显示找到的25个结果中的1-10个。
用x^3+2*y^3素数写n=x+y（x>=0，y>=0）的方法数
+10
16
1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, 3, 3, 2, 3, 3, 3, 3, 2, 3, 4, 1, 4, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 3, 3, 5, 4, 4, 5, 6, 7, 4, 4, 5, 2, 6, 5, 5, 5, 4, 2, 4, 6, 4, 5, 4, 4, 8, 6, 5, 11, 6, 6, 8, 10, 5, 5, 5, 8, 6, 6, 11, 7, 5, 7, 9, 7, 6, 7, 8, 9, 6, 8, 10, 7, 11, 8, 7, 10, 9, 9, 6, 5, 7, 8, 13, 7, 9, 13, 13, 12, 9, 9
评论
猜想：每n=1,2,3，…，a（n）>0，。。。此外，任何不在7、22、31之间的整数n>3都可以写成p+q（q>0），其中p和p^3+2*q^3都是素数。
我们已经验证了n到10^8的这个猜想。D.R.Heath-Brown在2001年证明了存在无穷多个形式为x^3+2*y^3的素数，其中x和y是正整数。
孙志伟还提出了以下一般猜想：对于每个正奇整数m，任何足够大的整数n都可以用x^m+2*y^m素数写成x+y（x>=0，y>=0）。
当m=1时，这遵循了1850年切比雪夫证明的伯特兰假设。对于m=5、7、9、11、13、15、17、19，要求n分别大于46、69、141、274、243、189、320、454就足够了。
例子
a（9）=1，因为9=7+2，7^3+2*2^3=359素数。
a（22）=1，因为22=1+21，1^3+2*21^3=18523素数。
数学
a[n_]：=a[n]=和[If[PrimeQ[k^3+2（n-k）^3]==真，1，0]，{k，0，n}]
Do[打印[n，“”，a[n]]，｛n，1100｝]
用2*x*y-1素数写n=x^2+y（x>0，y>0）的方法数
+10
13
0, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 3, 2, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 3, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 2, 2, 3, 1, 1, 4, 3, 1, 2, 2, 2, 5, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 1, 3, 3, 2, 2, 4, 4, 2, 6, 2, 2, 4, 4, 2, 3, 1, 2, 5, 4, 1, 3, 3, 3, 6, 2, 3, 5, 4, 3, 3, 3, 3, 6, 3, 2, 4, 2, 3, 4, 3, 2, 5, 3, 5, 2, 1, 1, 9, 4, 3, 4, 3, 5, 3, 2, 2, 2
评论
猜想：对于所有n>2，a（n）>0。
已验证n到3*10^9。作者观察到，对于每个n=3，。。。，3*10^9我们甚至可能需要x<（log n）^2，但Jack Brennen发现，对于n=4630581798，我们不能要求x<（log n）*2。
作者猜测，这个猜想可以稍加改进如下：任何n>2的整数都可以写成x^2+y和2*x*y-1素数，其中x和y是x<=y的正整数。
孙志伟还提出了以下一般猜想：如果m是正整数，r是1或-1，那么任何足够大的整数n都可以用m*x*y+r素数写成x^2+y（x>0，y>0）。
例如，对于（m，r）=（1，-1），（1,1），（2,1）。
例子
a（18）=1，因为18=3^2+9，2*3*9-1=53素数。
数学
a[n_]：=a[n]=和[If[PrimeQ[2k（n-k^2）-1]==真，1，0]，{k，1，Sqrt[n]}]
执行[打印[n，“”，a[n]]，{n，1，100}]
用p、p+6、6k-1和6k+1所有素数写n=p+k的方法的数量
+10
10
0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 1, 2, 0, 3, 1, 3, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 1, 1, 3, 2, 4, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 3, 5, 3, 3, 3, 3, 4, 5, 3, 3, 3, 3, 5, 4, 4, 3, 4, 3, 3, 2, 3, 6, 5, 4, 2, 1, 3, 5, 5, 5, 2, 2, 3, 5, 3, 5, 4, 5, 2, 3, 2, 5, 5, 6, 4, 2, 3, 3, 4, 3, 3, 5, 4, 3, 1, 1, 4, 5, 7
