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黎曼ζ函数

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伯恩哈德·黎曼在他1859年发表的著名论文中,[1][2]分析性续欧拉zeta函数总的来说复平面(订单单极除外1
= 1
,对应于发散调和级数). 因此,它被称为黎曼-泽塔函数
ζ()
,其中
= () +() =σ+t吨
(这个符号是在他的论文中介绍的)。

分析延续

临界带右侧的解析延拓

以下无穷级数收敛于所有复数
具有实部大于1,并定义
ζ  ()
在右侧的复杂平面中临界带钢,即针对
σ> 1
,
ζ  ():=
n个   = 1
  
1
n个  
 = 
第页
第页首要的
第页
第页首要的
  
第页  
第页  − 1
 = 
第页
第页首要的
第页
第页首要的
  
1
1 −
1
第页  
, ℜ() > 1,
其中,在欧拉产品(对于Riemann-zeta函数),乘积是全部素数
第页
.

临界带内的解析延拓

在临界带内,即
0 <σ< 1
,我们可以使用[3]
ζ  ()  = 
2  − 1
2  − 1− 1
η()  = 
1
1 − 21 − 
η()  = 
1
1 − 21 − 
n个   = 1
  
(−1)n个 +1
n个  
,0 < () < 1,
哪里
η()
迪里克莱η功能(欧拉交替zeta函数)(收敛于
ℜ () > 0
)
η():=
n个   = 1
  
(−1)n个 +1
n个  
,  ℜ() > 0.

临界带左侧的解析延拓

在临界带的左侧,即
σ< 0
,我们可以使用函数方程
ζ  ()  = 2π    − 1
π  
2
   Γ(1 −)
ζ  (1 −),  ℜ() < 0,
它揭示了平凡零点对于负偶数整数,因为
罪(
π  
2
) = 0
即使如此
.

积分公式

所有复数的Riemann-zeta函数
带实数部分
σ> 1
,由积分给出
ζ  ()  = 
1
Γ()
0
t吨    − 1
e(电子)t吨− 1
d日t吨,  ℜ() > 1,
哪里
Γ(n个)
Gamma函数.

黎曼-泽塔函数的洛朗展开

关于Riemann-zeta函数的Laurent展开
= 1
ζ  ()  = 
1
− 1
+
n个   = 0
  
(−1)n个
n个!
γn个(− 1)n个 = 
1
− 1
+γ+
n个   = 1
  
(−1)n个
n个!
γn个(− 1)n个,
哪里
γ=γ0
欧拉–马斯切罗尼常数
γn个
Stieltjes常数,有时称为广义欧拉常数.

ζ  () −
1
− 1
 = γ,
这意味着
γ0=γ
.

非负整数的Riemann zeta函数

非负偶整数的Riemann zeta函数

负的Riemann zeta函数偶数整数0(这些是平凡零点Riemann-zeta函数)。

非负Riemann zeta函数偶数整数由给出(注意
ζ  (0) =  − 
1
2
是唯一的有理数对于非负偶数整数)
ζ  (2n个)  =  (−1)n个 +1
22n个 − 1 B类2n个π2n个
(2n个)!
,n个≥ 0,
哪里
B类n个
伯努利数。的值
ζ  (2n个),n个  ≥   1,
超越数(a)有理数
π2n个
).
偶整数的Riemann zeta函数
2n个
ζ(2n个)

