显示找到的13个结果中的1-10个。
用k>0和m>0写n=k+m，使得p=k+phi（m）/2和q（p）+1都是素数的方法的数量，其中phi（.）是Euler的totiten函数，q（.）则是严格配分函数(A000009号).
+10
16
0, 0, 0, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 2, 2, 2, 3, 4, 2, 4, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 3, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 4, 2, 5, 3, 4, 1, 5, 6, 4, 2, 5, 5, 5, 3, 5, 4, 6, 3, 5, 7, 10, 2, 4, 5, 6, 5, 5, 2, 3, 5, 6, 6, 4, 2, 5, 3, 7, 4, 5, 3, 8, 7, 2, 5, 9, 3, 3, 2, 9, 9, 6, 6, 7, 6, 9, 4, 7, 4, 10, 8, 6, 11, 11, 4, 6, 4, 9, 7
评论
猜想：对于所有n>12，（i）a（n）>0。
（ii）对于任意整数n>4，有一个素数p<n-2，使得q（p+phi（n-p）/2）+1是素数。
显然，猜想的（i）部分暗示了有无穷多个素数p带有q（p）+1素数（参见。A234530型).
我们已经验证了零件（i）的n到10^5。
例子
a（11）=1，因为11=1+10，1+phi（10）/2=3和q（3）+1=3都是素数。
a（27）=1，因为27=7+20，7+phi（20）/2=11和q（11）+1=13都是素数。
a（30）=1，因为30=8+22，8+phi（22）/2=13和q（13）+1=19都是素数。
a（38）=1，因为38=21+17，21+phi（17）/2=29和q（29）+1=257都是素数。
a（572）=1，因为572=77+495，77+phi（495）/2=197和q（197）+1=406072423都是素数。
a（860）=1，因为860=523+337，523+phi（337）/2=691和q（691）+1=712827068077888961都是素数。
数学
f[n_，k_]：=k+EulerPhi[n-k]/2
q[n_，k_]：=素数q[f[n，k]]&&素数q[分区q[f[n，k]]+1]
a[n_]：=总和[如果[q[n，k]，1，0]，{k，1，n-1}]
表[a[n]，{n，1100}]
交叉参考
囊性纤维变性。A000009号,A000010号,A000040型,229835英镑,A233307型,A233390型,A233417型,A234451型,A234470型,A234475型,A234503型,A234504型,A234530型
用2<k<=m写出n=k+m，从而q（phi（k）*phi（m）/4）+1是素数的方法的数量，其中phi（.）是Euler的总函数，q（.）则是严格配分函数(A000009号).
+10
14
0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 3, 4, 5, 5, 4, 7, 7, 6, 5, 5, 7, 3, 6, 7, 7, 5, 7, 4, 8, 4, 7, 7, 8, 7, 4, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 6, 5, 4, 5, 3, 5, 4, 6, 6, 4, 6, 5, 4, 3, 6, 4, 9, 4, 8, 6, 7, 6, 8, 4, 7, 4, 7, 8, 9, 2, 3, 1, 8, 6, 9, 6, 6, 6, 6, 4, 7, 5, 8, 8, 4, 5, 5, 9, 7, 10, 4, 10, 3, 7, 8, 6
例子
a（6）=1，因为6=3+3，q（φ（3）*phi（3）/4）+1=q（1）+1=2素数。
a（76）=1，因为76=18+58，q（φ（18）*φ（58）/4）+1=q（42）+1=1427素数。
a（197）=1，因为197=4+193，q（φ（4）*φ（193）/4）+1=q（96）+1=317789。
a（356）=1，因为356=88+268，q（φ（88）*φ（268）/4）+1=q（1320）+1=35940172290335689735986241素数。
数学
f[n_，k_]：=分区Q[EulerPhi[k]*EulerPhi[n-k]/4]+1
a[n_]：=和[If[PrimeQ[f[n，k]]，1，0]，{k，3，n/2}]
表[a[n]，{n，1100}]
交叉参考
囊性纤维变性。A000009号,A000010号,A000040型,A232504型,A233307型,A233346型,A233547型,A233390型,A233393型,A234309型,A234310型,A234337号,A234344号,A234347号,A234359型,A234360型,A234361号,A234451型,A234470型,A234514型,A234530型,A234567号,A234569号
用k>0和m>0写出n=k+m，使得p=phi（k）+phi（m）/2+1和p（p-1）都是素数的方法的数量，其中phi（.）是Euler的总方向函数，p（.）则是配分函数(A000041号).
