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这个伯努利数
有理数产生于伯努利多项式,是(一些作者使用
)
![显示样式{{\tfrac{1}{1}},{\tfrac{-1}{2}}、{\tfraca{1}{6}}和{\tfraca{0}{1{}}}},{\tfrac{0}{1}}}},{\tfrac{43867}{798}},{\tfrac{0}{1}}、{\tfrac{-174611}{330}},{\tfraca{0}{1}、}\tfrac}854513}{138}}和{\tfrace{0}}{1}},{\tfrac{-23749461029}{870}}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a34c05aca3c2bd98e02d9874a92ce80f13e81600)
伯努利数的分子列于A027641号,分母A027642号.
偶数索引伯努利数
是(一些作者写道
对于
)
偶数索引伯努利数的分子列在A000367号,分母A002445号.
瑞士数学家大约在同一时间发现了伯努利数伯努利它们以谁的名字命名,并由日本数学家Seki Ko wa独立命名。塞基的发现于1712年在其作品中发表胜洋桑波; 伯努利的,也死后,在他的阿尔斯·康普坦迪1713年。
阿达·洛夫莱斯(Ada Lovelace)1842年在分析引擎上的注释G描述了用查尔斯·巴贝奇(Charles Babbage)机器生成伯努利数的算法。因此,伯努利数有区别于第一个计算机程序的主题。
权力总和
定值幂和的闭式
![显示样式S_{m}(n)=sum_{k=1}^{n} k个^{m} =1^{m}+2^{m{+\cdots+n^{mneneneep \,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5676d6a7b50d9aa07ed15261af885801e0a5ebda)
总是多项式在里面
学位
,已调用伯努利多项式。请注意
为所有人
因为在这种情况下,总和是空和.
这个这些多项式的系数与伯努利数相关伯努利公式
![{\显示样式S_{m}(n)={\分形{1}{m+1}}\和_{k=0}^{m}{\binom{m+1{k}}B_{k}\,n^{m+1-k},\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06de907a784c4abf5255fe978b4e9c3180cd6c90)
哪里
(而不是
).
一些作者以不同的方式陈述伯努利公式
![{\显示样式S_{m}(n)={\分形{1}{m+1}}\和_{k=0}^{m}(-1)^{k}\,{\binom{m+1}{k}}\,B_{k},n^{m+1-k}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4566a0f6adde9204fddd2b4cfab6fb202dfbe795)
哪里
.
让
.服用
为0并且
提供了自然数{0, 1, 2, 3, ...} (A001477号).
![{\显示样式1+1+\cdots+1={\frac{1}{1}}\左(B_{0}\,n\right)=n.\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5640b76acbe8f3314f97d365c707649c9f3b9c7)
拿
为1并且
(而不是
)提供了三角形数{0, 1, 3, 6, ...} (A000217号).
![{显示样式1+2+\cdots+n={\frac{1}{2}}\左(B_{0}\,n^{2}+2\,B_{1} n个^{1} \右)={\压裂{1}{2}}\左(n^{2}+n\右)。\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/301687e4e3e203334a09ede74e2ead1e2021b3cd)
拿
为2和
提供了平方金字塔数{0, 1, 5, 14, ...} (A000330号).
![{\显示样式1^{2}+2^{2neneneep+\cdots+n^{2{={\frac{1}{3}}\左(B_{0}\,n^{3}+3\,B_{1} n个^{2} +3\,B_{2} n个^{1} \右)={\压裂{1}{3}}\左(n^{3}+{\压裂}{2}}\,n^{2}+{压裂{1{2}{\,n\右)。\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36a4bb58e7122af99d9bb43d1571cea3d51fdacb)
伯努利公式有时被称为Faulhaber公式之后约翰·福尔哈伯他还发现了计算幂和的非凡方法。
V.Guo和J.Zeng将Faulhaber公式推广到q-模拟(Guo&Zeng 2005年).