评论
猜想：对于所有n>11，a（n）>0。
这意味着有无限多的孪生素数，也有无限多性感素数。已验证n到10^9。另请参见A199800个对于这个猜想的较弱版本。
孙志伟还推测，任何不等于319的整数n>6都可以写成p+k，其中p、p+6、3k-2+（n mod 2）和3k+2-（n mod2）都是素数。
例子
a（21）=1，因为21=11+10，11，11+6，6*10-1和6*10+1都是素数。
数学
a[n]：=a[n]=求和[If[PrimeQ[Prime[k]+6]==真和素数Q[6（n-Prime[k]）-1]=真和素数Q[6（n-Prime[k]）+1]=真，1，0]，{k，1，PrimePi[n]}]
执行[打印[n，“”，a[n]]，{n，1，100}]
表[计数[表[{n-i，i}，{i，n-1}]，_？（AllTrue[{#[[1]]，#[1]]+6，6#[2]]-1，6#[[2]]+1}，PrimeQ]&）]，{n，100}]（*程序使用Mathematica版本10*中的AllTrue函数）(*哈维·P·戴尔2015年5月19日*）
黄体脂酮素
（PARI）a（n）=我的（s，p=2，q=3）；对于素数（r=5，n+5，if（r-p==6&isp素数（6*n-6*p-1）&isp素（6*n-6*p+1），s++）；如果（r-q==6&&是素数（6*n-6*q-1）&&是素（6*n-6*q+1），s++）；p=q；q=r）；秒\\查尔斯·格里特豪斯四世2016年7月31日
用x-1，x+1和2*x*y+1写n=x+y（x>0，y>0）的方法的数量
+10
10
0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 1, 1, 3, 2, 0, 1, 2, 2, 3, 2, 1, 0, 2, 2, 0, 1, 3, 2, 2, 1, 3, 4, 2, 2, 3, 0, 4, 3, 3, 1, 1, 3, 0, 3, 2, 1, 1, 3, 3, 1, 1, 5, 3, 1, 2, 1, 3, 3, 5, 3, 1, 2, 4, 3, 3, 2, 4, 3, 2, 2, 0, 3, 5, 4, 1, 3, 6, 2, 6, 2, 2, 4, 5, 5, 2, 3, 3, 4, 1, 2, 0, 1, 4, 2, 4, 1, 6, 6
评论
猜测：对于所有n>623，a（n）>0。
已验证n到10^8。
孙志伟提出了以下一般猜想：对于每个非负整数m，任何足够大的整数n都可以写成x+y（x>0，y>0），其中x-m，x+m和2*x*y+1都是素数。
例如，当m=2、3、4、5时，要求n分别大于28、151、357、199就足够了。
Sun还推测，对于每一个m=0,1,2，。。。任何具有m或n奇数的足够大的整数n都可以写成x+y（x>0，y>0），其中x-m，x+m和x*y-1都是素数。
例如，在m=1的情况下，只需要求n大于4，而不在40、125、155、180、470、1275、2185、3875之间；当m=2时，要求n是奇数，大于7，并且不同于13就足够了。
例子
a（11）=1，因为11=6+5，6-1，6+1和2*6*5+1=61都是素数。
数学
a[n_]：=a[n]=和[If[PrimeQ[素数[k]+2]==True&&素数Q[2（素数[k]+1）（n-Prime[k]-1）+1]==真，1，0]，{k，1，PrimePi[n-1]}]
执行[打印[n，“”，a[n]]，{n，1，10000}]
在x+n*y和x^2+n*y^2都为素数的情况下，n=x+y（x，y>0）的写入方式的数量。
+10
9
0, 1, 2, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 2, 3, 2, 5, 1, 4, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 5, 4, 1, 7, 2, 4, 4, 6, 2, 5, 1, 4, 3, 5, 2, 8, 2, 6, 3, 3, 3, 5, 2, 5, 4, 7, 5, 7, 3, 5, 3, 3, 1, 11, 4, 7, 6, 5, 2, 4, 3, 8, 5, 6, 1, 14, 1, 6, 7, 6, 6, 8, 3, 6, 7, 7, 5, 9, 3, 3, 5, 7, 7, 15, 5, 6, 5, 2, 5, 15, 6, 12, 8, 7, 3, 15, 8, 10, 5
