*x^29/29/29+373*x^31/31/31+x^33/33+36*x^35/35+667*x^37/37/37+40*40*21/21+24+24*x^23+33/33/33+x^39/39+575*x^41/41+689*x^43/43+826*x^45/45+48*x^47/47+393*x^49/49+1582*x^51/51+1379*x^53/53+1937年x^55/55+590*x^57/57+60*x^59/59+。。。

使L(x)=和{n=-oo..+oo}(x-x^(2*n-1))^(2*n-1)/(2*n-1)。

n>=1时,L(x)中x^(2^n+1)/(2^n+1)的系数开始:

[4,1,1,1,1,1,1,1,1,…],

而且a(k)=1仅在k=1和k=2^n+1(n>=1)时才出现。

我们可以写L(x)=P(x)+Q(x),其中

P(x)P(x)x(x x x x)x(x x x x 3)3/3+(x-x x 5 5)5/5+(x-x x ^7)^7/7+(x-x ^9)9 9/9+(x-x x ^11)^11/11+(x-x x ^13)^13/13+(x-x ^15)^15/15+(x-x ^17)^17/17+(x-x ^19)(x-x ^19)^19/19+(x-x x ^21)^21/21+(x-x-x ^21)^21/21+(x-x x^(2*n-1))^(2*2*2*x ^(2*x(2*x(2*n-x(1)(1 n-1)/(2*n-1)+。。。

Q(x)Q(x)=x/(1-x^2)+x^9/(3*(1-x^4)^3)+x^25/(5*(1-x ^6)^5)+x^49/(7*(1-x ^8)的7)+x ^81/(9*(1-x 10^10)^9)+x ^121/(11*(1-x 12)^11)+x ^169/(13*(1-x ^14)^13)加上…x ^ ^(2*n-1)^2)/(2*n-1)^(2*n-1)/((2*n-1)*(1-x ^(2*n))^(2*2*2*2*2*n)^(2*2*n-1))+。。。

明确地,

P(x)P(x)P(x)=x^3/3-4*x^5/5+8*x x^7/7—11*x^9/9+x^11/11+14*x x^13/13+x^15/15—50*x ^ 17/17+58*x ^ 19/19+x ^ 21/21+x ^ 23/23-54*x ^ 25/25+x ^27/27 x 27/27 x 27/27*28*x 29/29+31*x ^ 31/31 ^ 340 x ^ 33/33+x ^ 35/35+75*x ^ 11/11/11+14*x ^ 13/13 ^ x ^ 13/13/15 ^ 15 x^43/43-44*x^45/45+x^47/47-1427*x^49/49+1531*x^51/51-52*x^53/53+496*x^55/55-1253*x^57/57+x^59/59+1343*x^61/61+x^63/63-2924*x^65/65+。。。

Q(x)Q(x)=x+x+3*x^3/3+5*x^5/5/5+7*x^7/7/7+12*x^9/9+11*x^11/11/11+26*x^13/13/13+15*x^15/15+51*x^17/17+19*x^19/19/19+91*x ^21/21+21+23*x^23/23+155*x^25/25/25+27*x 27/27/27+232*x^29/29/29+62*x^31/31+31+341*x^31/31+341*x^33/33+35*x^35/35/35*x^19/19/19/19+91*21/21/21/23 37+39*x^39/39+656*x^41/41+344*x^43/43+870*x^45/45+47*x^47/47+1820*x^49/49+51*x^51/51+1431*x^53/53+1441*x^55/55+1843*x^57/57+59*x^59/59+4758*x^61/61+63*x^63/63+2925*x^65/65+。。。

P(x)中n>=1时x^(2^n+1)/(2^n+1)的系数开始:

[1,-4,-11,-50,-340,-2924,-169032,-33445208,-21619038032,1-A293599号(n) ,…]。

当n>=1时,Q(x)中x^(2^n+1)/(2^n+1)的系数开始:

[3,5,12,51,341,2925,169033,33445209,21619038033。。。,A293599号(n) ,…]。

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=my(P,Q,Ox=O(x^(2*n+1)));

P=和(m=1,n+1,(x-x^(2*m-1)+x)^(2*m-1)/(2*m-1));

Q=和(m=1,平方(n+1),x^((2*m-1)^2)/((2*m-1)*(1-x^(2*m)+Ox)^(2*m-1));

(2*n-1)*polcoeff(P+Q,2*n-1)}

对于(n=1,80,打印1(a(n),“,”)

交叉引用

囊性纤维变性。A293597号(P(x)),A293598号(Q(x)),A293599号,邮编:A291937.

上下文顺序:邮编:A164794 A226478号 A328235飞机*A200062号 A229468号 A319039型

相邻序列:A293126号 A293127号 A293128号*A293130型 A293131号 A293132号

关键字

作者

保罗·D·汉娜2017年10月11日

状态

经核准的

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上次修改日期:美国东部时间2020年10月28日13:15。包含338055个序列。(运行在oeis4上。)