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1, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 121, 127, 131, 137, 139, 143, 149, 151, 157, 163, 167, 169, 173, 179, 181, 187, 191, 193, 197, 199, 209, 211, 221, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 247
评论
这个序列在乘法下是闭合的:任何项的乘积也是一个项-拉博斯·埃利默2003年2月26日
猜想:这些是数字n,使得(Sum_{k=1..n}k^4)modn=0和(Sum{k=1..n}k*6)modn=0-加里·德特勒夫2011年12月20日
上述推测是正确的。设m为偶数,并将m阶伯努利数简化为伯努利(m)=N(m)/D(m)。应用Ireland和Rosen命题15.2.2,证明同余D(m)*(Sum_{k=1..n}k^m)/n=n(m)(modn)对所有n>=1成立。从这个同余可以很容易地得出(Sum_{k=1..n}k^m)/n是积分的,如果n是D(m)的互质。现在Bernoulli(4)=-1/(2*3*5)和Bernoullie(6)=1/(2x3*7),所以数字n使得(Sum_{k=1..n}k^4)modn=0和(Sum_{k=1.n}k^6)modn=0.正是那些与素数2、3、5和7互素的数字,也就是11个粗略数字。(结束)
推测:这些是数字n,即(n^6 mod 210=1)或(n^6mod 210=169)-加里·德特勒夫2011年12月30日
上面的第二个Detlefs猜想是真的,并且非常容易用同余的一些基本性质来验证:将这个序列的项取到209,并计算它们的六次方模210:那里应该只有1和169。然后将这个序列的补码加到210,您将不会看到1或169的实例-阿隆索·德尔·阿特2014年1月12日
众所周知,7个连续整数的乘积可以被7整除!。推测:这个序列正好是r的一组正值,即(Product_{k=0..6}n+k*r)/7!是所有n的整数-彼得·巴拉2015年11月14日
这个推测是正确的。证明的第一部分涉及不在A008364号也就是说,可以被p整除的数(p可以是2、3、5、7)。设r=p*s且n=1,则(Product_{k=0..6}n+k*r)不能被p整除,因为1+k*p*s中没有一个因子可以被p整掉!不返回整数。
第二部分涉及A008364号如果r和q是互质,那么对于任何i<q都存在k<q,其中(k*r mod q)=i。由此,也可以得出对于任何n都存在k<q,并且((n+k*r)mod q)=0。但这意味着Product_{k=0..6}n+k*r可以被从2到7的所有数字整除,因为总是有一个因子可以被整除。我们仍然需要证明乘积也可以被2乘以3乘以4乘以6整除。如果((n+k_1*r)mod 4)=0的k_1是偶数,则(n mod 2)=((n+2*r)mod 2)=((n+4*r)mod 2)=((n+6*r)mod 2)=0。如果k_1是奇数,则((n+r)mod 2)=((n+3*r)mod2)=。在这两种情况下,至少有2个其他因素可以被2整除。如果(n+k_2*r)mod 6)=0的k_2小于4,则(n+(k_2+3)*r)mode 3)=0。否则,((n+(k_2-3)*r)mod 3)=0。在这两种情况下,至少有一个其他因子可以被3整除。因此Product_{k=0..6}n+k*r可以被7整除!对于任何n。
(结束)
参考文献
第四素数的双原子序列:A.de Polignac(1849),J.Dechamps(1907)。
Dickson L.E.,《数字理论史》,第1卷,第439页,切尔西,1952年。
K.Ireland和M.Rosen,现代数论经典导论,Springer-Verlag,1980年。
链接
Alphonse de Polignac公司,六个命题的运算法则《数学新纪年:候选期刊》,《Série 1,Tome 8》(1849),第423-429页。
配方奶粉
从a(49)=211开始,a(n)=a(n-48)+210-扎克·塞多夫2011年4月11日
通用:x*(x^48+10*x^47+2*x^46+4*x^45+2*x ^44+4*x ^43+6*x^42+2*x^41+6*x ^40+4*x ^39+2*x ^38+4*x^37+6*x^36+6*x ^35+2**x^34+6**x^33+4*x1^32+2*x2x^31+6*x1^30+4*x29+6*x^28+8*x^27+4**x ^26+2*x^25+4*x^24+2*x^23+4*x^22+8*x^21+6*x^20+4*x ^19+6*x ^18+2*x ^17+4*x ^16+6*x ^15+2*x*14+6*x ^13+6*x^12+4*x^11+2*x^10+4*x^9+6*x^8+2*x^7+6*x ^6+4*x ^5+2*x ^4+4*x ^3+2*x ^2+10*x+1)/(x ^49-x ^48-x+1)-科林·巴克2013年9月27日
MAPLE公司
对于从1到500的i,如果gcd(i,210)=1,则打印(i);fi;od;
t1:=[];对于从1到1000的i,如果gcd(i,210)=1,则t1:=[op(t1),i];fi;od:t1;
S: =(j,n)->总和(k^j,k=1..n):对于从1到247的n,如果(S(4,n)mod n=0)和(S(6,n)mode n=O),则打印(n)fiod#加里·德特勒夫2011年12月20日
数学
选择[Range[300],GCD[#1,210]==1&]
选择[Range[250],Mod[#,2]>0&&Mod[#,3]>0&&Mod[#,5]>0&&Mod[#,7]>0&](*文森佐·利班迪2015年11月16日*)
案例[范围@1000,x_/;无真[Array[Prime,4],Divisible[x,#]&]](*米克·海德马,2017年12月7日*)
选择[Range[250],Union[Divisible[#,{2,3,5,7}]=={False}&](*哈维·P·戴尔2021年9月24日*)
黄体脂酮素
(PARI)是A008364(n)=gcd(n,210)==1\\迈克尔·波特2009年10月10日
(哈斯克尔)
a008364 n=a008364_列表!!(n-1)
a008364_list=1:过滤器((>7)。a020639)[1..]
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