n个  ≥   0
十进制展开
(十进制数字序列)
A编号
0
 −  
1
2
 − 0.5
{5}
 
2
π2
6
1.644934066848226436472415166646...
{1, 6, 4, 4, 9, 3, 4, 0, 6, 6, 8, 4, 8, 2, 2, 6, 4, 3, 6, 4, 7, 2, 4, 1, 5, 1, 6, 6, 6, 4, 6, 0, 2, 5, 1, 8, 9, 2, 1, 8, 9, 4, 9, 9, 0, 1, 2, 0, 6, 7, 9, 8, 4, 3, 7, 7, 3, 5, 5, 5, ...}
A013661号
4
π4
90
1.082323233711138191516003696541...
{1, 0, 8, 2, 3, 2, 3, 2, 3, 3, 7, 1, 1, 1, 3, 8, 1, 9, 1, 5, 1, 6, 0, 0, 3, 6, 9, 6, 5, 4, 1, 1, 6, 7, 9, 0, 2, 7, 7, 4, 7, 5, 0, 9, 5, 1, 9, 1, 8, 7, 2, 6, 9, 0, 7, 6, 8, 2, 9, 7, ...}
A013662号
6
π6
945
1.0173430619844491397145179297909...
{1, 0, 1, 7, 3, 4, 3, 0, 6, 1, 9, 8, 4, 4, 4, 9, 1, 3, 9, 7, 1, 4, 5, 1, 7, 9, 2, 9, 7, 9, 0, 9, 2, 0, 5, 2, 7, 9, 0, 1, 8, 1, 7, 4, 9, 0, 0, 3, 2, 8, 5, 3, 5, 6, 1, 8, 4, 2, 4, 0, ...}
A013664号
8
π8
9450
1.004077356197944339378685238508...
{1, 0, 0, 4, 0, 7, 7, 3, 5, 6, 1, 9, 7, 9, 4, 4, 3, 3, 9, 3, 7, 8, 6, 8, 5, 2, 3, 8, 5, 0, 8, 6, 5, 2, 4, 6, 5, 2, 5, 8, 9, 6, 0, 7, 9, 0, 6, 4, 9, 8, 5, 0, 0, 2, 0, 3, 2, 9, 1, 1, ...}
A013666号
10
π10
93555
1.0009945751278180853371459589003...
{1, 0, 0, 0, 9, 9, 4, 5, 7, 5, 1, 2, 7, 8, 1, 8, 0, 8, 5, 3, 3, 7, 1, 4, 5, 9, 5, 8, 9, 0, 0, 3, 1, 9, 0, 1, 7, 0, 0, 6, 0, 1, 9, 5, 3, 1, 5, 6, 4, 4, 7, 7, 5, 1, 7, 2, 5, 7, 7, 8, ...}
A013668号
12
π12
638512875
1.0002460865533080482986379980477...
{1, 0, 0, 0, 2, 4, 6, 0, 8, 6, 5, 5, 3, 3, 0, 8, 0, 4, 8, 2, 9, 8, 6, 3, 7, 9, 9, 8, 0, 4, 7, 7, 3, 9, 6, 7, 0, 9, 6, 0, 4, 1, 6, 0, 8, 8, 4, 5, 8, 0, 0, 3, 4, 0, 4, 5, 3, 3, 0, 4, ...}
A013670型
14
π14
18243225
1.00006124813505870482925854510513...
{1, 0, 0, 0, 0, 6, 1, 2, 4, 8, 1, 3, 5, 0, 5, 8, 7, 0, 4, 8, 2, 9, 2, 5, 8, 5, 4, 5, 1, 0, 5, 1, 3, 5, 3, 3, 3, 7, 4, 7, 4, 8, 1, 6, 9, 6, 1, 6, 9, 1, 5, 4, 5, 4, 9, 4, 8, 2, 7, 5, ...}
A013672号
16
π16
325641566250
1.0000152822594086518717325714876367...
{1, 0, 0, 0, 0, 1, 5, 2, 8, 2, 2, 5, 9, 4, 0, 8, 6, 5, 1, 8, 7, 1, 7, 3, 2, 5, 7, 1, 4, 8, 7, 6, 3, 6, 7, 2, 2, 0, 2, 3, 2, 3, 7, 3, 8, 8, 9, 9, 0, 4, 7, 1, 5, 3, 1, 1, 5, 3, 1, 0, ...}
A013674号
18
π18
38979295480125
1.0000038172932649998398564616446219...
{1, 0, 0, 0, 0, 0, 3, 8, 1, 7, 2, 9, 3, 2, 6, 4, 9, 9, 9, 8, 3, 9, 8, 5, 6, 4, 6, 1, 6, 4, 4, 6, 2, 1, 9, 3, 9, 7, 3, 0, 4, 5, 4, 6, 9, 7, 2, 1, 8, 9, 5, 3, 3, 3, 1, 1, 4, 3, 1, 7, ...}
A013676号
20
π20
1531329465290625
1.0000009539620338727961131520386834...
{1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 9, 5, 3, 9, 6, 2, 0, 3, 3, 8, 7, 2, 7, 9, 6, 1, 1, 3, 1, 5, 2, 0, 3, 8, 6, 8, 3, 4, 4, 9, 3, 4, 5, 9, 4, 3, 7, 9, 4, 1, 8, 7, 4, 1, 0, 5, 9, 5, 7, 5, 0, 0, 5, ...}
A013678号

