伯努利数

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这个伯努利数 ${\显示样式\脚本样式B_{n}，\，n\，\geq\，0，\，}$ 有理数产生于伯努利多项式，是（一些作者使用${\displaystyle\scriptstyle B_{1}\，=\，{\frac{+1}{2}}\，}$)

$显示样式{{\tfrac{1}{1}}，{\tfrac{-1}{2}}、{\tfraca{1}{6}}和{\tfraca{0}{1{}}}}，{\tfrac{0}{1}}}}，{\tfrac{43867}{798}}，{\tfrac{0}{1}}、{\tfrac{-174611}{330}}，{\tfraca{0}{1}、}\tfrac}854513}{138}}和{\tfrace{0}}{1}}，{\tfrac{-23749461029}{870}}{\tfrac{0}{1}}、{\tfrac{-174611}{330}}，{\tfraca{0}{1}、}\tfrac}854513}{138}}和{\tfrace{0}}{1}}，{\tfrac{-23749461029}{870}}$

伯努利数的分子列于A027641美元，分母A027642号.

偶数索引伯努利数 ${\显示样式\脚本样式B_{2n}，\，n\，\geq\，0，\，}$是（一些作者写道${\显示样式\脚本样式B_{n}\，}$对于${\显示样式\脚本样式B_{2n}\，}$)

${\显示样式{{\tfrac{1}{1}}，{\tfrac{1}{6}}、{\tfrac-1}{30}}}{510}}，{\tfrac{43867}{798}}{14322}}，\ldots\}\，}{14322}}，\ldots\}\，}$

偶数索引伯努利数的分子列在A000367号，分母A002445号.

大约在同一时间，瑞士数学家发现了伯努利数伯努利它们以谁的名字命名，并由日本数学家Seki Ko wa独立命名。塞基的发现于1712年在其作品中发表胜洋桑波; 伯努利的，也死后，在他的阿尔斯·康普坦迪1713年。

阿达·洛夫莱斯（Ada Lovelace）1842年在分析引擎上的注释G描述了用查尔斯·巴贝奇（Charles Babbage）机器生成伯努利数的算法。因此，伯努利数有区别于第一个计算机程序的主题。

权力总和

定值幂和的闭式${\显示样式\脚本样式m\，}$

$显示样式S_{m}（n）=sum_{k=1}^{n} k个^{m} =1^{m}+2^{m{+\cdots+n^{mneneneep \，}{n} k个^{m} =1^{m}+2^{m{+\cdots+n^{mneneneep \，}$

总是多项式在里面${\显示样式\脚本样式n\，}$学位${\显示样式\脚本样式m+1，}$，已调用伯努利多项式。请注意${\显示样式\脚本样式S_{m}（0）\，=\，0\，}$为所有人${\显示样式\脚本样式m\，\geq\，0\，}$因为在这种情况下，总和是空和.

这个这些多项式的系数与伯努利数相关伯努利公式

${\显示样式S_{m}（n）={\分形{1}{m+1}}\和_{k=0}^{m}{\binom{m+1{k}}B_{k}\，n^{m+1-k}，\，}$

哪里${\displaystyle\scriptstyle B_{1}\，=\，{\frac{+1}{2}}\，}$（而不是${\displaystyle\scriptstyle B_{1}\，=\，{\frac{-1}{2}}\，}$).

一些作者以不同的方式陈述了伯努利公式

$｛\displaystyle S_｛m｝（n）=｛\frac｛1｝｛m+1｝｝\sum_｛k=0｝^｛m｝（-1）^｛k｝\，｛\binom｛m+1｝｛k｝｝\，B_｛k｝\，n^｛m+1-k｝，\，｝$

哪里${\displaystyle\scriptstyle B_{1}\，=\，{\frac{-1}{2}}\，}$.

让${\显示样式\脚本样式n\，\geq\，0\，}$.采取${\显示样式\脚本样式m\，}$为0并且${\显示样式\脚本样式B_{0}\，=\，1\，}$提供了自然数｛0，1，2，3，…｝(A001477号).

${\显示样式1+1+\cdots+1={\frac{1}{1}}\左（B_{0}\，n\right）=n.\，}$

拿${\显示样式\脚本样式m\，}$为1并且${\displaystyle\scriptstyle B_{1}\，=\，{\frac{+1}{2}}\，}$（而不是${\displaystyle\scriptstyle B_{1}\，=\，{\frac{-1}{2}}\，}$)提供了三角形数{0, 1, 3, 6, ...} (A000217号).

$｛\displaystyle 1+2+\cdots+n=｛\frac｛1｝｛2｝｝\left（B_｛0｝\，n^｛2｝+2\，B_{1} n个^{1} \右）={\压裂{1}{2}}\左（n^{2}+n\右）。\，}{1} n个^{1} \右）={\压裂{1}{2}}\左（n^{2}+n\右）。\，}$

拿${\显示样式\脚本样式m\，}$为2并且${\displaystyle\scriptstyle B_{2}\，=\，{\frac{1}{6}}\，}$提供了正方形金字塔数{0, 1, 5, 14, ...} (A000330号).

${\显示样式1^{2}+2^{2neneneep+\cdots+n^{2{={\frac{1}{3}}\左（B_{0}\，n^{3}+3\，B_{1} n个^{2} +3\，B_{2} n个^{1} \右）={\压裂{1}{3}}\左（n^{3}+{\压裂}{2}}\，n^{2}+{压裂{1{2}{\，n\右）。\，}{1} n个^{2} +3\，B_{2} n个^{1} \右）={\压裂{1}{3}}\左（n^{3}+{\压裂}{2}}\，n^{2}+{压裂{1{2}{\，n\右）。\，}$

伯努利公式有时被称为Faulhaber公式之后约翰·福尔哈伯他还发现了计算幂和的非凡方法。

V.Guo和J.Zeng将Faulhaber公式推广到q-模拟(Guo&Zeng 2005年).

