A248927-OEIS公司

A248927型

行读取的三角形：T（n，k）是函数的拉格朗日（合成）反演系数，根据倒数n>=1，k=1的泰勒级数展开。。A000041号（n-1）。

1, 1, 2, 1, 6, 9, 1, 24, 72, 12, 16, 1, 120, 600, 300, 200, 50, 25, 1, 720, 5400, 5400, 2400, 450, 1800, 450, 60, 90, 36, 1, 5040, 52920, 88200, 29400, 22050, 44100, 7350, 4410, 2940, 4410, 882, 245, 147, 49, 1, 40320, 564480, 1411200, 376320, 705600, 940800

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,3

系数按倒序排列(A228100型). 这与阿布拉莫维茨和斯特根的命令相反(A036036级).

函数的拉格朗日（合成）反演系数，根据其移位倒数的泰勒级数展开。补充A134264号用于形式幂级数。对A141618号具有行总和A000272号.

给定一个关于t=0且f（0）=0且df（0）/dt不为0的可逆函数f（t），形式h（t）=t/f（t），并将h_n=（n'）表示为t^n/n的系数！单位为小时（t）。然后，f（t），g（t）作为形式化的泰勒级数，或例如f.的合成逆被赋予前几个阶

g（t）/t=[1（0'）]

+[1（0'）（1'）]*t

+[2（0'）（1'）^2+1（0'”）^2（2'）]*t^2/2！

+[6（0'）（1'）^3+9（0'”）^2（1'）（2'）+1（0'，^3（3'）]*t^3/3！

+ [24 (0') (1')^4 + 72 (0')^2 (1')^2 (2') + (0')^3 [12 (2')^2

+16（1'）（3'）]+（0'）^4（4'）]*t^4/4！

+[120（0'）（1'）^5+600（0'”）^2（1'）^3（2'）+（0'[720（0'）（1'）^6+（0'”）^2（1'）^4（2'）+^6（6'）]*t^6/6！+。。。

..........

发件人汤姆·科普兰2014年10月28日：（开始）

将g（t）表示为泰勒级数或形式，例如在不定h_n中生成A055302号，它枚举具有n个节点和k个叶的标记根树的数量，具有行和A000169号.

在与t^n/n相关联的上面方括号中的第n个分区多项式上，使用（1/n^2）d/d（1'）=（1/n*2）d/d（h_1）运算！生成第（n-1）个分区多项式。

将这里的第n个分划多项式乘以（n+1），得到A248120型.（结束）

这些也是与维基百科中提出的拉格朗日反演定理有关的级数展开中的系数，其中关于原点的拉格朗日反演公式是一个特例。参见Copeland链接-汤姆·科普兰2016年11月1日

链接

安德鲁·霍罗伊德，n=1..2087的n，a（n）表（第1..20行）

M.Abramowitz和I.A.Stegun编辑。，数学函数手册，国家标准局，应用数学。系列55，第十次印刷，1972年[替代扫描副本]。

汤姆·科普兰，拉格朗日反演定理和拉格朗夫反演公式

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对于j>1，有P（j，m；a…）=j！/h0到h（j-1）的置换，其中h0重复（j-m）次；h1，重复a1次；以此类推a_1+a_2+…+a（j-1）=米。

此外，如果a_1+2*a_2+…+（j-1）*a（j-1=j-1），则这些排列的每个不同组合都与j-1的分区相关。

对于j-1的第k个分区，T（j，k）是[（j-1）！/j]*P（j，m；a…）/[（2！）。隔墙从下到上的顺序与阿布拉莫维茨和斯特根（第831页）的顺序相反。

例如，从上面的g（t）开始，t（6,3）=[5！/6][6！/（3！*2！）]/。

如果删除了初始阶乘和最终分母，并且分区按顺序颠倒，A134264号得到了Narayana数的精化。

对于f（t）=t*e^（-t），g（t）=t（t），树函数，即A000169号，且h（t）=t/f（t）=e^t，因此在这种情况下，h_n=1表示所有n；因此A248927型是A000169号（n） /n=n^（n-2）=A000272号（n） ●●●●。

设W（x）=1/（df（x）/dx）=1/{d[x/h（x。然后由（1/n）（W（x）*d/dx）^n x给出上述分块多项式，在x=0时计算，f（t）的组成逆是g（t）=exp（t*W（x。此外，dg（t）/dt=W（g（t））。请参见A145271号.

exp[x*PS（.，t）]=exp[t*g（x）]=exp[x*W（y）d/dy]exp（t*y）eval。在y=0时，由R PS（n，t）=PS（n+1，t）和L PS（n、t）=n*PS（n-1，t）定义的升高（生成）和降低（湮没）算子是R=t*W（d/dt）和L=。A133314号和A049019号).

然后[dPS（n，z）/dz]/n eval。z=0是该条目的行划分多项式。（参见。A139605型,A145271号，并与第13页上种植的树木相关的数学森林链接。）

如中所述A248120型和A134264号，该条目由Hadamard乘积按分区给出A134264号和A036038级例如，（1,4,2,6,1）*（1,4,12,24）=（1,16,12,72,24）-汤姆·科普兰2016年11月25日

T（n，k）=（n-1）！）^2/（n-j）*产品{i>=1}s_i*（i！）^s_i），其中（1*s_1+2*s_2+…=n-1）是n-1的第k分区，j=s_1+s_2。。。是部件的数量-安德鲁·霍罗伊德2022年2月2日

例子

三角形T（n，k）开始于：

2, 1;

6, 9, 1;

24, 72, 12, 16, 1;

120, 600, 300, 200, 50, 25, 1;

720, 5400, 5400, 2400, 450, 1800, 450, 60, 90, 36, 1;

...

对于f（t）=e^t-1，h（t）=t/f（t对数（1+t）。

黄体脂酮素

（PARI）

C（v）={my（n=vecsum（v），S=Set（v））；n！^2/（（n-#v+1）！*prod（i=1，#S，my（x=S[i]，C=#select（y->y==x，v）；x！^C*C！）}

行（n）=[C（Vec（p））|p<-Vecrev（分区（n-1））]

{对于（n=1,7，打印（行（n））}\\安德鲁·霍罗伊德2022年2月2日

交叉参考

囊性纤维变性。A145271号

囊性纤维变性。A134264号和A248120型，拉格朗日反演的“缩放”版本。

囊性纤维变性。A036038型.

上下文中的序列：A160581号 A021465号 A139526号*A176013号 A263255型 A145663号

相邻序列：A248924型 A248925型 A248926型*A248928型 A248929型 A248930型

关键词

非n,标签

作者

汤姆·科普兰2014年10月16日

扩展

编辑的名称和a（31）及以上术语安德鲁·霍罗伊德，2022年2月2日

状态

经核准的