非负偶整数Riemann zeta函数的生成函数

偶数zeta常数,
ζ  (2n个),n个  ≥   0
,拥有生成函数
G公司{ζ  (2n个)}(x个):=
n个   = 0
  
ζ  (2n个)x个2n个 =  −
π  x个
2
帆布床  x个)  =  −
1
2
+
π2
6
x个2+
π4
90
x个4+
π6
945
x个6+,
哪里
帆布床x个)
余切功能。
对于
ζ  (2n个)
π2n个
,n个  ≥   0,
拥有生成函数
G公司{
ζ  (2n个)
π2n个
}
(x个):=
n个   = 0
  
ζ  (2n个)
π2n个
x个2n个 =  −
x个
2
帆布床x个= −
1
2
+
1
6
x个2+
1
90
x个4+
1
945
x个6+,
哪里
帆布床x个
是余切函数。

非负奇整数的Riemann zeta函数

的Riemann zeta函数奇数整数没有已知的封闭式公式。这些值是否为不合理的(除了阿佩里常数
ζ  (3)
,被证明是不合理的罗杰·阿佩里)更别说了超越的.

非负奇整数的Riemann zeta函数(除了1,在那里我们有秩序1)由积分给出

ζ  (2n个+ 1) =
1
(2n个)!
0
t吨  2n个
e(电子)  t吨− 1
d日t吨,n个≥ 1.
奇整数的Riemann zeta函数
2n个+ 1
ζ(2n个+ 1)

n个  ≥   0
十进制展开
(十进制数字序列)
A编号
1 电杆
(订单1)

(这是黎曼-泽塔函数的1阶唯一极点)(
ζ  (1)
提供了调和级数)
 
