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伯努利数

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这个伯努利数 有理数起因于伯努利多项式(有些作者使用

伯努利数的分子列在A02664分母A027.

偶数索引伯努利数 是(一些作家写的)

偶数索引伯努利数的分子列在A000 0367分母A000 2445.

瑞士数学家同时发现了伯努利数。伯努利之后,他们被命名,并独立于日本数学家塞基·K·瓦瓦。Seki的发现在1712发表在他的著作中。甘松桑波伯努利也死后魔法师1713。

来自1842的分析引擎上的阿达·洛芙莱斯注释G描述了用查尔斯·巴贝奇的机器生成伯努利数的算法。其结果是,伯努利数具有第一计算机程序的主题的区别。

幂之和

固定值的幂和的封闭形式

总是多项式进入程度的,叫做伯努利多项式. 注意为了所有因为在这种情况下,和是空和.

这个多项式的系数与伯努利数有关伯努利公式

在哪里?而不是

有些作者用不同的方式陈述伯努利公式。

在哪里?.

. 0岁给出自然数{ 0, 1, 2,3,…}A000 1477

1岁而不是)给出三角数{ 0, 1, 3,6,…}A000 0217

2岁给出平方金字塔数{ 0, 1, 5,14,…}A000 0330

伯努利公式有时被称为福尔哈伯公式之后约翰法布哈尔世卫组织还发现了计算功率总和的显著方法。

福尔哈伯公式由V. Guo和J. Zeng推广到AQ模拟郭增2005

幂和三角形

幂和三角形
= 0
十二
十五 五十 六十 二十四
三十一 一百八十 三百九十 三百六十 一百二十
六十三 六百零二 二千一百 三千三百六十 二千五百二十 七百二十
一百二十七 一千九百三十二 一万零二百零六 二万五千二百 三万一千九百二十 二万零一百六十 五千零四十
二百五十五 六千零五十 四万六千六百二十 十六万六千八百二十四 三十一万七千五百二十 三十三万二千六百四十 十八万一千四百四十 四万零三百二十
五百一十一 三十六万二千八百八十
一千零二十三 三百六十二万八千八百

实例:

C(3, 1)*A(5, 0)+C(3, 2)*A(5, 1)+C(3, 3)*A(5, 2)=3×1 +3*31 + 1*180=180
Sy5(3)=1 ^ 5+2 ^ 5+3 ^ 5=276


C(4, 1)*A(5, 0)+C(4, 2)* A(5, 1)+C(4, 3)* A(5, 2)+C(4, 4)* A(5, 3)=4×1 + 6*31+***+ * * * * =
Sy5(4)=1 ^ 5+2 ^ 5+3 ^ 5+4 ^ 5=1300

A024246数(a,k)=(1/k)×SuMi{{i=0…k}(- 1)^(k i)*c(k,i)*i^ n;n>=1, 1 <=k<=n的三角形数组。

{ 1, 1, 1、1, 3, 2、1, 7, 12、6, 1, 15、50, 60, 24、1, 31, 180、390, 360, 120、1, 63, 602、2100, 3360, 2520、720, 1, 127、1932, 10206, 25200、31920, 20160, 5040、…}

生成函数

指数母函数

这个指数母函数对于伯努利数是

渐近逼近

即使伯努利数可以近似于

这个公式(彼得卢斯尼,2007)是基于伯努利数与Riemann zeta函数和近似的阶乘Geig-NeMes给出的函数〔1〕2007年度(A181855/A181856例如,这种近似给出了

只有三个单位的最低有效数字显示。

这个公式是对偶数伯努利数的标准渐近公式的改进(参见DLMF/NIST)〔2〕

序列

A02664伯努利数的分子.

{ 1,- 1, 1, 0,- 1, 0, 1,0,- 1, 0, 5,0,- 691, 0, 7,0,-3617, 0, 43867,0,-174611, 0, 854513,0,- 0,γ,-,-,-,- -,…}

A027伯努利数的分母.

{ 1, 2, 6,1, 30, 1,42, 1, 30,1, 66, 1,2730, 1, 6,1, 510, 1,798, 1, 330,1, 138, 1,2730, 1, 6,1, 870, 1,14322, 1, 510,1, 6, 1,1, 6, 1,γ,γ,…}

A000 0367偶数指数伯努利数的分子.

{ 1, 1,- 1, 1,- 1, 5,- 691, 7,- 3617, 43867,- 174611, 854513,-236364091, 8553103,-23749461029, 8615841276005,-7709321041217, 2577687858367,-2631527 15530534 77.3,…}

A000 2445偶数指标伯努利数的分母.

{ 1, 6, 30、42, 30, 66、2730, 6, 510、798, 330, 138、2730, 6, 870、14322, 510, 6、1919190, 6, 13530、1806, 690, 282、46410, 66, 1590、798, 870, 354、56786730, 6, 510、64722, 30、…}

A??????奇指数伯努利数的分子.

{ 1, 0, 0、0, 0, 0、0, 0, 0、0, 0, 0、0, 0, 0、0, 0, 0、0, 0, 0、0, 0, 0、0, 0, 0、0, 0, 0、0, 0, 0、0, 0, 0、0, 0, 0、γ、…}

A054 997奇指数伯努利数的分母.

{ 2, 1, 1、1, 1, 1、1, 1, 1、1, 1, 1、1, 1, 1、1, 1, 1、1, 1, 1、1, 1, 1、1, 1, 1、1, 1, 1、1, 1, 1、1, 1, 1、1, 1, 1、γ、…}

笔记

外部链接