+10
14
0, 0, 0, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 4, 2, 4, 3, 5, 1, 3, 2, 3, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 2, 0, 1, 2, 1, 1, 2, 1, 2, 3, 2, 8, 2, 1, 2, 2, 3, 3, 1, 2, 7, 0, 2, 3, 3, 4, 5, 7, 3, 4, 1, 9, 1, 4, 3, 1, 2
评论
猜想：对于所有n>727，（i）a（n）>0。
（ii）对于严格配分函数q（.）（参见。A000009号)任何n>93都可以写成k+m，其中k>0和m>0使得p=phi（k）+phi（m）/2+1和q（p-1）-1都是素数。
（iii）如果n>75不等于391，那么n可以写成k+m，其中k>0和m>0，这样f（k，m。
猜想的第（i）部分暗示有无穷多个素数p与p（p-1）素数。
例子
a（21）=1，因为21=6+15，φ（6）+phi（15）/2+1=7和P（6）=11都是素数。
a（700）=1，因为700=247+453，φ（247）+φ（453）/2+1=367，P（366）=790738119649411319都是素数。
a（945）=1，因为945=687+258，φ（687）+φ（258）/2+1=499，P（498）=2058791472042884901563都是素数。
数学
f[n_，k_]：=EulerPhi[k]+EulerPhi[n-k]/2
q[n_，k_]：=素数q[f[n，k]+1]&&素数q[分区P[f[n，k]]]
a[n_]：=总和[如果[q[n，k]，1，0]，{k，1，n-1}]
表[a[n]，{n，1100}]
3, 5, 7, 37, 367, 499, 547, 659, 1087, 1297, 1579, 2137, 2503, 3169, 3343, 4457, 4663, 5003, 7459, 9293, 16249, 23203, 34667, 39971, 41381, 56383, 61751, 62987, 72661, 77213, 79697, 98893, 101771, 127081, 136193, 188843, 193811, 259627, 267187, 282913, 315467, 320563, 345923, 354833, 459029, 482837, 496477, 548039, 641419, 647189
评论
根据中的推测A234567号，这个序列应该有无穷多个项。似乎a（n+1）<a（n）+a（n-1）对于所有n>5。
b文件列出了所有不超过500000素数7368787的术语。注意，P（a（113）-1）是一个有2999位小数的素数。
例子
a（1）=3，因为P（2-1）=1不是素数，但P（3-1）=2是素数。
a（2）=5，因为P（5-1）=5是素数。
a（3）=7，因为P（7-1）=11是素数。
数学
n=0；Do[If[PrimeQ[PartitionsP[Prime[k]-1]]，n=n+1；打印[n，“”，质数[k]]，{k，1，10^6}]
交叉参考
囊性纤维变性。A000040型,A000041号,A049575号,A233346型,A234470型,A234475型,A234514型,A234530型,A234567号,A234572型,A234615型,A234644号
用k>0和m>0写n=k+m，使得p=prime（k）+phi（m）和q（p）-1都是prime的方法的数量，其中phi（.）是Euler的totient函数，q（.）则是严格配分函数(A000009号).
+10
12
0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 2, 2, 2, 4, 3, 5, 4, 2, 6, 6, 6, 5, 4, 5, 6, 4, 6, 5, 5, 2, 4, 5, 6, 5, 7, 4, 6, 6, 8, 3, 3, 6, 7, 7, 4, 4, 4, 4, 7, 7, 3, 3, 4, 4, 6, 5, 4, 5, 5, 7, 1, 3, 4, 7, 5, 5, 6, 3, 7, 11, 5, 4, 5, 4, 7, 6, 4, 2, 7, 9, 7, 5, 5, 6, 5, 10, 7, 4, 3, 4, 6, 3, 4, 9, 5, 3, 5, 6, 5, 3, 6, 2, 7
评论
猜想：对于所有n>7，（i）a（n）>0。
（ii）任何不等于15的整数n>7都可以写成k+m，其中k>0和m>0使得p＝素数（k）+phi（m）和q（p）+1都是素数。
（iii）任何整数n>83都可以写成k+m，其中k>0和m>0使得素数（k）+phi（m）/2是平方。此外，每个整数n>45都可以写成k+m，其中k>0和m>0使得素数（k）+phi（m）/2是一个三角形数。
显然，这个猜想的（i）部分意味着有无穷多素数p，其中q（p）-1也是素数（参见。A234644号).
例子
a（6）=1，因为6=2+4，素数（2）+phi（4）=5，q（5）-1=2都是素数。
a（58）=1，因为58=12+46，素数（12）+φ（46）=59，q（59）-1=9791都是素数。
a（526）=1，因为526=389+137，素数（389）+φ（137）=2819，q（2819）-1=32603386646595866219182888146112979都是素数。
数学
f[n_，k_]：=素数[k]+EulerPhi[n-k]
q[n_，k_]：=素数q[f[n，k]]和&素数q[分区q[f[n，k]-1]
a[n_]：=总和[如果[q[n，k]，1，0]，{k，1，n-1}]
表[a[n]，{n，1100}]
具有q（p）-1的素数p也是素数，其中q（.）是严格的配分函数(A000009号).