1
2!
0
t吨2
e(电子)  t吨 −  1
d日t吨
1.2020569031595942853997381615114...
{1, 2, 0, 2, 0, 5, 6, 9, 0, 3, 1, 5, 9, 5, 9, 4, 2, 8, 5, 3, 9, 9, 7, 3, 8, 1, 6, 1, 5, 1, 1, 4, 4, 9, 9, 9, 0, 7, 6, 4, 9, 8, 6, 2, 9, 2, 3, 4, 0, 4, 9, 8, 8, 8, 1, 7, 9, 2, 2, 7, ...}
A002117号
5
1
4!
0
t吨4
e(电子)  t吨 −  1
d日t吨
1.036927755143369926331365486457...
{1, 0, 3, 6, 9, 2, 7, 7, 5, 5, 1, 4, 3, 3, 6, 9, 9, 2, 6, 3, 3, 1, 3, 6, 5, 4, 8, 6, 4, 5, 7, 0, 3, 4, 1, 6, 8, 0, 5, 7, 0, 8, 0, 9, 1, 9, 5, 0, 1, 9, 1, 2, 8, 1, 1, 9, 7, 4, 1, 9, ...}
A013663号
7
1
6!
0
t吨6
e(电子)  t吨 −  1
d日t吨
1.008349277381922826839797549849...
{1, 0, 0, 8, 3, 4, 9, 2, 7, 7, 3, 8, 1, 9, 2, 2, 8, 2, 6, 8, 3, 9, 7, 9, 7, 5, 4, 9, 8, 4, 9, 7, 9, 6, 7, 5, 9, 5, 9, 9, 8, 6, 3, 5, 6, 0, 5, 6, 5, 2, 3, 8, 7, 0, 6, 4, 1, 7, 2, 8, ...}
A013665号
9
1
8!
0
t吨8
e(电子)  t吨 −  1
d日t吨
1.002008392826082214417852769232...
{1, 0, 0, 2, 0, 0, 8, 3, 9, 2, 8, 2, 6, 0, 8, 2, 2, 1, 4, 4, 1, 7, 8, 5, 2, 7, 6, 9, 2, 3, 2, 4, 1, 2, 0, 6, 0, 4, 8, 5, 6, 0, 5, 8, 5, 1, 3, 9, 4, 8, 8, 8, 7, 5, 6, 5, 4, 8, 5, 9, ...}
A013667号
11
1
10!
0
t吨10
e(电子)  t吨 −  1
d日t吨
1.000494188604119464558702282526...
{1, 0, 0, 0, 4, 9, 4, 1, 8, 8, 6, 0, 4, 1, 1, 9, 4, 6, 4, 5, 5, 8, 7, 0, 2, 2, 8, 2, 5, 2, 6, 4, 6, 9, 9, 3, 6, 4, 6, 8, 6, 0, 6, 4, 3, 5, 7, 5, 8, 2, 0, 8, 6, 1, 7, 1, 1, 9, 1, 4, ...}
A013669号
13
1
12!
0
t吨12
e(电子)  t吨 −  1
d日t吨
1.000122713347578489146751836526...
{1, 0, 0, 0, 1, 2, 2, 7, 1, 3, 3, 4, 7, 5, 7, 8, 4, 8, 9, 1, 4, 6, 7, 5, 1, 8, 3, 6, 5, 2, 6, 3, 5, 7, 3, 9, 5, 7, 1, 4, 2, 7, 5, 1, 0, 5, 8, 9, 5, 5, 0, 9, 8, 4, 5, 1, 3, 6, 7, 0, ...}
A013671号
15
1
14!
0
t吨14
e(电子)  t吨 −  1
d日t吨
1.000030588236307020493551728510...
{1, 0, 0, 0, 0, 3, 0, 5, 8, 8, 2, 3, 6, 3, 0, 7, 0, 2, 0, 4, 9, 3, 5, 5, 1, 7, 2, 8, 5, 1, 0, 6, 4, 5, 0, 6, 2, 5, 8, 7, 6, 2, 7, 9, 4, 8, 7, 0, 6, 8, 5, 8, 1, 7, 7, 5, 0, 6, 5, 6, ...}
A013673号
17
1
16!
0
t吨16
e(电子)  t吨 −  1
d日t吨
1.000007637197637899762273600293...
{1, 0, 0, 0, 0, 0, 7, 6, 3, 7, 1, 9, 7, 6, 3, 7, 8, 9, 9, 7, 6, 2, 2, 7, 3, 6, 0, 0, 2, 9, 3, 5, 6, 3, 0, 2, 9, 2, 1, 3, 0, 8, 8, 2, 4, 9, 0, 9, 0, 2, 6, 2, 6, 7, 9, 0, 9, 5, 3, 7, ...}
A013675号
19
1
18!
0
t吨18
e(电子)  t吨 −  1
d日t吨
1.00000190821271655393892565695779...
{1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 9, 0, 8, 2, 1, 2, 7, 1, 6, 5, 5, 3, 9, 3, 8, 9, 2, 5, 6, 5, 6, 9, 5, 7, 7, 9, 5, 1, 0, 1, 3, 5, 3, 2, 5, 8, 5, 7, 1, 1, 4, 4, 8, 3, 8, 6, 3, 0, 2, 3, 5, 9, 3, ...}
A013677号

零点

琐碎的零

黎曼zeta函数的平凡零点是复数具有实部对应于负偶数:

{–2, –4, –6, –8, –10, –12, –14, –16, –18, –20, –22, –24, –26, –28, –30, –32, –34, –36, –38, –40, –42, –44, –46, –48, –50, –52, –54, –56, –58, –60, –62, –64, –66, –68, –70, –72, –74, –76, –78, –80, ...}