三角幂和
![{\显示样式a(m,0):=1,\,a(m、m):=m!,\quad m\geq 0;}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56c4a50bfc2f32bdcc899a3bce3d7e88f1c75346)
![{显示样式a(m,n):=n,a(m-1,n-1)+(n+1),a(m-1,n),四元0<n<m,四元m\geq2.}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/419ebbd5b54e0da6bbc7f0e6abaeb8ca206b59f3)
三角幂和
= 0
|
1
|
1
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1
|
1
|
2
|
1
|
三
|
2
|
三
|
1
|
7
|
12
|
6
|
4
|
1
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15
|
50
|
60
|
24
|
5
|
1
|
31
|
180
|
390
|
360
|
120
|
6
|
1
|
63
|
602
|
2100
|
3360
|
2520
|
720
|
7
|
1
|
127
|
1932
|
10206
|
25200
|
31920
|
20160
|
5040
|
8
|
1
|
255
|
6050
|
46620
|
166824
|
317520
|
332640
|
181440
|
40320
|
9
|
1
|
511
|
?
|
?
|
?
|
?
|
?
|
?
|
?
|
362880
|
10
|
1
|
1023
|
?
|
?
|
?
|
?
|
?
|
?
|
?
|
?
|
3628800
|
![{\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}{\binom{n}{k+1}}\,a(m,k)=S_{m}(n)=\sum_{k=1}^{n} k个^{m} ,\四m\geq 0,\四0\leq n\leq m.\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06d47564c09b71c3aff032205d7522044b55f5e4)
示例:
- C(3,1)*a(5,0)+C(3,2)*a
- S_5(3)=1^5+2^5+3^5=276
- C(4,1)*a(5,0)+C(4,2)*a
- S_5(4)=1^5+2^5+3^5+4^5=1300
A028246号三角形数组a(n,k)=(1/k)*和{i=0..k}(-1)^(k-i)*C(k,i)*i^n;n>=1,1<=k<=n。
- {1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 7, 12, 6, 1, 15, 50, 60, 24, 1, 31, 180, 390, 360, 120, 1, 63, 602, 2100, 3360, 2520, 720, 1, 127, 1932, 10206, 25200, 31920, 20160, 5040, ...}
正在生成函数
指数生成函数
这个指数生成函数对于伯努利数是
![显示样式E_{B_{n}}(x)={frac{x}{E^{x} -1个}}=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{B_{n}\,x^{n}}{n!}}\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc2b7060ebaa5e246da569c2ca6cac20018b4e9a)
渐近近似
对于偶数
伯努利数可以近似为
![{\displaystyle|B_{n}|\sim 2{\sqrt{2πn}}\left({\frac{n}{2πe}}\right)^{n}\left({\frac{120n ^{2}+9}{120n^{2}-1}}\右)^{n}.\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f06a21face635ccc05ef45dff183f1ac9ab8786)
这个公式(彼得·卢什尼,2007)基于伯努利数与黎曼ζ函数以及关于阶乘的GergőNemes给出的函数[1]2007年(A181855号/A181856号). 例如,这个近似值给出了
![{\显示样式|B(1000)|\大约0.5318704469415522033\ldots\乘以10^{1770}\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/757400762d2aba0c6e91e00e12d2d9ca491a57d7)
在显示的最低有效数字中,仅关闭三个单位。
该公式是对偶数伯努利数的标准渐近公式的改进(参见DLMF/NIST[2])
![{\显示样式|B_{n}|\sim 2{\sqrt{2\pin}}\左({\frac{n}{2\πe}}\右)^{n}.\,}](https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f09caee788552536edd6ae10a5a980c7bcfcc02)
序列
A027641号伯努利数的分子
.
- {1, –1, 1, 0, –1, 0, 1, 0, –1, 0, 5, 0, –691, 0, 7, 0, –3617, 0, 43867, 0, –174611, 0, 854513, 0, –236364091, 0, 8553103, 0, –23749461029, 0, 8615841276005, 0, –7709321041217, ...}
A027642号伯努利数的分母
.
- {1, 2, 6, 1, 30, 1, 42, 1, 30, 1, 66, 1, 2730, 1, 6, 1, 510, 1, 798, 1, 330, 1, 138, 1, 2730, 1, 6, 1, 870, 1, 14322, 1, 510, 1, 6, 1, 1919190, 1, 6, 1, 13530, 1, 1806, 1, 690, ...}
A000367号偶数索引伯努利数的分子
.
- {1,1,–1,1,–1,5,–691,7,–3617,43867,–174611,854513,–236364091,8553103,–23749461029,8615841276005,–7709321041217,2577687858367,–26315271553053477373,…}
A002445号偶数指数Bernoulli数的分母
.
- {1, 6, 30, 42, 30, 66, 2730, 6, 510, 798, 330, 138, 2730, 6, 870, 14322, 510, 6, 1919190, 6, 13530, 1806, 690, 282, 46410, 66, 1590, 798, 870, 354, 56786730, 6, 510, 64722, 30, ...}
A??????奇数索引伯努利数的分子
.
- {–1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...}
A054977号奇指数Bernoulli数的分母
.
- {2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...}
笔记
外部链接