三角幂和

${\显示样式a（m，0）：=1，\，a（m、m）：=m！，\quad m\geq 0；}$

${显示样式a（m，n）：=n，a（m-1，n-1）+（n+1），a（m-1，n），四元0<n<m，四元m\geq2.}$

三角幂和

${\显示样式\脚本样式m\，}$= 0	1
1	1	1
2	1	三	2
三	1	7	12	6
4	1	15	50	60	24
5	1	31	180	390	360	120
6	1	63	602	2100	3360	2520	720
7	1	127	1932	10206	25200	31920	20160	5040
8	1	255	6050	46620	166824	317520	332640	181440	40320
9	1	511	?	?	?	?	?	?	?	362880
10	1	1023	?	?	?	?	?	?	?	?	3628800

${\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}{\binom{n}{k+1}}\，a（m，k）=S_{m}（n）=\sum_{k=1}^{n} k个^{m} ，\四m\geq 0，\四0\leq n\leq m.\，}{n} k个^{m} ，\四m\geq 0，\四0\leq n\leq m.\，}$

示例：

C（3,1）*a（5,0）+C（3,2）*a

S_5（3）=1^5+2^5+3^5=276

C（4,1）*a（5,0）+C（4,2）*a

S_5（4）=1^5+2^5+3^5+4^5=1300

A028246号三角形数组a（n，k）=（1/k）*和{i=0..k}（-1）^（k-i）*C（k，i）*i^n；n>=1，1<=k<=n。

{1, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 7, 12, 6, 1, 15, 50, 60, 24, 1, 31, 180, 390, 360, 120, 1, 63, 602, 2100, 3360, 2520, 720, 1, 127, 1932, 10206, 25200, 31920, 20160, 5040, ...}

正在生成函数

指数生成函数

这个指数生成函数对于伯努利数是

$显示样式E_{B_{n}}（x）={frac{x}{E^{x} -1个}}=\sum_｛n=0｝^｛\fty｝｛\frac｛B_｛n｝\，x^｛n｝｝｛n！｝\，｝{x} -1个}}=\sum_｛n=0｝^｛\fty｝｛\frac｛B_｛n｝\，x^｛n｝｝｛n！｝\，｝$

渐近近似

对于偶数${\显示样式\脚本样式n\，}$伯努利数可以近似为

${\displaystyle|B_{n}|\sim 2{\sqrt{2\pin}}\左（{\frac{n}{2\πe}}\右）^{n}\left（{\frac{120n^{2}+9}{120n^{2}-1}}\右）^{n}.\，}{2}-1}}\右）^{n}.\，}$

这个公式(彼得·卢什尼，2007）基于伯努利数与黎曼-泽塔函数以及关于阶乘的GergőNemes给出的函数2007年(A181855号/A181856号). 例如，这个近似值给出了

${\显示样式|B（1000）|\大约0.5318704469415522033\ldots\乘以10^{1770}\，}$

在显示的最低有效数字中，仅关闭三个单位。

这个公式是对偶数伯努利数的标准渐近公式的改进（见DLMF/NST)

${\显示样式|B_{n}|\sim 2{\sqrt{2\pin}}\左（{\frac{n}{2\πe}}\右）^{n}.\，}$

序列

A027641美元伯努利数的分子${\显示样式\脚本样式B_{n}，\，n\，\geq\，0\，}$.

{1, –1, 1, 0, –1, 0, 1, 0, –1, 0, 5, 0, –691, 0, 7, 0, –3617, 0, 43867, 0, –174611, 0, 854513, 0, –236364091, 0, 8553103, 0, –23749461029, 0, 8615841276005, 0, –7709321041217, ...}

A027642号伯努利数的分母${\显示样式\脚本样式B_{n}，\，n\，\geq\，0\，}$.

{1, 2, 6, 1, 30, 1, 42, 1, 30, 1, 66, 1, 2730, 1, 6, 1, 510, 1, 798, 1, 330, 1, 138, 1, 2730, 1, 6, 1, 870, 1, 14322, 1, 510, 1, 6, 1, 1919190, 1, 6, 1, 13530, 1, 1806, 1, 690, ...}

A000367号偶数索引伯努利数的分子$｛\displaystyle\scriptstyleB_｛2n｝，\，n\，\geq\，0\，｝$.

{1, 1, –1, 1, –1, 5, –691, 7, –3617, 43867, –174611, 854513, –236364091, 8553103, –23749461029, 8615841276005, –7709321041217, 2577687858367, –26315271553053477373, ...}

A002445号偶数指数Bernoulli数的分母${\显示样式\脚本样式B_{2n}，\，n\，\geq\，0\，}$.

{1, 6, 30, 42, 30, 66, 2730, 6, 510, 798, 330, 138, 2730, 6, 870, 14322, 510, 6, 1919190, 6, 13530, 1806, 690, 282, 46410, 66, 1590, 798, 870, 354, 56786730, 6, 510, 64722, 30, ...}

A？？？？？？奇指数伯努利数的分子${\显示样式\脚本样式B_{2n+1}，\，n\，\geq\，0\，}$.

{–1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...}

A054977美元奇指数Bernoulli数的分母${\显示样式\脚本样式B_{2n+1}，\，n\，\geq\，0\，}$.

{2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...}

外部链接

• 伯恩德·凯尔纳，伯努利数字页.
• Victor J.W.郭。；曾，江（2005），“Faulhaber幂和公式的q模拟”,组合数学电子杂志 11(2): 1441,Bibcode（参考码）: 2005马赫。。。。。。1441亿,http://www.combinatics.org/Volume_11/Abstracts/v11i2r19.html .