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按行读取的三角形:T(n,k)=k在n的分区集的最后一部分中的出现次数。
+10 100
1, 1, 1, 2, 0, 1, 3, 2, 0, 1, 5, 1, 1, 0, 1, 7, 4, 2, 1, 0, 1, 11, 3, 2, 1, 1, 0, 1, 15, 8, 3, 3, 1, 1, 0, 1, 22, 7, 6, 2, 2, 1, 1, 0, 1, 30, 15, 6, 5, 3, 2, 1, 1, 0, 1, 42, 15, 10, 5, 4, 2, 2, 1, 1, 0, 1, 56, 27, 14, 10, 5, 5, 2, 2, 1, 1, 0, 1
评论
此外,第1列给出了n-1的分区数。对于k>=2,第n行列出了n的所有分区中k的数量,这些分区中不包含1。
.
. 1,
. 1, 0, 1,
. 4, 2, 1, 0, 1,
11, 3, 2, 1, 1, 0, 1,
---------------------
11, 7, 5, 3, 2, 1, 1,
.
在第n行中,似乎开始了一个无限梯形,其中列和总是给出n-1的分区数。n=7的示例:
.
11, 3, 2, 1, 1, 0, 1,
. 8, 3, 3, 1, 1, 0, 1,
. 6, 2, 2, 1, 1, 0, 1,
. 5, 3, 2, 1, 1, 0, 1,
. 4, 2, 2, 1, 1, 0, 1,
. 5, 2, 2, 1, 1, 0,...
. 4, 2, 2, 1, 1,...
. 4, 2, 2, 1,...
. 4, 2, 2,...
. 4, 2,...
. 4,...
.
11,
. 8,
. 7, 6,
. 6, 5,
. 10, 5, ...
. 10, ...
. 10, ...
-------------------
11, 15, 22, 30, ...
(结束)
更一般地,T(n,k)是任意整数>=n的分区集第n段中k的出现次数-奥马尔·波尔2013年10月21日
例子
7的分区集最后一部分的三种排列的图解,或者更一般地说,任何大于等于7的整数的分区集的第七部分:
. _ _ _ _ _ _ _
. (7) (7) |_ _ _ _ |
. (4+3) (4+3) |_ _ _ _|_ |
. (5+2) (5+2) |_ _ _ | |
. (3+2+2) (3+2+2) |_ _ _|_ _|_ |
. (1) (1) | |
. (1) (1) | |
. (1) (1) | |
. (1) (1) | |
. (1) (1) | |
. (1) (1) | |
. (1) (1) | |
. (1) (1) | |
. (1) (1) | |
. (1) (1) | |
. (1) (1) |_|
. ----------------
. |/|/|/|/|/|/|
.11,3,2,1,1,0,1-->此三角形的第7行。
.
请注意,最后一部分的“头部”是由7个分区形成的,这些分区不包含1个作为一部分。“尾巴”由A000041号(7-1)尺寸为1的零件。行数(或区域数)为A000041号(7) = 15. 7的分区集的最后一部分包含11个1,3个2,2个3,1个4,1个5,没有6,它包含1个7。所以,对于k=1..7,第7行给出:11,3,2,1,1,0,1。
三角形开始:
1;
1, 1;
2, 0, 1;
3, 2, 0, 1;
5, 1, 1, 0, 1;
7, 4, 2, 1, 0, 1;
11, 3, 2, 1, 1, 0, 1;
15, 8, 3, 3, 1, 1, 0, 1;
22, 7, 6, 2, 2, 1, 1, 0, 1;
30, 15, 6, 5, 3, 2, 1, 1, 0, 1;
42, 15, 10, 5, 4, 2, 2, 1, 1, 0, 1;
56, 27, 14, 10, 5, 5, 2, 2, 1, 1, 0, 1;
...
