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(问候来自整数序列在线百科全书!)
邮编:A291937 G、 f.:和{n=-oo..+oo}n*x^n*(1-x^n)^n。 4
1、2、2、2、2、2、0、4、3、6、3、8、15、28、28、24、12、0、14、48、96、-95、18、55、20、-180、232、120、24、-35、76、168、460、460、580、30、515、32、-927、804、288、456、456、497、38、360、1288、1169、42、847、47、44、2958、3700、-528、48、3700、528、48、2599、1482522522522526、2772、5537、54、595、5336、、6930、3820、3820、60、60、791、62、9609609609、9601、791、62、62、60、6448,-12351,12936,-3167,68,-15435,6648、21365、72、-26646、74、-13683776、-23730、8394、-16548、807101 (列表;图表;参考文献;;历史;文本;内部格式)
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评论

比较o.g.f.到:Sum{n=-oo..+oo}x^n*(1-x^n)^n  =  0

将l.g.f.与:Sum{n=-oo..+oo,n<>0}x^n*(1-x^(n-1))^n/n  =  -对数(1-x)。

当a(n+2)是n>7的倍数时,则a(n+2)/n=—(n+4)/4,只有极少数例外(n=18,131,412。。。n=10,a(12)=0。特别地,当n-1是p=4k+3形式的素数时,则a(p+3)=-(k+2)(p+1)(与a(p)=p+1相比),除了k=11、16、26、31、37、41。。。。这些例外到底是什么-M。F。哈斯勒2017年10月10日

链接

保罗D。汉娜,n=0..6600时的n,a(n)表

公式

o.g.f.A(x)=和{n>=0}A(n)*x^n满足:

(1) A(x)=和{n=-oo..+oo}n*x^n*(1-x^n)^n。

(2) A(x)=和{n=-oo..+oo}n^2*x^(2*n)*(1-x^n)^(n-1)。

(3) A(x)=和{n=-oo..+oo}-n*x^(2*n)*(1-x^n)^(n-1)。

(4) A(x)=和{n=-oo..+oo}-(-1)^n*n*x^(n^2-n)/(1-x^n)^n。

(5) A(x)=和{n=-oo..+oo}-(-1)^n*n^2*x^(n^2-n)/(1-x^n)^(n+1)。

(6) A(x)=极限{K->oo}和{n=-oo..+oo}x^(n-K)*(1-x^n-x^(n+K))^n。

(7) A(x)=极限{K->oo}和{n=-oo..+oo}x^(n-K)*(1-x^n+n*x^(n+K))^n。

l.g.f.l(x)=和{n>=1}a(n)*x^n/n满足:

(8) L(x)=-1+Sum{n=-oo..+oo,n<>0}x^n*(1-x^n)^n/n。

对于奇素数p,a(p)=p+1。

例子

O、 g.f.:A(x)=1+2*x+4*x^3-3*x^4+6*x^5-3*x^5-3*x^6+8*x^7-15*x^8+28*x^9-24*x^10+12*x^11+14*x^13-48*x x^14+96*x^15-96*x^15-95*x^16+18*x^17+55*x^18+55*x 18+20*x^19-180*x^20+232*x^21-120*x x^22+24*24*x^23-35*x x^24+24*x^23-35*x x^24+24*x^23-35*x^24+24*x^24*x^24*x^26+460*x^27-580*x^28+30*x^29+515*x^30+。。。

式中A(x)=P(x)+Q(x),其中

P(x)=x*(1-x)+2*x^2*(1-x^2)^2+3*x^3*(1-x^3)^3+4*x^4*(1-x^4)^4+5*x^5*(1-x^5)^5+…+n*x^n*(1+x^n)^n+。。。

Q(x)=1/(1-x)-2*x^2/(1-x^2)^2+3*x^6/(1-x^3)^3-4*x^12/(1-x^4)^4+5*x^20/(1-x^5)^5+…+-(-1) ^n*n*x^(n^2-n)/(1-x^n)^n+。。。

明确地,

P(x)P(x)P=x+x^2+3*x^3+5*x^5-x x^6+7*x^7-8*x^8+18*x^9-15*x x^10+11*x^11-3*x^12+13*x^13-35*x^14+65*x^15-64*x x^16+16+17*x^17+27*x^18+18+19*x^19-126*x^20+168*x^21-99*x^22+23*x^23-23*x^23-16*x^24+50*x^25-25-143*x x^26+351*x x^16*x^24+50*x 25-143*x*x x x x^26+351*^27-413*x^28+29*x^29+340*x^30+。。。