非平凡零

除了零值(甚至是负整数)之外,Riemann zeta函数在临界带钢 0 <σ< 1由线条分隔σ= 0σ= 1(零也不能“太靠近”这些线)。此外,非平凡零点围绕实轴对称临界线 σ= 1/2根据黎曼假设,他们都躺在线上σ= 1/2.
这个非平凡零黎曼-泽塔函数[2]出现在临界带钢
0 <σ< 1
 = σ+t吨,0 <σ< 1,
其中零成对出现(如果
ϵ  ≠   0
)通过临界线反射(对应于实部
1
2
)
 =  (
1
2
±ϵ ) +t吨,0 ≤ϵ<
1
2
,

及其共轭物

 =  (
1
2
±ϵ ) −t吨,0 ≤ϵ<
1
2
.
Riemann zeta函数的所有已知非平凡零点都有实部
1
2
.黎曼-泽塔函数可以用非平凡零点表示为(注意极点1
= 1
)
ζ  () =
π   / 2
(− 1) Γ(
2
)
 
ρ
ρ
  
 1 −
ρ
   =
π   / 2
(− 1) Γ(
2
)
 
ρ: (ρ)  >  0
ρ: (ρ)  >  0
  
 
|ρ |
2− 2 ℜ(ρ) +2
|ρ |
2
  ,
哪里
Γ()
Gamma函数、和
ρ
是一个非平凡的零(注意对于每个非平凡的零值
ρ
在复平面的上半部分,我们有一个对应的零
x个̅ρ
,其复共轭,位于复杂平面的下半部分。

黎曼假设

在他1859年发表的著名论文中,[1]伯恩哈德·里曼(Bernhard Riemann)提出了这个猜想(用作许多人的假设条件证明在数论中)

假设(黎曼假设,1859)。 (黎曼)

所有的非平凡零点(Riemann zeta函数的)都有实部
1
2
,即。
 =  (
1
2
±ϵ ) + t吨,ϵ= 0.
由于许多“条件证明”都假设猜想是真的,所以它被称为黎曼假设。非平凡的零显示有关素数的分布:非平凡零的实部越接近
1
2
素数的分布越规则。

非平凡零表

黎曼zeta函数的前100个(非平凡的)零,精确到超过1000个小数位.[4]

非平凡零表[5]
n个
虚拟零件(底座10)第页,共页
n个
第个非平凡零点(实轴上方)
组织环境信息系统
1 14.134725141734693790457251983562470270784257115699243175685567460149... A058303号
2 21.022039638771554992628479593896902777334340524902781754629520403587... A065434号
25.010857580145688763213790992562821818659549672557996672496542006745... A065452号
4 30.424876125859513210311897530584091320181560023715440180962146036993... A065453号
5 32.935061587739189690662368964074903488812715603517039009280003440784... A192492号
6 37.586178158825671257217763480705332821405597350830793218333001113622...
7 40.918719012147495187398126914633254395726165962777279536161303667253...
8 43.327073280914999519496122165406805782645668371836871446878893685521...
9 48.005150881167159727942472749427516041686844001144425117775312519814...
10 49.773832477672302181916784678563724057723178299676662100781955750433...
11 52.970321477714460644147296608880990063825017888821224779900748140317...
12 56.446247697063394804367759476706127552782264471716631845450969843958...
13 59.347044002602353079653648674992219031098772806466669698122451754746...
14 60.831778524609809844259901824524003802910090451219178257101348824808...
15 65.112544048081606660875054253183705029348149295166722405966501086675...
16 67.079810529494173714478828896522216770107144951745558874196669551694...
17 69.546401711173979252926857526554738443012474209602510157324539999663...
18 72.067157674481907582522107969826168390480906621456697086683306151488...
19 75.704690699083933168326916762030345922811903530697400301647775301574...
20 77.144840068874805372682664856304637015796032449234461041765231453151...
21 79.337375020249367922763592877116228190613246743120030878438720497101...
22 82.910380854086030183164837494770609497508880593782149146571306283235...
23 84.735492980517050105735311206827741417106627934240818702735529689045...
24 87.425274613125229406531667850919213252171886401269028186455557938439...
25 88.809111207634465423682348079509378395444893409818675042199871618814...
26 92.491899270558484296259725241810684878721794027730646175096750489181...
27 94.651344040519886966597925815208153937728027015654852019592474274513...
28 95.870634228245309758741029219246781695256461224987998420529281651651...
29 98.831194218193692233324420138622327820658039063428196102819321727565...
30 101.31785100573139122878544794029230890633286638430089479992831871523...
31 103.72553804047833941639840810869528083448117306949576451988516579403...
32 105.44662305232609449367083241411180899728275392853513848056944711418...
33 107.16861118427640751512335196308619121347670788140476527926471042155...
34 111.02953554316967452465645030994435041534596839007305684619079476550...
35 111.87465917699263708561207871677059496031174987338587381661941961969...
36 114.32022091545271276589093727619107980991765772382989228772843104130...
37 116.22668032085755438216080431206475512732985123238322028386264231147...
38 118.79078286597621732297913970269982434730621059280938278419371651419...
39 121.37012500242064591894553297049992272300131063172874230257513263573...
40 122.94682929355258820081746033077001649621438987386351721195003491528...
41 124.25681855434576718473200796612992444157353877469356114035507691395...
42 127.51668387959649512427932376690607626808830988155498248279977930068...
43 129.57870419995605098576803390617997360864095326465943103047083999886...
44 131.08768853093265672356637246150134905920354750297504538313992440777...
45 133.49773720299758645013049204264060766497417494390467501510225885516...
46 134.75650975337387133132606415716973617839606861364716441697609317354...
47 138.11604205453344320019155519028244785983527462414623568534482856865...
48 139.73620895212138895045004652338246084679005256538260308137013541090...
49 141.12370740402112376194035381847535509030066087974762003210466509596...
50 143.11184580762063273940512386891392996623310243035463254859852295728...

