对于n>3，gcd（a（n），a（n-1））=1，gcd。（这只是对定义的重申。）
这是现在已知的自然数的排列：参见2015年Applegate、Havermann、Selcoe、Shevelev、Sloane和Zumkeller的文章。
一些已知特性（但有关更全面的处理，请参阅上述文章）：
1.序列是无限的。证明：我们总是可以取a（n）=a（n-2）*p，其中p是大于除a（1）的任何素数的素数。..，a（n-1）。量化宽松政策
2.至少三分之一的术语是复合术语。证明：序列不能包含三个连续的素数。所以至少三分之一的术语是复合的。量化宽松政策
对于任何素数p，都有一个可以被p整除的项。证明：假设不是。（i）没有素数q>p可以划分任何项。因为如果a（n）=kq是q的第一个倍数，那么我们可以用kp<kq来代替，这是一个矛盾。因此，每个项a（n）都是素数<p的乘积。（ii）选择n，使得对于所有n>n，a（n）>p^2。对于n>n，设a（n）=bg，a（n+1）=c，a（n+2）=dg，其中g=gcd（a（n），a（n+2））。设q是g的最大素因子。我们知道q<p，所以qp<p^2<dg，所以我们可以用qp代替dg，这是一个矛盾。量化宽松政策
3a、。设a（n_p）是可被p整除的第一项（这是A251541型).那么a（n_p）=q*p，其中q是小于p的素数。如果p<r是素数，那么n_p<n_r。证明：定义的直接结果。
假设不是。然后让2x为最大偶数项。因为序列是无限的，所以存在一个N，对于任意N>N，a（N）是奇数，a（N）>x^2。
此外，必须有一些n>n，使得a（n）<a（n+2）。对于这个n，设g=gcd（a（n），a（n+2）），a。
由于dg>bg，d>b>=1，因此d>=3。此外，g>=3。
由于a（n）=bg>x^2，b或g中的一个是>x。
情况1:b>x。然后2b>2x，因此序列中尚未出现2b。而gcd（bg，2b）=b>x>1，gcd（2b，c）=1，并且由于g>=3，2b<bg<dg。所以a（n+2）应该是2b而不是dg。
情况2:g>x。然后2g>2x，因此序列中尚未出现2g。而gcd（bg，2g）=g>1，gcd（2g，c）=1，并且由于d>=3，2g<dg。所以a（n+2）应该是2g而不是dg。
无论哪种情况，我们都会得出一个矛盾。量化宽松政策
推测：
5.对于任何素数p>97，我们第一次看到p时，它是在子序列a（n）=2b，a（n+2）=2p，a（n+4）=p中，其中n约为2.14*p，gcd（b，p）=1。
6.|{k=1，..，n:a（k）<=k}|/n的值趋于1/2。 -乔恩·佩里2014年11月22日[评论编辑：N.J.A.斯隆2014年11月23日和2014年12月26日]
7.根据前250000项，我在2014年11月30日推测a（n）/n<=（Pi/2）*log n。
序列中的素数按其自然顺序出现。这个推测很有道理，但目前还没有证据。 -N.J.A.斯隆2015年1月29日
（结束）
前250000个点位于约8条大致直线上，其斜率约为0.467、0.957、1.15、1.43、2.40、3.38、5.25和6.20。
前六条线路似乎很完善，但目前坡度最高的两条线路相当稀疏。据推测，随着点数的增加，坡度将越来越大。
这些线可以在Havermann链接中看到。请参阅“slopes”链接，以获取按斜率排序的前250000个术语的列表（表中的四列分别给出了n、a（n）、斜率a（n）/n和a（n的除数）。
素数（有两个除数）都位于最低点，斜率为1.43和更高的直线基本上由两个素数（具有四个除数的）的乘积组成。
（结束）
上面提到的八条大致直线实际上是曲线。斜率为1.15的“线”的良好拟合是A（n）~=n（1+1.0/log（n/24.2）），其他“线”是A（n==（c/2）*n（1-0.5/log）（n/3.67）），对于c=1,2,3,5,7,11,13。第一条曲线由序列中的大多数奇数项组成。第二类由素数（c=1）、偶数项（c=2）和c*prime（c=3,5,7,11,13，…）组成。这种拟合函数形式是由观察到的偶数项和奇数项交替的模式（在前204项之后）驱动的，但序列模式2*p、奇、p、偶、q*p在到达素数（qa素数<p）时除外。 -乔恩·肖恩菲尔德和大卫·阿普尔盖特2014年12月15日
设P是素数。用S_P*P表示序列中出现的P的第一个倍数。然后
1） 对于P>=5，S_P是素数。
的确，让我们
a（n-2）=v，a（n-1）=w，a（n）=S_P*P.（*）
注意，gcd（v，P）=1。因此，根据序列的定义，S_P*P应该是gcd（v，S_P）>1的最小数。
所以S_P是v的最小素因子。
2） 所有素数的第一个倍数都是按自然顺序出现的。
假设不是。然后有一对素数P<Q，使得S_Q*Q出现在S_P*P之前
a（m-2）=v_1，a（m-1）=w_1，b（m）=S_Q*Q（**）
然后，如（*）所示，S_Q是v_1的最小素因子。但这并不取决于Q。所以S_Q*P在（**）中是一个较小的候选者，这是一个矛盾。
3） S_P<P。
实际上，从（*）可以看出，S_P的第一个倍数出现的时间早于P的第一次倍数。因此，通过2），S_P<P。
（结束）
对于任意给定的素数集S，由素数因子正好是S中素数的数组成的子序列以递增的顺序出现。例如，如果S={2,3}，6首先出现，然后是12、18、24、36、48、54、72等。每个子序列中的最小数字（即最先出现的数字）是无平方数A005117号（n） ，n>1。 -鲍勃·塞尔科2015年3月6日
