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(问候来自整数序列在线百科全书!)
A293129号 五十、 g.f.:和{n=-oo..+oo}(x-x^(2*n-1))^(2*n-1)/(2*n-1)。 5

%我

%第1,4,1,15,1,12,40,16,1,77,92,24101,28204373,1,36667,40575689,

%电话826,48393158213791937590,606101,64,15227312995151826,76,

%美国电话:43901240411341、8418361、885875463207844、9615533313388865088325741108255074499382265914491583512015016212419376390653、1104015293941362422172495065077891442108311483307964718759302971148247101160

%N L.g.f.:和{N=-oo..+oo}(x-x^(2*N-1))^(2*N-1)/(2*N-1)。

%C将l.g.f.与:Sum{n=-oo..+oo,n<>0}(x-x^n)^n/n=-log(1-x)。

%这里l.g.f.l(x)=和{n>=1}a(n)*x^(2*n-1)/(2*n-1)。

%C a(2^n+1)=1表示n>=1(猜想)。

%H Paul D.Hanna,<a href=“/A293129/b293129.txt”>n,a(n)表,n=1..2050</a>

%F L.g.F.:Sum{n=-oo..+oo}(x+x^(2*n-1))^(2*n-1)/(2*n-1)-注意加号。

%F L.g.F.:-log(1-x)-Sum{n=-oo..+oo,n<>0}(x-x^(2*n))^(2*n)/(2*n)。

%F L.g.F.:L(x)=P(x)+Q(x),其中

%F P(x)=和{n>=1}(x-x^(2*n-1))^(2*n-1)/(2*n-1),

%F Q(x)=和{n>=1}x^((2*n-1)^2)/((2*n-1)*(1-x^(2*n))^(2*n-1))。

%e L.g.f.:L(x)=x+4*x^3/3+x^5/5+15*x^7/7+x^9/9+12*x^11/11+40*x^13/13+13/13+16*x 15/15+x^17/17+77*77*x 19/19+92*x x 21/21/21+24*x^23/23/23+101*x^25/25+28*x^27/27+27/27+204*x^29/29+29+373*x^31/31/31+x^33/33+36*36*x^35/35+667*x^37/37/37+40*x ^15/15+15+x^17/17+77*x^37/37+40*x^39/39+39+39/23/23+5*x^41/41+689*x^43/43+826*x^45/45+48*x^47/47+393*x^49/49+1582*x^51/51+1379*x^53/53+1937*x^55/55+590*x57/57+60*x59/59+。。。

%使L(x)=和{n=-oo..+oo}(x-x^(2*n-1))^(2*n-1)/(2*n-1)。

%e当n>=1时,L(x)中x^(2^n+1)/(2^n+1)的系数开始:

%e[4,1,1,1,1,1,1,1,1,…],

%当k=1且k=2^n+1(n>=1)时,a(k)=1。

%我们可以写L(x)=P(x)+Q(x),其中

%e P(x)e P(x)P(x x x x)x(x-x x 3)3/3+(x-x x 5 5)5/5+(x-x x 7)^7/7+(x-x ^9)9 9/9+(x-x x ^11)^11/11+(x-x x ^13)^13/13+(x-x ^15)^15/15+(x-x ^17)^17/17+(x-x ^19)(x-x ^19)^19/19+(x-x-x ^21)^21/21+(x-x x ^21)^21/21+(x-x x ^(2*n-1))^(2 2 2 2(2(2(2 n 1))(2(2-x x x x x ^*n-1)/(2*n-1)+。。。

%e Q(x)Q(x)的Q(x)=x/(1-x^2)+x^9/(3*(1-x^4)^3)+x^25/(5*(1-x^6)^5)+x^49/(7*(1-x ^8)^7)+x ^81/(9*(1-x 10^10)^9)+x ^121/(11*(1-x 12)^11)+x ^169/(13*(1-x ^14)^13)+x ^ x ^(2*n-1)^2)/(2*n-1)^(2*n-1)*(1-x ^(2*n))^(2 2)2(2)^(2(2*n)^(2*n)*n-1))+。。。

%明确地说,

%e P(x)=x^3/3-4*x^5/5+8*x^7/7-11*x^9/9+x^11/11+14*x^13/13+x^15/15-15-50*x^17/17+58*x^19/19+x^21/21+x^23/23/23-54*x^25/25+x 27/27 27-28*x^29/29+311*x x^31/31-340*x^33/33/33+x^35/35/35+75*x^37/37+x^37/37+x^39/39/39-81*x^41/41+345*x x^25/25+35+75*x^37/37+x^39/39/39/39/39-81*x^41^43/43-44*x ^45/45+x ^47/47-1427*x ^49/49+1531*x ^51/51-52*x ^53/53+496*x ^55/55-1253*x ^57/57+x ^59/59+1343*x^61/61+x^63/63-2924*x^65/65+。。。

%e Q(x)x+3+3*x^3/3+5*x^5/5+7*x^7/7/7+12*x^9/9+11*11*x^11/11+26*x^13/13/13+15*x^15/15+51*x^17/17+19*x x^19/19/19+91*x ^21/21+21+23*x^23/23+23/23+155*x^25/25+25+27*27*27/27+27/27+27/27+232*x^29/29+62*x^31/31+31+31+341*x^33/33+35*x^35/35/35+35*35/35/35/35/35/35/35+35*x^19/19/19/19/*x^39/39+656*x^41/41+344*x^43/43+870*x^45/45+47*x^47/47+1820*x^49/49+51*x^51/51+1431*x^53/53+1441*x^55/55+1843*x^57/57+59*x^59/59+4758*x^61/61+63*x^63/63+2925*x^65/65+。。。

%e P(x)中n>=1时x^(2^n+1)/(2^n+1)的系数开始:

%e[1,-4,-11,-50,-340,-2924,-169032,-33445208,-21619038032,1-A293599(n),…]。

%e当n>=1时,Q(x)中x^(2^n+1)/(2^n+1)的系数开始:

%e[3,5,12,51,341,2925,169033,33445209,21619038033,…,A293599(n),…]。

%o(PARI){a(n)=my(P,Q,Ox=o(x^(2*n+1)));

%o P=和(m=1,n+1,(x-x^(2*m-1)+Ox)^(2*m-1)/(2*m-1));

%o Q=和(m=1,平方(n+1),x^((2*m-1)^2)/((2*m-1)*(1-x^(2*m)+Ox)^(2*m-1));

%o(2*n-1)*polcoeff(P+Q,2*n-1)}

%o表示(n=1,80,打印1(a(n),“,”)

%参见A293597(P(x))、A293598(Q(x))、A293599、A291937。

%不知道

%O 1,2号

%A·保罗·D·汉纳,2017年10月11日

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上次修改时间:2021年10月19日22:05。包含348095个序列。(运行在oeis4上。)