MAPLE公司
p: =(f,g)->拉链((x,y)->x+y,f,g,0):
b: =proc(n,i)选项记忆;局部g;
如果n=0,则[1]
elif n<2或i<2,然后[0]
否则g:=`if`(i>n,[0],b(n-i,i));
p(p([0$j=2..i,g[1],b(n,i-1)),g)
fi(菲涅耳)
结束时间:
h: =proc(n)选项记住;
`如果`(n=0,1,b(n,n)[1]+h(n-1))
结束时间:
T: =程序(n)h(n-1),b(n,n)[2..n][]结束:
数学
p[f_,g_]:=加号@@PadRight[{f,g}];b[n_,i_]:=b[n,i]=模[{g},其中[n==0,{1},n<2|i<2,{0},True,g=如果[i>n,{0{,b[n-i,i]];p[p[附加[Array[0&,i-1],g[[1]]],b[n,i-1]],g]]];h[n_]:=h[n]=如果[n==0,1,b[n,n][[1]]+h[n-1]];t[n]:={h[n-1],序列@@b[n,n][[2;;n]]};表[t[n],{n,1,20}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2014年1月16日之后阿洛伊斯·海因茨的Maple代码*)
表[{PartitionsP[n-1]}~Join~表[Count[扁平@箱子[整数分区[n],x_/;最后[x]!=1] ,k],{k,2,n}],{n,1,12}]//压扁(*罗伯特·普莱斯2020年5月15日*)
按行读取的三角形:T(k,m)=k在(10+m)分区集的最后一段中的出现次数。
+10 9
42, 15, 27, 10, 14, 18, 5, 10, 10, 17, 4, 5, 8, 10, 15, 2, 5, 4, 8, 9, 14, 2, 2, 4, 5, 7, 9, 13, 1, 2, 2, 4, 4, 8, 8, 13, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 7, 9, 12, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 7, 8, 13, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 7, 8, 12, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 7, 8, 12
配方奶粉
T(k,m)=A182703号(10+m,k),当k>10+m时,T(k,m)=0。
从第k=11行开始,每行以(k-11)0开始,以子序列1、0、1、1、2、2、4、4、7、8、12结束A002865号-阿洛伊斯·P·海因茨,2012年2月15日
例子
三角形开始:
42;
15, 27;
10, 14, 18;
5, 10, 10, 17;
4, 5, 8, 10, 15;
2, 5, 4, 8, 9, 14;
2, 2, 4, 5, 7, 9, 13;
1, 2, 2, 4, 4, 8, 8, 13;
1, 1, 2, 2, 4, 4, 7, 9, 12;
0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 7, 8, 13;
1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 7, 8, 12;
0, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 7, 8, 12;
0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 7, 8, 12;
0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 7, 8, 12;
....
对于k=1和m=1;T(1,1)=42,因为在11的分区集的最后一部分中有42个1大小的部分,因为10+m=11,所以a(1)=42。对于k=2和m=1;T(2,1)=15,因为在11的分区集的最后一部分中有15部分大小为2,因为10+m=11,所以a(2)=15。
行读取的三角形:T(k,m)=(4+m)分区集最后一段中k的出现次数。
+10 三
5, 1, 4, 1, 2, 2, 0, 1, 1, 3, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2
配方奶粉
T(k,m)=A182703号(4+m,k),T(k,m)=0,如果k>4+m。
例子
三角形开始:
5,
1, 4,
1, 2, 2,
0, 1, 1, 3,
1, 0, 1, 1, 2,
...
对于k=1和m=1:T(1,1)=5,因为在5的分区集的最后一部分中有5个大小为1的部分,因为4+m=5,所以a(1)=5。
对于k=2和m=1:T(2,1)=1,因为在5的分区集的最后一部分中只有尺寸2的一部分,因为4+m=5,所以a(2)=1。
黄体脂酮素
(PARI)P(n)={my(M=矩阵(n,n),d=4);M[1,1]=numpart(d);对于(M=1,n,forpart(P=M+d,对于(k=1,#P,my(t=P[k]);如果(t<=n&&M<=t,M[t,M]++)),[2,M+d]));M}
{my(T=P(10));对于(n=1,#T,打印(T[n,1..n]))}\\安德鲁·霍罗伊德2020年2月19日
行读取的三角形:T(k,m)=(5+m)分区集最后一段中k的出现次数。
+10 三
7, 4, 3, 2, 2, 3, 1, 1, 3, 2, 0, 1, 1, 2, 3, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 2
例子
三角形开始:
7,
4, 3,
2, 2, 3,
1, 1, 3, 2,
0, 1, 1, 2, 3,
1, 0, 1, 1, 2, 2,
0, 1, 0, 1, 1, 2, 2,
...
对于k=1和m=1:T(1,1)=7,因为在6的分区集的最后一部分中有7部分大小为1,因为5+m=6,所以a(1)=7。
对于k=2和m=1:T(2,1)=4,因为在6的分区集的最后一部分中有四部分大小为2,因为5+m=6,所以a(2)=4。
黄体脂酮素
(PARI)P(n)={my(M=矩阵(n,n),d=5);M[1,1]=数字部分(d);对于(M=1,n,对于部分(P=M+d,对于(k=1,#P,my(t=P[k]);如果(t<=n&&M<=t,M[t,M]++)),[2,M+d]));M}
{my(T=P(10));对于(n=1,#T,打印(T[n,1..n]))}\\安德鲁·霍罗伊德2020年2月19日
行读取的三角形:T(k,m)=(6+m)分区集最后一段中k的出现次数。
+10 三
11, 3, 8, 2, 3, 6, 1, 3, 2, 5, 1, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 1, 2, 2, 5, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 4
例子
三角形开始:
11,
3, 8,
2, 3, 6,
1, 3, 2, 5,
1, 1, 2, 3, 4,
0, 1, 1, 2, 2, 5,
...