Q(x)Q(x)=1+x-x x^2+x^3-3*x^4+x^5-2*x^6+x^7-7*7*x^8+10*x^9-9*x x^9-9*x^10+x^11+11+3*x^12+x^13-13*x^14+31*x^15-31*x ^15*31*x^16*x^17+28*x^18+18+x^19-54*x x^20+54*x 20+x^21-21*x^22+x^22+x^23-19*x^24+26*x^25-25*x 25*x^26+25*x^26*x^25*x^26+109*x^27*x^27*x 28+x^29+175*x^30+。。。

另外,A(x)=M(x)+N(x),其中

M(x)=x^2+4*x^4*(1-x^2)+9*x^6*(1-x^3)^2+16*x^8*(1-x^4)^3+25*x^10*(1-x^5)^4+…+n^2*x^(2*n)*(1-x^n)^(n-1)+。。。

N(x)=1/(1-x)^2-4*x^2/(1-x^2)^3+9*x^6/(1-x^3)^4-16*x^12/(1-x^4)^5+25*x^20/(1-x^5)^6+…+-(-1) ^n*n^2*x^(n^2-n)/(1-x^n)^(n+1)+。。。

明确地,

M(x)=x^2+4*x^4+5*x^6+16*x^8-18*x^9+25*x^10-3*x^12+49*x^14-100*x^15+112*x^16-99*x^18+234*x^20-294*x^21+121*x^22+56*x^24-100*x^25+169*x^26-648*x^27+931*x^28-1010*x^30+。。。

N(x)=1+2*x x x^2+4*x^3-7*x^4+6*x^5-8*x^6+8*x^7-31*x^8+46*x^9-49*x^10+12*x^11+3*x^12+x 12+14*x^13-97*x^14*x^14+196*x^15-207*x^16+18*x^17+154*x^18+20*x^19-414*x^20+526*x^21-241*x^22+24*x^23-24*x^24*x^14*x^14*x^14*x^20+526*x^21-241*x^22+24*x^22+24*x^23+176*x^25-337*x^26+1108*x^27-1511*x^28+30*x^29+1525*x^30+。。。

2次方的任期开始:

a(2^n)=[2,0,-3,-15,-95,-927,-12351,-457215,-137484287,-71927383551,-12774376215944191,-207385012348744519551,-7800411261694477161745918353407,…]。

3次方的任期开始:

a(3^n)=[2,4,28,460,10774,80195104,2894790054826。。。,A292184(n) ,…]。

5次方的任期开始:

a(5^n)=[2,6,76,379626,1259880626,4828768869002981409762696876,…]。

数学

术语=200;和[n*x^n*(1-x^n)^n,{n,-项,项}]+O[x]^项//

系数表(*让·弗兰ç奥伊斯·阿尔科弗2017年10月11日*)

黄体脂酮素

(PARI){a(n)=my(l=1+O(x^(2*n+2)));polcoeff(sum(k=-n-2,n+2,k*x^k*(l-x^k)^k),n)}\\M。F。哈斯勒2017年10月11日

(PARI){a(n)=my(l=1+O(x^(2*n+2)));polcoeff(sum(k=-n-2,n+2,if(k,k^2*x^(2*k)*(l-x^k)^(k-1))),n)}\\M。F。哈斯勒2017年10月11日

(PARI){a(n)=my(x='x+O('x^(2*n+2)));polcoeff(sum(k=-n-2,平方(2*n)+2,-(-1)^k*k*x^(k^2-k)/(1-x^k)^k),n)}\\M。F。哈斯勒2017年10月11日

(PARI){a(n)=my(x='x+O('x^(2*n+2)));polcoeff(sum(k=-n-2,sqrtint(2*n),if(k,-(-1)^k*k*x^(k^2-k)/(1-x^k)^(k+1)),n)}\\M。F。哈斯勒2017年10月11日

对于(n=0,80,打印1(a(n),“,”)

(平价)邮编:A291937_vec(n)={my(x='x+O('x^(2*n+2)))-Vec(sum(k=-n-2,sqrtint(2*n),如果(k,(-1)^k*k*x^(k^2-k)/(1-x^k)^(k+1)))[1..n+1]}\\n如果需要a(0..n)中的多个值,则一次计算整个向量的效率最高。E、 g.,sum(n=0..150,a(n))需要约10秒,vecsum(邮编:A291937_vec(150))需要~0.1秒-M。F。哈斯勒2017年10月11日

交叉引用

囊性纤维变性。A292184,A262007年,A292177,A293129号.

上下文顺序:A204187号 A095202号 A343923*A243488号 邮编:A154849 A339261

相邻序列:  邮编:A291934 A291935年 邮编:A291936*A291938年 邮编:A291939 甲291940

关键字

签名,

作者

保罗D。汉娜2017年9月6日

状态

经核准的

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