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A254077 A(n)=n,如果n<3,否则最小的数不早发生,使得GCD(a(n),a(n-2))>gCD(a(n),a(n-1))。 十三
1, 2, 3、4, 6, 8、9, 10, 12、5, 14, 15、7, 18, 21、16, 27, 20、33, 24, 11、26, 22, 13、28, 39, 32、30, 44, 25、34, 35, 17、40, 51, 36、40, 51, 36、y、y、y、y、y、y、y、y、γ、y、γ、γ 列表图表参考文献历史文本内部格式
抵消

1,2

评论

猜想:序列是无限的(即A(n)总是存在的)。

雷钱德勒报告序列肯定存在10 ^ 7项,APR 02 02。约翰·P·林德曼证实了这一点,并将该序列扩展到1290万个术语APR 09 2015。扩展到5000万项梅森4月21日2015。约翰·P·林德曼5月04日达到1亿5000万项,6月29日2015项达到25亿项,APR 07 2017项50亿项(见附函)。

注意,如果A(n)曾经划分(n + 1),序列将终止。这并没有发生在前25亿个条款(见林德曼链接),但也有一些密切的呼吁。例如,在n=9671,a(9671)=4973=素数p,和a(9672)=9947=2p+1。相反,如果A(n)从不除以(n+1),则序列是无穷的。-斯隆3月22日2015和6月06日2015

猜想:序列是自然数的置换。

猜想:1)对于k>=3,除K=5外,若A(n)=素数(k),则a(n-2)=2*素数(k)和a(n+2)=3*素数(k)。这一猜想得到了验证。皮特·J·摩西对于n<5000。-弗拉迪米尔谢维列夫,2月09日2015。这一猜想被验证为n<=10 ^ 7。-雷钱德勒,APR 02 2015。扩展到n<=10 ^ 9。-梅森,军08 2016

2)对于k>=3,除K=4外,若A(n)=素数(k)^ 2,则A(n-2)=素数(k)^ 2 +素数(k)。这一猜想得到了验证。皮特·J·摩西对于n<35000。-弗拉迪米尔谢维列夫,2月12日2015。这个猜想被验证为n<=394349。-雷钱德勒,07岁,2015岁。这个猜想是假的-对于n=4488245,a(n)=2137 ^ 2,但a(n-2)=2137 ^ 2+2×2137。-雷钱德勒,3月30日2015。其次是n=30655601,a(n)=5581 ^ 2,但a(n-2)=5581 ^ 2+2*5581,n=922447261,a(n)=30577 ^ 2,但a(n-2)=30577 ^ 2+2 *。-梅森9月15日2016

定理:A(n)不除以(n-1)。假设a(n-2)=x,a(n-1)=b*c,a(n)=c,然后gCD(x,c)<=c,和gCD(b*c,c)=c,这与A(n)的定义相矛盾。-斯隆3月22日2015

定理:如果A(n-2)是素数,A(n)存在,则A(n)是A(n-2)的倍数。对于:通过序列定义,假设a(n-2)=p,素数,然后gCD(a(n),p)>gCD(a(n),a(n-1));因此gCD(a(n),p)>1;而p是素数且只有1且本身为除数;因此gCD(a(n),p)=p,且因此a(n)是p的倍数(弱于上面的类似猜想)。梅森4月15日2015 [加盖的字斯隆4月16日2015

定理:如果A(n)存在,A(n)>a(n-2)/ 2,则A(n)是复合的。对于:假设A(n)=p,素数;然后由序列定义,GCD(p,a(n-2))>gCD(p,a(n-1));因此gCD(p,a(n-2))>1;因此a(n-2)是p的倍数;而a(n-2)<2p,因此我们存在矛盾,因此A(n)是复合的。这一定理提高了一些序列生成算法的效率。-梅森4月15日2015 [加盖的字斯隆4月16日2015 [进一步更正]梅森5月28日2017