评论
猜想：对于所有n>1，（i）a（n）>0。此外，a（n）=1仅适用于n=2、5、8、14、19、20、24、32、54、68、101、168。
（ii）每n=3，4。。。可以写成x+y（x，y>0），x*n+y和x*n-y都是质数。
（iii）任何整数n>2都可以写成P+q（q>0），其中P和P+n*q都是素数。此外，任何整数n>7都可以写成p+q（q>0），其中p和n*q-p都是素数。
在2017年发表的一篇论文中，作者宣布获得200美元的奖金，以奖励他对所有n>1的（n）>0的猜想的第一个解决方案-孙志伟2017年12月3日
参考文献
D.A.Cox，《x^2+n*y^2形式的素数》，John Wiley&Sons出版社，1989年。
例子
a（2）=1，因为2=1+1，1+2*1=1^2+2*1^2=3素数。
a（5）=1，因为5=3+2，3+5*2=13和3^2+5*2^2均为素数。
a（8）=1，因为8=5+3，其中5+8*3=29和5^2+8*3^2=97都是素数。
a（14）=1，因为14=9+5，9+14*5=79和9^2+14*5%2=431都是素数。
a（19）=1，因为19=13+6，13+19*6=127和13^2+19*6 ^2=853都是素数。
a（20）=1，因为20=11+9，11+20*9=191和11^2+20*9 ^2=1741都是素数。
a（24）=1，因为24=5+19，其中5+24*19=461和5^2+24*19-2=8689都是素数。
a（32）=1，因为32=23+9，23+32*9=311和23^2+32*9 ^2=3121都是素数。
a（54）=1，因为54=35+19，35+54*19=1061和35^2+54*19-2=20719都是素数。
a（68）=1，因为68=45+23，其中45+68*23=1609和45 ^2+68*23^2=37997都是素数。
a（101）=1，因为101=98+3，98+101*3=401和98^2+101*2=10513都是素数。
a（168）=1，因为168=125+43，125+168*43=7349和125^2+168*43 ^2=326257都是质数。
数学
a[n_]：=和[If[PrimeQ[k+n（n-k）]&&PrimeQ[k^2+n（n-k）^2]，1，0]，{k，1，n-1}]
表[a[n]，｛n，1100｝]
用p、2*p^2-1和2*q^2-1写n=p+q（q>0）的有序方式的数量。
+10
8
0, 0, 0, 1, 2, 2, 1, 1, 3, 3, 2, 1, 4, 3, 4, 2, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 3, 6, 3, 3, 3, 5, 2, 3, 3, 3, 1, 2, 4, 2, 2, 3, 3, 1, 5, 2, 3, 3, 7, 3, 5, 4, 6, 3, 5, 6, 5, 5, 3, 6, 2, 5, 5, 3, 4, 5, 6, 2, 6, 6, 5, 1, 5, 3, 3, 3, 2, 2, 5, 6, 5, 1, 5, 6, 4, 4, 6, 6, 1, 5, 5, 4, 3, 4, 3, 3, 6, 5, 4, 1, 5, 7, 2, 4
评论
猜想：对于所有n>3，a（n）>0。
我们已经验证了n到2*10^7。
链接
孙志伟，涉及素数和二次型的猜想，预印本，arXiv:1211.1588[math.NT]，2012-2017。
例子
a（7）=1，因为7=3+4，其中3,2*3^2-1=17，2*4^2-1=31都是素数。
a（40）=1，因为40=2+38，和2，2*2^2-1=7，2*38^2-1=2887都是素数。
a（68）=1，因为68=43+25，并且所有三个数字43，2*43 ^2-1=3697和2*25 ^2-1=1249都是素数。
数学
a[n_]：=和[If[PrimeQ[2素数[i]^2-1]&&素数Q[2（n-Prime[i]）^2-1]，1，0]，{i，1，PrimePi[n-1]}]
表[a[n]，｛n，1100｝]
用2x+1，2y-1和x^3+2y^3写n=x+y（x>0，y>0）的方法的数量都是素数。
+10
6
0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 0, 2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 0, 1, 1, 0, 2, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 2, 1, 1, 1, 3, 2, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 3, 3, 1, 4, 1, 1, 0, 4, 2, 2, 3, 0, 1, 3, 2, 2, 1, 0, 5, 2, 0, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 3, 3, 2, 0, 1, 0, 2, 2, 4, 3, 2, 1, 3, 4, 2, 3
