搜索： a084680-编号：a0846800
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1, 3, 9, 11, 17, 33, 51, 73, 99, 101, 137, 153, 187, 219, 257, 303, 353, 411, 449, 561, 641, 657, 771, 803, 909, 1059, 1111, 1233, 1241, 1347, 1409, 1507, 1683, 1717, 1923, 2313, 2329, 2409, 2827, 3177, 3333, 3723, 3883, 4041, 4227, 4369, 4521, 4939
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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n，其中1/n的十进制展开式的周期长度是2的幂。
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参考文献
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J.W.L.Glaisher，关于循环小数，Proc。外倾角。Phil.Soc.，3（1878），185-206。
D.H.Lehmer，《数论表格指南》。第105号公报，国家研究委员会，华盛顿特区，1941年，第7-12页。
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链接
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配方奶粉
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例子
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1/3的周期=1。1/9的周期=2。1/73的周期=8。周期1/353=32。
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MAPLE公司
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A084680号：=程序（n），如果gcd（n，10）<>1，则为0；elif n=1，然后为1；else数字理论[顺序]（10，n）；结束条件：；结束进程：
isA000079:=proc（n），如果n=1，则为true；elif n>=1，则numtheory[因子集]（n）={2}；否则为假；结束条件：；结束进程：
对于从1到5000的n，如果是A000079，则do(A084680号（n） ）然后打印f（“%d，”，n）；结束条件：；结束do：#R.J.马塔尔2010年3月10日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 2, 1, 6, 6, 1, 1, 16, 1, 18, 1, 6, 2, 22, 1, 1, 6, 3, 6, 28, 1, 15, 1, 2, 16, 6, 1, 3, 18, 6, 1, 5, 6, 21, 2, 1, 22, 46, 1, 42, 1, 16, 6, 13, 3, 2, 6, 18, 28, 58, 1, 60, 15, 6, 1, 6, 2, 33, 16, 22, 6, 35, 1, 8, 3, 1, 18, 6, 6, 13, 1, 9, 5, 41, 6, 16, 21, 28, 2, 44, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,7
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评论
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当1/n具有有限的十进制展开式时（即当n=2^a*5^b），a（n）=1 whileA051626号（n） =0-M.F.哈斯勒2015年12月14日
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参考文献
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J.H.Conway和R.K.Guy，《数字之书》，哥白尼出版社，纽约，1996年，第159页等。
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链接
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配方奶粉
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注意，如果n=r*s，其中r是2的幂，s是奇数，那么a（n）=a（s）。此外，如果n=r*s，其中r是5的幂，s不可被5整除，则a（n）=a（s）。所以我们只需要不可被2或5整除的n的a（n）。这是n除以10^m-1的最小数字m；m是φ（n）的除数，其中φ=A000010号.
phi（n）=n-1仅当n是素数时，并且由于a（n）除以phi（n），因此a（n）仅当n为素数时才能等于n-1Scott Hemphill（Hemphill，AT）校友.caltech.edu），2006年11月23日
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MAPLE公司
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a132740:=1；
对于ifactors（n）[2]do中的pe
如果{2,5}中没有op（1，pe），那么
a132740:=a132740*op（1，pe）^ op（2，pe）；
结束条件：；
结束do：
如果a132740=1，则
1 ;
其他的
数字理论[顺序]（10，a132740）；
结束条件：；
结束进程：
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数学
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表[r=n/2^IntegerExponent[n，2]/5^Integer指数[n，5]；乘法顺序[10，r]，{n，100}](*T.D.诺伊2012年10月17日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=znorder（Mod（10，n/2^估值（n，2）/5^估值）\\查尔斯·格里特豪斯四世2013年1月14日
（鼠尾草）
定义a（n）：
n=ZZ（n）
rad=2**n.估价（2）*5**n.估值（5）
返回Zmod（n//rad）（10）.乘法顺序（）
[范围（1，20）中n的a（n）]
（Python）
从sympy导入n顺序，多重性
定义A007732号（n） ：return n_order（10，n//2**重数（2，n）//5**重数#柴华武2022年2月7日
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交叉参考
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关键词
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非n,基础,容易的,美好的
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作者
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状态
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经核准的