定理:如果某个素数p的(n-2)=MP,m除以A(n-1),则A(n),如果存在,则是p的倍数(先前定理的推广,这是m=1的特例)。例如,见A(33)=17,A(35)=51,A(37)=68;A(37)是17的倍数,因为A(36)是3的倍数,在M(35)中是“M”。(如果一个(n-2)/gCD(a(n-2),a(n-1))是p,素数,则a(n),如果它存在,则是p-的倍数。梅森5月19日2015)

证明:考虑连续项p,y,z为素数p,m除以y。由序列定义gCD(z,MP)>gCD(z,y)。假设Z不是P的倍数,那么GCD(z,MP)=GCD(z,m),因此gCD(z,m)>gCD(z,y)。由于m除以y,则GCD(z,m)>gCD(z,q)为q= y/m,但这显然是不可能的。因此Z是P-的倍数。梅森4月17日2015

定理:素数的第一次出现作为序列的因素是升序的,并且没有间隙(即,2个先于3, 3个前5个(10个因子),5个先于7个(14个因子),…)。

证明:假设A(n)=MP是第一个具有p为因素的项。理论认为Q、素数和P都必须是前一项的一个因子。相反,假设一些Q、Prime和P不是前一项(A(1)到A(N-1))的一个因素。然后,通过序列定义,GCD(MP,A(N-2))> GCD(MP,A(N-1))。由于A(n)是第一个具有P作为因子的,p不除以(N-2)和A(N-1),也不区分Q。因此GCD(MP,A(N-2))=GCD(M,A(N-2))和GCD(MP,A(N-1))=GCD(M,A(N-1))。因此GCD(m,a(n-2))>gCD(m,a(n-1))。因此GCD(MQ,A(N-2))>GCD(MQ,A(N-1))。因此,MQ,<MP,将满足A(n)序列的条件,这是一个矛盾。因此,没有这样的质数Q存在。-梅森4月17日2015

定理:素数P作为序列中的一个因子的第一次出现是在一个不等于p本身的项中。

证明:假设A(n)=p,素数,第一项具有p作为一个因子。然后GCD(p,a(n-2))=1,因此不能大于GCD(p,a(n-1)),这是序列构造规则的矛盾。-梅森4月17日2015

猜想。素数作为序列的基本术语以升序存在。-梅森4月17日2015

梅森报告P素数P似乎出现在一个接近2p的名词N上,随着P的增加。A256213. -斯隆4月16日2015

猜想。对于任何n>4,A(n)从A(1)丢失的最小值x是素数。-梅森,4月29日2015。事实上,考虑到,显然,素数P出现在序列Cyc2p的位置上,我们可以推测,从A(1)到A(n)缺失的最低k值是素数,其中k=pi(n)-pi(n/2)-参见A000 0720. -梅森,军03 2015

定理:如果某个素数p>3的(n)=p,则a(n-2)是p的倍数。作为直接结果,如果A(n-2)的所有素因子已经存在于序列中,则A(n),如果存在,则是复合的。

证明:按序列定义,除非p=2或3,gCD(p,a(n-2))>gCD(p,a(n-1)),因此gCD(p,a(n-2))>1,因此a(n-2)是p-的倍数。梅森5月19日2015

首先不同于A2555在A(29)。-奥玛尔·E·波尔5月21日2015

猜想。对于n>778,如果A(n)<n,则A(n)为素数。这已经通过N到10 ^ 9得到了证实。-梅森,军03 2015 [修正,以下建议]约翰·P·林德曼通过梅森5月28日2017

猜想。至于上面的“猜想1”,这是它的镜像,除了n=2,3,21,对应于素数2,3,11,如果A(n-2)=MP是第一次出现素数p作为序列中的一个因子,则m=2和A(n)=p。此外,如果a(n-2)=MP是第一次出现素数p作为序列中的一个因子,则p不除以(n-1)。-梅森5月31日2016

定理1:如果A(n)是具有p(素数)作为因子的第一项,则a(n+1),如果它存在,则不是p的倍数,为了证明,请参阅链接。-梅森7月26日2016

定理2:如果A(n)=CP是素数p的第一次出现(n>3),则C具有恰好一个不同的素数因子。换言之,C可以表示为某个素数K的k^ i,i>0。

推论。如果A(n)=CP是素数p的第一次出现(n>3),并且作为某个素数k的C=k^ i,i>0,则k^ i除以(n-2)和k^(i-1)是k(n-1)的最大幂。