与非平凡零相关的序列

A002410号 最接近的整数到的虚部
n个
-黎曼zeta函数的零点。
{14, 21, 25, 30, 33, 38, 41, 43, 48, 50, 53, 56, 59, 61, 65, 67, 70, 72, 76, 77, 79, 83, 85, 87, 89, 92, 95, 96, 99, 101, 104, 105, 107, 111, 112, 114, 116, 119, 121, 123, 124, 128, 130, 131, 133, 135, 138, ...}

A013629号 地板黎曼-泽塔函数零点的虚部。

{14, 21, 25, 30, 32, 37, 40, 43, 48, 49, 52, 56, 59, 60, 65, 67, 69, 72, 75, 77, 79, 82, 84, 87, 88, 92, 94, 95, 98, 101, 103, 105, 107, 111, 111, 114, 116, 118, 121, 122, 124, 127, 129, 131, 133, 134, 138, ...}

A092783号 天花板黎曼-泽塔函数零点的虚部。

{15, 22, 26, 31, 33, 38, 41, 44, 49, 50, 53, 57, 60, 61, 66, 68, 70, 73, 76, 78, 80, 83, 85, 88, 89, 93, 95, 96, 99, 102, 104, 106, 108, 112, 112, 115, 117, 119, 122, 123, 125, 128, 130, 132, 134, 135, 139, ...}
A135297号上Riemann zeta函数零点的数目临界线,小于
n个
.
{0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 16, ...}
A161914号Riemann zeta函数的非平凡零点之间的间隙,四舍五入为最接近的整数
(1) = 14
.
{14, 7, 4, 5, 3, 5, 3, 2, 5, 2, 3, 3, 3, 1, 4, 2, 2, 3, 4, 1, 2, 4, 2, 3, 1, 4, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 2, 4, 1, 2, 2, 3, 3, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 1, 3, 2, 1, 2, 3, 1, 3, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 2, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 1, 2, ...}

A124288号黎曼-泽塔函数不稳定零点的指数。

{1, 3, 6, 9, 13, 17, 21, 26, 30, 33, 40, 44, 50, 54, 61, 67, 70, 78, 79, 90, 93, 101, 109, 112, 117, 124, 134, 139, 147, 149, 153, 165, 167, 175, 186, 189, 197, 201, 214, 218, 219, 234, 235, 240, 253, 255, ...}