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A002329号
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| 整数的倒数周期为素数到10。
（原名M4045 N1678）
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31
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1, 1, 6, 1, 2, 6, 16, 18, 6, 22, 3, 28, 15, 2, 3, 6, 5, 21, 46, 42, 16, 13, 18, 58, 60, 6, 33, 22, 35, 8, 6, 13, 9, 41, 28, 44, 6, 15, 96, 2, 4, 34, 53, 108, 3, 112, 6, 48, 22, 5, 42, 21, 130, 18, 8, 46, 46, 6, 42, 148, 75, 16, 78, 13, 66, 81, 166, 78, 18, 43
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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评论
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参考文献
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J.W.L.Glaisher，关于循环小数，Proc。外倾角。Phil.Soc.，3（1878），185-206。
D.H.Lehmer，《数论中的表格指南》。第105号公报，国家研究委员会，华盛顿特区，1941年，第7-12页。
N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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柴华武，鸽子洞和松鸡阿默尔。数学。月刊，121（2014），529-533。
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配方奶粉
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）do（lim）=my（v=List（））；对于（n=1，lim，如果（gcd（n，10）==1，listput（v，znorder（Mod（10，n））））；车辆（v）\\查尔斯·格里特豪斯四世2017年6月21日
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交叉参考
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关键词
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非n,基础,美好的,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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A084681号
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| 10模9n的阶数[即最小m，使得10^m=1（mod 9n）]或0（当不存在这样的数时）。 |
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+10
4
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1, 0, 3, 0, 0, 0, 6, 0, 9, 0, 2, 0, 6, 0, 0, 0, 16, 0, 18, 0, 6, 0, 22, 0, 0, 0, 27, 0, 28, 0, 15, 0, 6, 0, 0, 0, 3, 0, 6, 0, 5, 0, 21, 0, 0, 0, 46, 0, 42, 0, 48, 0, 13, 0, 0, 0, 18, 0, 58, 0, 60, 0, 18, 0, 0, 0, 33, 0, 66, 0, 35, 0, 8, 0, 0, 0, 6, 0, 13, 0, 81, 0, 41, 0, 0, 0, 84, 0, 44, 0, 6, 0, 15, 0
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,3
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链接
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配方奶粉
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MAPLE公司
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f： =进程（n）
如果igcd（n，10）>1，则0其他数字理论：-顺序（10，9*n）fi
结束进程：
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数学
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a[n_]：=如果[GCD[10，9n]！=1，0，乘数阶[10，9n]]；
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=如果（gcd（10，9*n）！=1，0，znorder（Mod（10，9*n））\\米歇尔·马库斯2019年2月23日
（GAP）列表（[1..100]，n->OrderMod（10，9*n））#穆尼鲁·A·阿西鲁2019年2月26日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A087094号
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| a（n）=最小的k，使得（10^k-1）/9==0模素数（n）^2，或者如果不存在这样的k，则为0。 |
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+10
4
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0, 9, 0, 42, 22, 78, 272, 342, 506, 812, 465, 111, 205, 903, 2162, 689, 3422, 3660, 2211, 2485, 584, 1027, 3403, 3916, 9312, 404, 3502, 5671, 11772, 12656, 5334, 17030, 1096, 6394, 22052, 11325, 12246, 13203, 27722, 7439, 31862, 32580, 18145, 37056, 19306
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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评论
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对于给定的a（n）>0，k的所有值（10^k-1）/9=0 mod素数（n）^2由序列a（n*A000027号即a（n）的整数倍。例如，对于n=2，素数（2）=3，a（n）=9，k的一组值，其中（10^k-1）/9=0 mod 3^2是9*A000027号=9,18,27,36,45,...