定理3。如果A(n)=2p是具有p(素数)为因子的第一项,则A(n-1)为奇,a(n-2)为偶数。

定理4。如果A(n)=2p是具有p(素数)作为因子的第一项,则(n=2),如果它存在,对于某个整数U来说是p或2u,因此2u<p(注意到它被猜想为总是p,并且观察证实了猜想)。

定理5,定理4的推广。如果A(n)=CP是p(素数)作为因子(n>3)的第一项,并且结果为素数k和i>0的C=k^ i,则A(n+1),如果存在,则对于某个整数U是P或Ku,因此Ku<P(注意猜想是P,并且观察证实了猜想)。

定理6。如果A(n)=CP是p,素数,作为因子(n>3)和a(n+1)=p的第一项,则存在(n+3),并且不是p的倍数,因此不终止序列。

定理7。如果A(n)=CP是p,素数,作为因子(n>3)和a(n+1)=p的第一项,则存在(n+4)且是2p或3p,并且存在(n+5)。

为了证明,请参阅链接。-梅森,八月03日2016

定理8:如果序列是无限的,则它是正整数的置换。为了证明,请参阅链接。-梅森9月14日2016

猜想:在2和3之后,没有两个素数是连续的项。这个猜想是从先前猜想导出的:“对于k>=3,除k=5外,如果A(n)=素数(k),则A(n-2)=2*素数(k)……”。如果序列具有Z,2p,2q,p,q为素数p和q,则GCD(2q,z)>gCD(2q,2p)=2。因此Q除以z,因此项是MQ,2p,2q,p,q。所以我们可以用Q代替2q。梅森5月28日2017

链接

皮特·J·C·摩西和Ray Chandlern,a(n)n=1…10000的表(前1000项由彼得·J·C·摩西)

David L. Applegate,Hans Havermann,Bob Selcoe,Vladimir Shevelev,新泽西州,斯隆和Reinhard Zumkeller,黄石置换,ARXIV预印记ARXIV:1501.01669 [数学,NT ],2015。

John P. Lindermann,a(n)n=1…1000000(约13Mb)的表

John P. Lindermann,a(n)n=1…12940331(约61Mb)的表

John P. Linderman围棋程序[修订6月29日2015 ]

John P. Linderman关于前50亿项计算的注记

John Mason一些观察

John Mason一些证明

John Mason定理证明:如果序列是无穷的,则它是正整数的置换。

Mathematica

F[n]:=块[{s=范围@ n,j,k},对于[k=4,k<=n,k++,j=4;同时[nand [gCD[j],[[k- 2 ] ] ] > gCD[ j,s[[k- 1 ] ] ]!成员q [取[s,k- 1,j],j++];s[[k]=j];s];f@ 72(*)米迦勒·德利格勒4月15日2015*)

黄体脂酮素

(哈斯克尔)

A254077 N=A254077名单!(N-1)

A254077列表=1:2:3:F 2 3(4…)

F v WS=G WS

g(x:xs)=gCD x u> gCD x v,然后x:f v x(删除x WS),否则G xs

——莱因哈德祖姆勒05五月2015

交叉裁判

囊性纤维变性。A09850A247225A247942A249167A251604A25697A318826.

关于素数的索引见A256213. 序列MOD 2是A2575 85.

在定义中改变> >A2555(确实存在)。

囊性纤维变性。A2565(部分和)。

语境中的顺序:A047 302 A121217 A2555*A156667 A026431 A026433

相邻序列:A254074 A254075 A254076*A254078 A254079 A254080

关键词

诺恩

作者

弗拉迪米尔谢维列夫1月25日2015

扩展

更多条款皮特·J·摩西1月25日2015

地位

经核准的

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最后修改10月14日12:45 EDT 2019。包含328006个序列。(在OEIS4上运行)