评论
猜想：对于所有n>527，a（n）>0。
已验证n到2*10^7。它暗示了哥德巴赫猜想，因为2（x+y）=（2x+1）+（2y-1）。
孙志伟也做出了以下类似的推测：
（1） 每个整数n>1544都可以写成x+y（x>0，y>0），其中2x-1，2y+1和x^3+2y^3都是素数。
（2） 任何大于2060的奇数都可以写成2p+q，其中p、q和p^3+2（（q-1）/2）^3都是素数。
（3） 每个整数n>25537都可以写成p+q（q>0），其中p、p-6、p+6和p^3+2q^3都是素数。
（4） 任何偶数n>1194都可以写成x+y（x>0，y>0），x^3+2y^3和2x^3+y^3都是质数。
（5） 每个整数n>3662都可以写成x+y（x>0，y>0），其中3（xy）^3-1和3（xy）^3+1都是质数。
（6） 任何整数n>22都可以用（xy）^4+1素数写成x+y（x>0，y>0）。此外，任何整数n>7425都可以写成x+y（x>0，y>0），其中2（xy）^4-1和2（xy）^4+1都是质数。
（7） 每个奇数n>1都可以用x^4+y^2素数写成x+y（x>0，y>0）。此外，任何大于15050的奇数都可以写成p+2q，其中p、q和p^4+（2q）^2都是素数。
例子
a（25）=1，因为25=3+22，2*3+1，2*22-1和3^3+2*22^3=21323都是素数。
a（26）=1，因为26=11+15，2*11+1，2*15-1和11^3+2*15^3=8081都是素数。
数学
a[n_]：=a[n]=和[如果[PrimeQ[2k+1]==True&&PrimeQ[2]（n-k）-1]==True&&PrimeQ[k^3+2（n-k，^3]==真，1，0]，{k，1，n-1}]
执行[打印[n，“”，a[n]]，{n，1，1000}]
用3x-2、3x+2和2xy+1所有素数写n=x+y（x>0、y>0）的方法的数量
+10
6
0, 0, 0, 1, 1, 2, 0, 2, 3, 2, 1, 2, 1, 1, 4, 4, 1, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 5, 1, 4, 1, 1, 5, 4, 1, 2, 5, 5, 3, 8, 3, 6, 5, 5, 4, 4, 2, 4, 5, 3, 1, 8, 3, 4, 4, 1, 2, 8, 6, 3, 4, 5, 4, 4, 7, 1, 3, 6, 5, 7, 3, 3, 8, 2, 4, 5, 2, 6, 10, 7, 1, 5, 5, 6, 8, 6, 4, 5, 5, 7, 5, 4, 4, 11, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 3, 1, 12, 8
评论
猜测：对于所有n>7，a（n）>0。
已验证n到10^8。这意味着有无限多的近亲素数。
孙志伟还提出了其他一些类似的猜想，例如，他猜想任何整数n>17都可以用2x-3、2x+3和2xy+1全素数写成x+y（x>0，y>0），而每个整数n>28都可以用x+1、2y-1和2xy+1全素写成x+y（x>0，y>0）。
这两个猜想都得到了n到10^9的验证-毛罗·佛罗伦萨2023年8月6日
例子
a（25）=1，因为25=13+12，其中3*13-2、3*13+2和2*13*12+1=313都是素数。
数学
a[n_]：=a[n]=和[如果[PrimeQ[3k-2]==True&&PrimeQ[3]==True&&PrimQ[2k（n-k）+1]==真，1，0]，{k，1，n-1}]
执行[打印[n，“”，a[n]]，{n，1，1000}]
apQ[{a_，b_}]：=全部真[{3a-2，3a+2，2a*b+1}，素数Q]；表[Count[Flatten[Permutations/@IntegerPartitions[n，{2}]，1]，_？（apQ[#]&）]，｛n，100｝]（*该程序使用Mathematica版本10*中的AllTrue函数）(*哈维·P·戴尔，2018年6月9日*）
交叉参考
囊性纤维变性。A220431号,A023200型,A046132美元,18867年2月,A219055型,A220419型,A220413型,A220272型,A219842型,A219864型,A219923型.