A124289号不稳定双胞胎:连续数对A124288号(黎曼-泽塔函数不稳定零点的指数)。

{78, 79, 218, 219, 234, 235, 299, 300, 370, 371, 500, 501, ...}
A100060型考虑临界线上Riemann zeta函数的非平凡零点,
1
2
+t吨
.
(n个)
表示虚部的第二个差为正(表示为1)或负值(表示为0).
{1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, ...}
A117537号这些是Riemann-zeta函数连续零点的中点在临界线归一化间距越来越大;等价地Z轴功能.如果
t吨
是的连续零
Z轴
函数,我们将其规范化间距定义为
 − t吨
2π对数
+t吨
4π
。通过以下步骤可以找到上述序列
第页=
日志2
2π
 ⋅  
+t吨
2
并舍入到最接近的整数。这些值
第页
具有接近整数值的显著趋势,并且上述序列的所有项实际上都包含在区间中
日志2
2π
 ⋅  [,t吨]
.
{2, 3, 5, 7, 12, 19, 31, 46, 53, 72, 270, 311, 954, 1178, 1308, 1395, 1578, 3395, 4190, ...}

黎曼-泽塔函数的绝对值

Riemann-zeta函数沿临界线的绝对值峰值

A117536号这些是黎曼-泽塔函数绝对值越来越大的峰值沿临界线等效地
Z轴
增加实数的函数
t吨
.如果
Z轴() = 0
是的导数的正零点
Z轴
,然后
|Z轴() |
是峰值。我们重新规范化
通过
第页= ⋅  
日志2
2π
并舍入到最接近的整数以获得序列的项。这些值的小数部分不是随机分布的;
第页
显示出非常强的接近整数的趋势。
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 10, 12, 19, 22, 27, 31, 41, 53, 72, 99, 118, 130, 152, 171, 217, 224, 270, 342, 422, 441, 494, 742, 764, 935, 954, 1012, 1106, 1178, 1236, 1395, 1448, 1578, 2460, 2684, 3395, 5585, ...}
A117538号临界线上连续零点之间黎曼-泽塔函数绝对值积分增加峰值的位置。这也可以定义为
Z轴
功能;如果
t吨
是重整化的连续零
Z轴
功能,
z(z)(x个) =
2π
日志2
 ⋅  x个Z轴(x个)
,然后取两者之间的积分
t吨
属于
|Z轴() |
对于该积分的每个连续较高值,整数序列的对应项为
第页=
+t吨
2
四舍五入到最接近的整数。
{2, 5, 7, 12, 19, 31, 41, 53, 72, 130, 171, 224, 270, 764, 954, 1178, 1395, 1578, 2684, 3395, 7033, 8269, 8539, 14348, 16808, 36269, 58973, ...}

另请参见



笔记

  1. 1 1.1 Riemann,G.F.B.,“Un ber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse”Monatsber。科尼格尔。普劳斯。阿卡德。威斯。柏林,671-680,1859年11月。
  2. 2 2.1 黎曼1859年手稿克莱数学研究所,2010年。
  3. ζ  () −η()  = 
    n个   = 1
      
    1
    n个  
    +
    n个   = 1
      
    (−1)n个
    n个  
     = 
    2
    k个   = 1
      
    1
    (2k个 )
     =  21 − 
    n个   = 1
      
    1
    n个  
     =  21 −  ζ  (),
    因此
    ζ  ()  = 
    1
    1 − 21 − 
    n个   = 1
      
    (−1)n个 +1
    n个  
    , ℜ() > 0.
    请注意解析延拓总是独一无二的。
  4. 安德鲁·奥德利斯科,黎曼zeta函数的前100个零,精确到1000多个小数位,由计算得出安德鲁·奥德利兹科他之前在美国电话电报公司实验室研究部工作。
  5. 经授权从上述文件中提取的数据安德鲁·奥德利兹科.

工具书类

  • 伯恩哈德·里曼,Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse(关于小于给定数量的素数)1859年11月,柏林阿卡德米修道院。

外部链接