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欧拉公式


欧拉公式,有时也被称为欧拉恒等式(例如,Trott 2004,第174页),指出

 e^(ix)=cosx+isinx,
(1)

哪里虚单位注意Euler的多面体公式有时也称为欧拉公式欧拉曲率公式.等效表达式

 ix=ln(cosx+isinx)
(2)

之前由科特斯(1714)出版。

公式的特例x=π赋予美丽的身份

 e^(ipi)+1=0,
(3)

连接基本数的方程,圆周率,e(电子)、1和0(),基本操作+,×,和求幂,最重要的关系=,其他什么都没有。据报道,高斯评论说如果这个公式不立即显现出来,读者就永远不会是一流的数学家(德比郡,2004年,第202页)。

欧拉公式可以用级数展开来证明

e ^(ix)=sum_(n=0)^(infty)((ix)^n)/(n!)
(4)
=sum_(n=0)^(infty)((-1)^nx^(2n))/(2n!)+isum_(n=1)^(infty)((-1)^
(5)
=cosx+isinx。
(6)

也可以使用复杂的完整的。

z(z)=cosheta+isintheta
(7)
第纳尔=(-sintheta+icostheta)数据集
(8)
=i(costheta+isintheta)数据集
(9)
=伊兹特西塔
(10)
整数(dz)/z=内特西塔
(11)
液化天然气=伊塞塔,
(12)

所以

z(z)=e ^(itheta)
(13)
=costheta+是θ。
(14)

一个数学笑话问:“换一个灯泡需要多少数学家?”然后回答“-e ^(ipi)“(当然,等于1)。


另请参见

德莫伊夫尔的身份,欧拉身份,多面体公式

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工具书类

Castellanos,D.“无处不在的Pi.第一部分”数学。美格。 61, 67-98, 1988.康威,J.H。和盖伊·R·K。“欧拉的奇妙关系。”这个《数字书》。纽约:Springer-Verlag,第254-256页,1996年。科特斯,R.“对数表。”菲洛斯。变速器。罗伊。Soc.伦敦 29, 5-45,1714J.德比郡。Prime(主要)迷恋:伯恩哈德·里曼和数学中最伟大的未解决问题。纽约:企鹅出版社,2004年。Euler,L.“往复丝状线虫无公害禾本科植物(ex-potestatibus numerorum naturalum ortarum desertatio altera)。"杂项贝罗林西亚 7, 172-192, 1743.尤勒,L。简介Infinitorum分析,第1卷。博斯克特,卢塞恩,瑞士:第104页,1748霍夫曼,P。这个只爱数字的人:保罗·埃尔德斯的故事和数学探索真相。纽约:Hyperion,第212页,1998年。特罗特,M。这个编程数学指南。纽约:Springer-Verlag,2004年。http://www.mathematicaguidebooks.org/

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“欧拉公式”摘自数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/EulerFormula.html

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