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柠檬酸盐


柠檬酸盐

柠檬酸盐,也称为伯努利柠檬酸盐极坐标曲线定义为轨迹的点,以便两个不动点距离的乘积(-a,0)(a,0)(这可以被视为焦点关于乘法而不是加法)是一个常量a^2。这使笛卡尔方程式

 平方((x-a)^2+y^2)平方((x+a)^2+y^ 2)=a^2。
(1)

两边成直角

 [(x-a)^2+y^2][(x+a)^2+y^2]=a^4,
(2)

并以优美的形式简化结果

 (x^2+y^2)^2=2a^2(x^2-y^2。
(3)

柠檬形的半宽(从原点交叉点到水平端点的距离)为

 x(最大值)=a,
(4)

而它的半高是

 y(最大值)=a/(2sqrt(2))。
(5)

切换到极坐标给出了方程式

 r^2=a^2cos(2theta),
(6)

 r=asqrt(cos(2theta))。
(7)

请注意,此方程仅针对角度进行定义-pi/4<θ<pi/43pi/4<θ<5pi/4.

这个参数方程对于半宽的柠檬酸盐一

x个=(成本)/(1+sin^2t)
(8)
年=(成本)/(1+sin^2t)。
(9)

两个中心双极坐标方程式原点在集中

 rr^'=1/2a^2,
(10)

和中踏板坐标使用踏板指向在中心,方程是

 pa^2=r^3。
(11)

雅各布·伯努利在博学学报1694年,他把这条曲线称为丘系(拉丁文表示“吊带”)。伯努利没有意识到他所描述的曲线是卡西尼椭圆卡西尼在1680.柠檬酸盐的一般性质是由G.Fagnano发现的1750年(MacTutor档案馆)。高斯和欧拉对长度这条曲线导致了后来的工作椭圆形的功能.

柠檬酸盐是逆曲线双曲线相对于它的中心。

柠檬酸盐信封

柠檬酸盐也可以生成为信封以a为中心的圆矩形双曲线并穿过双曲线(威尔斯1991).

LemniscateToric部分

柠檬酸类似于某些复曲面截面当切割平面沿着环面的中心圆周与环面相切时孔。例如,与圆环体相交

 (c^'-sqrt(x^2+y^2))^2+z^2=a^('2)
(12)

从孔中心到圆环中心的半径c^'=1和管道半径a^'=4/10用飞机y=6/10给出了以下描述的交点

 8/5x^2-x^4-(12)/5z^2-2x^2z^2-z^4,
(13)

如上图所示。而相交曲线接近于x赫兹-平面带参数a=2平方英尺(2/5):

 8/5x^2-x^4-8/5z^2-2x^2z^2-z^4,
(14)

由于z^2(z ^2)术语如下所示:

LemniscateToricSection比较

然而,在特殊情况下,具有c^'=2a^',复曲面部分变成了一个柠檬形半宽度

 a=2sqrt(a^'c^')。
(15)

这个地区柠檬酸盐的

A类=2(第1/2页)
(16)
=a^2int_(-pi/4)^(pi/4)cos(2theta)数据集
(17)
=a^2。
(18)

这个弧长作为的函数t吨由提供

秒(t)=sqrt(2)aint_0^t[3-cos(2t)]^(-1/2)dt
(19)
=aF(t,i),
(20)

哪里F(z,k)是一个第一类椭圆积分友善的整个曲线的弧长为

秒=4int_0^a(dr)/(sqrt(1-(r/a)^4))
(21)
=4整数_0^1(1-t^4)^(-1/2)dt
(22)
=2La型
(23)
=5.2441151086…a
(24)

(组织环境信息系统A064853美元),其中L(左)柠檬酸常数,它对柠檬酸的作用类似于圆周率对于圆圈.

这个曲率相切的狐猴的

卡帕(吨)=(3sqrt(2)成本)/(asqrt(3-cos(2t)))
(25)
φ(t)=3tan^(-1)(正弦)。
(26)

另请参见

卡西尼椭圆,魔鬼曲线,哑铃曲线,曲线,图八,柠檬酸盐常量,柠檬酸盐函数,Lichtenfels公司最小曲面,Mandelbrot集引理,Toric截面,维维亚尼的曲线

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引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“柠檬酸。”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/Lemniscate.html

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