对于k=1和m=1:T(1,1)=11,因为在7的分区集的最后一部分中有11个1大小的部分,因为6+m=7,所以a(1)=11。
对于k=2和m=1:T(2,1)=3,因为在7的分区集的最后一部分中有三部分大小为2,因为6+m=7,所以a(2)=3。
黄体脂酮素
(PARI)P(n)={my(M=矩阵(n,n),d=6);M[1,1]=数字部分(d);对于(M=1,n,对于部分(P=M+d,对于(k=1,#P,my(t=P[k]);如果(t<=n&&M<=t,M[t,M]++)),[2,M+d]));M}
{my(T=P(10));对于(n=1,#T,打印(T[n,1..n]))}\\安德鲁·霍罗伊德2020年2月19日
行读取的三角形:T(k,m)=(7+m)分区集最后一段中k的出现次数。
+10 三
15, 8, 7, 3, 6, 6, 3, 2, 5, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 1, 2, 2, 5, 4, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 5, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4
例子
三角形开始:
15,
8, 7,
3, 6, 6,
3, 2, 5, 5,
...
对于k=1和m=1:T(1,1)=15,因为在8个分区集的最后一部分中有15个1大小的部分,因为7+m=8,所以a(1)=15。
对于k=2和m=1:T(2,1)=8,因为在8的分区集的最后一部分中有8个大小为2的部分,因为7+m=8,所以a(2)=8。
黄体脂酮素
(PARI)P(n)={my(M=矩阵(n,n),d=7);M[1,1]=数字部分(d);对于(M=1,n,对于部分(P=M+d,对于(k=1,#P,my(t=P[k]);如果(t<=n&&M<=t,M[t,M]++)),[2,M+d]));M}
{my(T=P(10));对于(n=1,#T,打印(T[n,1..n]))}\\安德鲁·霍罗伊德2020年2月19日
行读取的三角形:T(k,m)=(8+m)分区集最后一段中k的出现次数。
+10 三
22, 7, 15, 6, 6, 10, 2, 5, 5, 10, 2, 3, 4, 5, 8, 1, 2, 2, 5, 4, 8, 1, 1, 2, 2, 4, 5, 7, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 8, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 7, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 7, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 7, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 7, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 7
例子
三角形开始:
22,
7, 15,
6, 6, 10,
2, 5, 5, 10,
2, 3, 4, 5, 8,
...
对于k=1和m=1:T(1,1)=22,因为在9的分区集的最后一部分中有22部分大小为1,因为8+m=9,所以a(1)=22。
对于k=2和m=1:T(2,1)=7,因为在9的分区集的最后一部分中有7部分大小为2,因为8+m=9,所以a(2)=7。
黄体脂酮素
(PARI)P(n)={my(M=矩阵(n,n),d=8);M[1,1]=数字部分(d);对于(M=1,n,对于部分(P=M+d,对于(k=1,#P,my(t=P[k]);如果(t<=n&&M<=t,M[t,M]++)),[2,M+d]));M}
{my(T=P(10));对于(n=1,#T,打印(T[n,1..n]))}\\安德鲁·豪罗伊德2020年2月19日
行读取的三角形:T(k,m)=(9+m)分区集最后一段中k的出现次数。
+10 三
30, 15, 15, 6, 10, 14, 5, 5, 10, 10, 3, 4, 5, 8, 10, 2, 2, 5, 4, 8, 9, 1, 2, 2, 4, 5, 7, 9, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 8, 8, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 7, 9, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 7, 8, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 7, 8, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 7, 8, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 2, 4, 4, 7, 8
例子
三角形开始:
30;
15, 15;
6, 10, 14;
5, 5, 10, 10;
3, 4, 5, 8, 10;
2, 2, 5, 4, 8, 9;
...
对于k=1和m=1;T(1,1)=30,因为在10的分区集的最后一部分中有30个1大小的部分,因为9+m=10,所以a(1)=30。对于k=2和m=1;T(2,1)=15,因为在10的分区集合的最后一部分中有15个大小为2的部分,因为9+m=10,所以a(2)=15。
黄体脂酮素
(PARI)P(n)={my(M=矩阵(n,n),d=9);M[1,1]=数字部分(d);对于(M=1,n,对于部分(P=M+d,对于(k=1,#P,my(t=P[k]);如果(t<=n&&M<=t,M[t,M]++)),[2,M+d]));M}
{my(T=P(10));对于(n=1,#T,打印(T[n,1..n]))}\\安德鲁·霍罗伊德2020年2月19日
行读取的三角形:T(k,m)=(3+m)分区集最后一段中k的出现次数。
+10 2
3, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0
例子
三角形开始:
三,
2, 1,
0, 1, 2,
1, 0, 1, 1,
0, 1, 0, 1, 1,
0, 0, 1, 0, 1, 1,
0, 0, 0, 1, 0, 1, 1,
0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1,
0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1,
...
对于k=1和m=1,T(1,1)=3,因为在4的分区集的最后一部分中有三部分大小为1,因为3+m=4,所以a(1)=3。
对于k=2和m=1,T(2,1)=2,因为在4的分区集的最后一部分中有两部分大小为2,因为3+m=4,所以a(2)=2。
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