由a（n）的非零项构成的序列集合的并集*A000027号，给出了k的值，其中（10^k-1）/9不是平方自由的，请参见A046412号对于小于1000的素数，序列a（n）的所有项都是素数n的整数倍，除了a（93）=486，其中素数（93）=487。推测：a（3）后面没有0项。
这个猜想很容易证明，因为对于n>3，a（n）只是10模（素数（n））^2的乘法阶-杰佩·斯蒂格·尼尔森2015年12月28日
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链接
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配方奶粉
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例子
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a（2）=9，因为9是（10^k-1）/9=0 mod 3^2的k的最小值。
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MAPLE公司
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0，9，0，seq（数字理论：-顺序（10，ithprime（i）^2），i=4..100）#罗伯特·伊斯雷尔2015年12月30日
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=p=素数（n）；10%p==0&&返回（0）；对于（k=1，p^2，（10^k-1）/9）%p^2==0&&返回（k））；错误（）\\杰佩·斯蒂格·尼尔森2015年12月28日
（PARI）a（n）=p=素数（n）；如果（10%p==0，0，10%p==1，9，znorder（Mod（10，p^2）））\\杰佩·斯蒂格·尼尔森2015年12月28日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A276348型
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| a（n）=最小的数字k，使得k*n是一个1后面跟0的字符串的数字。 |
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4
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10, 5, 370, 25, 2, 185, 158730, 125, 123456790, 1, 10, 925, 85470, 79365, 74, 625, 653594771241830, 61728395, 58479532163742690, 5, 52910, 5, 483091787439613526570, 4625, 4, 42735, 41152263374485596707818930, 396825, 383141762452107279693486590, 37
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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对于所有n，a（n）>0。
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参考文献
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L.Pick，Dirichletovyšuplícky。Pokroky matematiky、fyziky和astronomie；2 (2016), 106-118. （捷克语：Dirichlet鸽子洞原理）
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链接
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配方奶粉
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设n=2^b*5^c*m，其中GCD（m，10）=1，q=A084680号（9米）。
如果b=c=0，则d=1，否则d=max（b，c）。
则a（n）=2^（d-a）*5^（d-b）*（10^q-1）/（9*m）。（结束）
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例子
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MAPLE公司
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f： =程序（n）局部b、c、d、m、q；
b： =padic:-ordp（n，2）；c： =padic:-ordp（n，5）；如果b+c=0，则d：=1，否则d：=最大（b，c）fi；m： =n/2^b/5^c；q： =数量理论：-顺序（10，9*m）；
2（d-b）*5（d-c）*（10^q-1）/（9*m）
结束进程：
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数学
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表[k=1；While[！If[Length@#==2，Flatten@Map[Union，#]=={1，0}，False]&@Split@IntegerDigits[k n]，k++]；k、 {n，8}](*迈克尔·德弗利格，2016年8月30日*）
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黄体脂酮素
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（岩浆）a:=10；S： =[a]；对于[2..6]中的n，做k：=0；标志：=true；while标志do k+：=1；如果[k*n]子集[1..10000中的n:n | Seqint（Setseq（Set（Sort（Intseq（n））））eq 10和Seqint；a： =k；标志：=false；结束条件：；结束while；结束；S；
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交叉参考
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关键词
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非n,基础
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作者
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状态
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经核准的
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A216415型
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| a（n）=最小正m，如2n-1|10^m-1，或0，如果不存在这样的m。 |
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+10
2
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1, 1, 0, 6, 1, 2, 6, 0, 16, 18, 6, 22, 0, 3, 28, 15, 2, 0, 3, 6, 5, 21, 0, 46, 42, 16, 13, 0, 18, 58, 60, 6, 0, 33, 22, 35, 8, 0, 6, 13, 9, 41, 0, 28, 44, 6, 15, 0, 96, 2, 4, 34, 0, 53, 108, 3, 112, 0, 6, 48, 22, 5, 0, 42, 21, 130, 18, 0, 8, 46, 46, 6, 0, 42, 148, 75, 16, 0, 78, 13, 66, 81, 0, 166, 78, 18, 43, 0, 58, 178, 180, 60, 0, 16, 6, 95, 192, 0, 98, 99
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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a（n）如果是有限的，则给出10 mod（2n-1）的乘法阶；如果没有定义，则给出0。
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链接
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黄体脂酮素
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（PARI）用于（i=0200，i++；如果（i%5==0，打印1（0“，”），打印1\\V.拉曼2012年11月22日
（PARI）对于（i=0200，i++；m=0；对于（x=1，i，if（（10^x-1））%i==0，m=x；断裂）；打印1（m“，”）\\V.拉曼2012年11月22日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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A226477号
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| 自然数表（按行读取），其倒数只有长度k的周期小数（升序）。 |
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+10
2
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1, 3, 9, 11, 33, 99, 27, 37, 111, 333, 999, 101, 303, 909, 1111, 3333, 9999, 41, 123, 271, 369, 813, 2439, 11111, 33333, 99999, 7, 13, 21, 39, 63, 77, 91, 117, 143, 189, 231, 259, 273, 297, 351, 407, 429, 481, 693, 777, 819, 1001, 1221, 1287, 1443, 2079, 2331, 2457, 2849, 3003, 3367, 3663, 3861, 4329, 5291, 6993, 8547, 9009, 10101, 10989, 12987, 15873, 25641, 27027, 30303, 37037, 47619, 76923, 90909, 111111, 142857, 333333, 999999
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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第k行总是以10^k-1=99..99（k乘以9）结束。
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链接
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例子
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1, 3, 9;
11, 33, 99;
27, 37, 111, 333, 999;
等。
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MAPLE公司
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a： =[1,3,9]：S:={1,3,9}：对于从2到6的k do T:=numtheory[除数]（10^k-1）：a:=[op（a），op（T减去S）]：S==S联合T；od:a；
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黄体脂酮素
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（PARI）行（n）=my（v=除数（10^n-1））；选择（x->（znorder（Mod（10，x））==n），v）\\宋佳宁2021年6月15日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A018282年,A018766号,A027894号,A027893号,A027892号,A027891号,A027890型,A027889美元,A027895号,A027896号,A027897号,A109933号,A106305号,A111117号,A111211号,A113116号,A113522号（10^k-1的除数，k=2..18），A059892号,A084680号.
