A039661-OEIS公司

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A039661号

exp（Pi）的十进制展开式。

39

2, 3, 1, 4, 0, 6, 9, 2, 6, 3, 2, 7, 7, 9, 2, 6, 9, 0, 0, 5, 7, 2, 9, 0, 8, 6, 3, 6, 7, 9, 4, 8, 5, 4, 7, 3, 8, 0, 2, 6, 6, 1, 0, 6, 2, 4, 2, 6, 0, 0, 2, 1, 1, 9, 9, 3, 4, 4, 5, 0, 4, 6, 4, 0, 9, 5, 2, 4, 3, 4, 2, 3, 5, 0, 6, 9, 0, 4, 5, 2, 7, 8, 3, 5, 1, 6, 9, 7, 1, 9, 9, 7, 0, 6, 7, 5, 4, 9, 2

(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

2, 1

评论

e^Pi和Pi^e(A059850型)在数量上相差不到3%。确定它们之间的不等式符号不需要进行实际评估，结果直接来自基本事实Pi>e和log（x+1）<x（对于正x），其中设置x=（Pi/e）-1（>0）得到log（Pi）<Pi/e或Pi^e<e^Pi。

公式给出的是e^Pi，而不是a（n）。注意，e^Pi-Pi=19.999099979。。。；这就是为什么e^Pi和20+Pi有许多常见的十进制数字。 -M.F.哈斯勒2009年10月24日

e^Pi是先验的，Gelfond证明了这一点。 -查尔斯·格里特豪斯四世2013年5月7日

Nesterenko证明了该常数在代数上与Q上的Pi和Gamma（1/4）无关-查尔斯·格里特豪斯四世2013年11月11日

所有均匀尺寸单位球体的体积之和。 -保罗·沙萨2021年11月14日

参考文献

L.Berggren、J.Borwein和P.Borwein，“Pi:源书”，第二版，斯普林格出版社，第422页。

大卫·威尔斯，《企鹅奇趣数字词典》。企鹅出版社，纽约，1986年，1987年修订版。见第101页。

链接

哈里·史密斯，n=2..20000时的n，a（n）表

弗朗西斯·比肖夫，偶数维球的体积(2024)

比卡什·查克拉博蒂，Pi^e<e^Pi的直观证明，arXiv:1806.03163[math.HO]，2018年。

D.希尔伯特，数学问题，公牛。阿默尔。数学。Soc.37（2000），407-436。转载自Bull。阿默尔。数学。Soc.8（1902年7月），437-479。参见问题7。

福阿德·纳赫利，无词证明Pi^e<e^Pi《数学杂志》，60（3）（1987），第165页。

于。V.Nesterenko，模块功能和超越问题《斯博尼克：数学》187:9（1996），第1319-1348页。（英语翻译）

西蒙·普劳夫，exp（Pi）到5000位.

Arjun K.Rathie、Gradimir V.Milovanović和Richard B.Paris，Gelfond常数的超几何表示及其推广塞尔维亚科学与艺术学院（2021年）。

H.S.乌勒，关于i^i的数值阿默尔。数学。月刊，28（1921），114-116。

安德烈斯·瓦列霍和伊塔洛·博韦，哪个更大：e^Pi还是Pi^e？经典谜题的非正统解决方案，arXiv:2309.10826[物理.ph级]，2023。

Eric Weisstein，Gelfond常数.

维基百科，Gelfond常数.

OEIS Wiki，Gelfond常数.

超越数的索引项.

配方奶粉

e^Pi=32*Product_{j>=0}（u（j+1）/u（j））^（2^（-j+1）），其中u（0）=1，v（0）=1/sqrt（2）；u（n+1）=u（n）/2+v（n）/2，v（n+1。 -贝诺伊特·克洛伊特2003年8月14日

e^Pi=Sum_{k>=0}a（k）/k！/2^k，其中a（0）=1，a（1）=6，a（n）=（40-4*n+n^2）*a（n-2），对于n>=2（从x=1/2的exp（6*asin（x））展开）。 -杰姆·奥利弗·拉丰2009年10月21日

exp（Pi）~=log（Pi）+7*Pi。 -亚历山大·波沃洛茨基2009年10月24日

等于和{k>=0}Pi^k/k！. -保罗·沙萨2021年11月14日

例子

23.1406926327792690...

数学

真数字[N[E^Pi，200]](*弗拉基米尔·约瑟夫·斯蒂芬·奥尔洛夫斯基2010年5月27日*）

黄体脂酮素

（PARI）默认值（realprecision，20080）；x=exp（1）^Pi/10；对于（n=220000，d=楼层（x）；x=（x-d）*10；写入（“b039661.txt”，n，“”，d）； \\哈里·史密斯2009年4月18日

（PARI）A039661号（n） =默认值（realprecision，n）；exp（Pi）\10^（3-n）%10\\M.F.哈斯勒2009年10月24日

交叉参考

囊性纤维变性。A059850型（圆周率）。

囊性纤维变性。A058287号=控制（e^Pi），A058288号=控制（Pi^e）。

上下文中的序列：A306646型 A152832号 A211343型*A293668型 A214684型 A268727型

相邻序列：A039658号 A039659号 A039660型*A039662号 A039663号 A039664号

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