用y<=z写n=x+y+z的方法的数量，使得所有五个数字6*x-1、6*y-1、6*z-1、6*x*y-1和6*x*z-1都是Sophie-Germain素数。
+10
6
0, 0, 1, 2, 2, 3, 3, 1, 3, 4, 5, 2, 1, 1, 3, 4, 4, 3, 4, 6, 5, 2, 2, 6, 5, 1, 2, 4, 2, 2, 3, 6, 5, 7, 6, 2, 3, 4, 4, 2, 3, 5, 1, 4, 7, 4, 6, 3, 9, 4, 2, 5, 4, 3, 9, 2, 4, 3, 6, 3, 5, 8, 8, 5, 8, 6, 2, 4, 3, 4, 1, 6, 4, 3, 8, 8, 6, 6, 9, 11, 2, 4, 2, 8, 3, 4, 6, 10, 5, 11, 7, 8, 6, 10, 4, 1, 3, 1, 3, 3
评论
猜想：对于所有n>2，a（n）>0。
这意味着，n>2的6*n-3可以表示为三个Sophie-Germain素数的和（即，那些素数p与2*p+1也是素数）。
我们已经验证了n到10^8的猜想。请注意，任何Sophie Germain素数p>3的形式都是6*k-1。
例子
a（4）=2，因为4=1+1+2=2+1+1，6*1-1=5和6*2-1=11是Sophie-Germain素数。
a（26）=1，因为26=15+2+9，所有五个数字6*15-1=89、6*2-1=11、6*9-1=53、6*15*2-1=179和6*15*19=809都是索菲·杰曼素数。
数学
SQ[n_]：=PrimeQ[n]&&PrimeQ[2n+1]
a[n_]：=和[If[SQ[6i-1]和&SQ[6j-1]和&SQ[6（n-i-j）-1]和&SQ[6i*j-1]和&SQ[6*i（n-i-j）-1]，1，0]，{i，1，n-2}，{j，1，（n-i）/2}]
表[a[n]，｛n，1100｝]
用2*x+1，x^2+x+1和y^2+y+1写n=x+y（x，y>0）的方法的数量都是素数。
+10
6
0, 1, 2, 3, 2, 3, 4, 4, 4, 3, 4, 1, 3, 3, 3, 5, 5, 4, 3, 6, 4, 7, 7, 2, 4, 6, 4, 4, 6, 3, 1, 4, 2, 4, 7, 4, 1, 4, 4, 2, 6, 4, 3, 4, 2, 3, 5, 3, 2, 1, 2, 3, 6, 2, 6, 6, 3, 5, 4, 5, 3, 7, 2, 4, 6, 2, 4, 5, 3, 5, 8, 5, 2, 10, 4, 4, 8, 5, 6, 7, 8, 4, 11, 4, 3, 6, 4, 2, 4, 8, 8, 11, 5, 3, 11, 5, 3, 6, 4, 5
评论
猜想：对于所有n>1，（i）a（n）>0。
（ii）任何大于3的整数都可以写成p+q，其中p、2*p-3和q^2+q+1都是素数。此外，每个不等于30的整数n>3都可以表示为p+q，其中p、q^2+q-1和q^2+q+1都是素数。
（iii）任何整数n>1都可以写成x+y（x，y>0），x^2+1（或4*x^2+1）和y^2+y+1（或4*y^2+1）都是素数。
（iv）每个整数n>3可以表示为p+q（q>0），其中p、2*p-3和4*q^2+1都是素数。
（v） 任何大于4的偶数都可以写成p+q，其中p、q和p^2+4（或p^2-2）都是素数。此外，每个大于2且不等于122的偶数都可以用p、q和（p-1）^2+1全素数表示为p+q。
我们已经验证了n到10^8的第一部分。
例子
a（5）=2，因为5=2+3=3+2，2*2+1=5，2*3+1=7，2^2+2+1=7，3^2+3+1=13都是质数。
a（31）=1，因为31=14+17，2*14+1=29，14^2+14+1=211和17^2+17+1=307都是质数。
数学
a[n_]：=总和[If[PrimeQ[2i+1]&&PrimeQ[i^2+i+1]&&PrimeQ[（n-i）^2+n-i+1]，1，0]，{i，1，n-1}]
表[a[n]，｛n，1100｝]
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