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关键词
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非n,基础,标签,容易的
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作者
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状态
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经核准的
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1, 11, 41, 81, 111, 187, 231, 451, 567, 891, 1111, 1197, 1221, 1539, 1717, 1881, 2329, 2877, 3003, 3591, 3813, 4551, 4773, 5643, 6237, 6327, 7371, 8991, 9399, 9449, 10773, 11111, 11583, 13167, 13651, 15561, 16863, 17589, 23331, 24453, 27371, 39501
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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参考文献
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J.W.L.Glaisher，关于循环小数，Proc。外倾角。Phil.Soc.，3（1878），第185-206页。
D.H.Lehmer，《数论表格指南》。第105号公报，国家研究委员会，华盛顿特区，1941年，第7-12页。
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链接
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配方奶粉
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例子
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11在序列中，因为1+1=2和1/11=0.09 09……带有周期2。
41在序列中是因为4+1=5和1/41=0.02439 02439。。。周期为5。
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MAPLE公司
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其中（numtheory）：nn:=2343:T:=数组（1..nn）：U:=数组（1..nn）：X:=数组（1..nn）：Y:=数组（1..nn）：k:=1：对于从2到999999的n，do:对于从1到55的p，而（irem（10^p，n）<>1或gcd（n，10）<>1）do:od:如果irem（10^p，n）=1，gcd（n，10）=1，则T[k]：=n:U[k]：=p:k+1：否则fi:od：对于从1到nn的n do:p1:=T[n]：l:=长度（p1）：n0:=p1:s:s:=0：对于从1到l的m do:q:=n0:u:=irem（q，10）：v:=iquo（q，10.）：n0:=v:s:=s+u:od:X[n]：=s:od:对于从1至nn的n do:如果X[n]=u[n]，则打印f（`%d，`，T[n]）：否则打印fi:od:
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交叉参考
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关键词
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非n,基础
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作者
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状态
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经核准的
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A335012型
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| 当第一个n项为1，11，111，1111。。。除以n。 |
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+10
0
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1, 1, 3, 2, 1, 3, 6, 3, 9, 1, 2, 4, 6, 6, 3, 4, 16, 9, 18, 2, 6, 2, 22, 5, 2, 6, 27, 7, 28, 3, 15, 5, 6, 16, 6, 10, 3, 18, 6, 3, 5, 6, 21, 3, 9, 22, 46, 6, 42, 2, 48, 7, 13, 27, 2, 8, 18, 28, 58, 4, 60, 15, 18, 6, 6, 6, 33, 17, 66, 6, 35, 11, 8, 3, 4, 19, 6, 6, 13, 4, 81
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,3
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评论
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a（n）=n当且仅当n是3的幂。
猜想：a（n）=n-1当且仅当n是长周期素数(A006883号)也就是说，n是质数，1/n的十进制展开式具有周期n-1。
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链接
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例子
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a（4）=2，因为当1，11，111，1111除以4时，余数是1，3，3，2个不同的数字。
a（6）=3，因为当1、11、111、1111、11111、111111除以6时，余数是1、5、3、1、5和3，三个不同的数字。
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MAPLE公司
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with（ListTools）：a:=proc（n）return add（10^i，i=0..n-1）end proc:r:=proc（n）return seq（`mod`（a（i），n），i=1。。n） 结束进程：seq（nops（使唯一（[r（n）]）），n=1。。243);
#更简单：
f： =n->nops（{seq（（10^i-1）/9）mod n，i=1..n）}）：
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数学
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表[Length@Union@Array[Mod[（10^#-1）/9，n]&，n]，{n，81}](*迈克尔·德弗利格2020年6月28日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=#集合（向量（n，k，（10^k-1）/9）%n）\\米歇尔·马库斯2020年6月15日
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交叉参考
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关键词
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作者
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