+10
9
5, 11, 13, 17, 19, 23, 41, 43, 53, 59, 79, 103, 151, 191, 269, 277, 283, 373, 419, 521, 571, 577, 607, 829, 859, 1039, 2503, 2657, 2819, 3533, 3671, 4079, 4153, 4243, 4517, 4951, 4987, 5689, 5737, 5783, 7723, 8101, 9137, 9173, 9241, 9539, 11467, 12323, 12697, 15017, 15277, 15427, 15803, 16057, 17959, 18661
例子
a（1）=5，因为q（2）-1=0和q（3）-1=1都不是素数，但q（5）-1=2是素数。
a（2）=11，因为q（7）-1=4是复合的，但q（11）-1=11是素数。
数学
q[k_]：=q[k]=PrimeQ[PartitionsQ[Prime[k]]-1]
n=0；Do[如果[q[k]，n=n+1；打印[n，“”，质数[k]]，{k，1，10^5}]
交叉参考
囊性纤维变性。A000009号,A000040型,A234470型,A234475型,A234514型,A234530型,A234567号,A234569号,A234572型,A234615型,A234647号.
带有m-1、m+1和q（m）+1的数字m都是素数，其中q（.）是严格配分函数(A000009号).
+10
7
4, 6, 18, 42, 72, 102, 270, 282, 312, 618, 1032, 1062, 1320, 1950, 2082, 3528, 7350, 7488, 10332, 15138, 17388, 21600, 40038, 44700, 134922, 156258, 187908, 243708, 339138, 389568, 495360, 610920, 761712, 911292, 916218, 943800, 1013532, 1217472, 1312602
评论
显然，第一项4之后的任何项都是6的倍数。根据中猜想的第（i）部分A235343型，这个序列应该有无穷多个项。素数q（a（51））+1=q（3235368）+1有1412个十进制数字。
例子
a（1）=4，因为4-1、4+1和q（4）+1=3都是素数。
a（2）=6，因为6-1、6+1和q（6）+1=5都是素数。
数学
f[k_]：=分区Q[素数[k]+1]+1
n=0；Do[If[PrimeQ[Prime[k]+2]&&PrimeQ[f[k]]，n=n+1；打印[n，“”，素数[k]+1]]，{k，1，10000}]
交叉参考
囊性纤维变性。A000009号,A000040型,A014574号,A234530型,A234569号,A234644号,235343英镑,A235346型,A235356型,A235357型,A235358型.
带有m-1、m+1和q（m）-1的数字m都是素数，其中q（.）是严格配分函数(A000009号).
+10
7
6, 240, 420, 1032, 1062, 1278, 2238, 4020, 12612, 15972, 19890, 22110, 34500, 44772, 134370, 141768, 145602, 191142, 217368, 290658, 436482, 454578, 464382, 618030, 668202, 849348, 888870, 964260, 1179150, 1364970, 1446900, 1593498, 1737102, 1866438, 2291802, 3237432
评论
显然，每一项都是6的倍数。根据中的推测A235358型（这是A235343型)，这个序列应该有无穷多个项。q（a（36））-1=q（3237432）-1是具有1412个十进制数字的素数。
例子
a（1）=6，因为q（4）-1=1不是素数，而6-1、6+1和q（6）-1=3都是素数。
数学
f[k_]：=分区Q[素数[k]+1
n=0；Do[If[PrimeQ[Prime[k]+2]&&PrimeQ[f[k]]，n=n+1；打印[n，“”，素数[k]+1]]，{k，1，10000}]
选择[Mean/@Select[Partition[Prime[Range[10000]]，2，1]，#[2]]-#[1]]==2&]，PrimeQ[PartitionsQ[#]-1]&]（*程序生成序列的前14个项。要生成更多项，请增加Range常量，但程序可能需要很长时间才能运行。*）(*哈维·P·戴尔，2022年2月1日*）
交叉参考
囊性纤维变性。A000009号,A000040型,A014574号,A234530型,A234569号,A234644号,A235343型,A235344型,A235356型,A235357型,A235358型.
形式为P（P-1）的素数，其中P是素数，P（.）是配分函数(A000041号).
+10
6
2, 5, 11, 17977, 790738119649411319, 2058791472042884901563, 27833079238879849385687, 8121368081058512888507057, 675004412390512738195023734124239, 1398703012615213588677365804960180341, 16193798232344933888778097136641377589301, 204931453786129197483756438132982529754356479553, 3019564607799532159016586951616642980389816614848623, 22757918197082858017617136646280039394687006502870793231847, 1078734573992480956821414895441907729656949308800686938161281
例子
a（1）=2，因为2=P（3-1），2和3都是素数。
a（2）=5，因为5=P（5-1）带有5素数。
a（3）=11，因为11=P（7-1），7和11都是素数。
数学
表[PartitionsP[p[n]-1]，{n，1，15}]
形式为q（p）+1的素数，其中p是素数，q（.）是严格配分函数(A000009号).
+10
三
2, 3, 13, 19, 257, 761, 2591, 32993, 70489, 173683, 570079, 3725411, 5010689, 132535703, 150473569, 406072423, 3328423937, 26114971541, 519999315041, 4743946406977, 704890732521793, 445433800804233383, 712827068077888961
例子
a（1）=2，因为2=q（2）+1带有2素数。
a（2）=3，因为3=q（3）+1有3个素数。
a（3）=13，因为13=q（11）+1，11和13都是素数。
数学
表[PartitionsQ[p[n]]+1，{n，1，35}]
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