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A195204号 |
| 二项式多项式序列的系数三角形。 |
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4
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2, 2, 4, 6, 12, 8, 26, 60, 48, 16, 150, 380, 360, 160, 32, 1082, 2940, 3120, 1680, 480, 64, 9366, 26908, 31080, 19040, 6720, 1344, 128, 94586, 284508, 351344, 236880, 96320, 24192, 3584, 256
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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通过递归定义多项式序列P_n(x)
P_(n+1)(x)=x*(P_n(x)+P_n。
前几个多项式是
P_1(x)=2*x,P_2(x)=2*x*(2*x+1),
P_3(x)=2*x*(4*x^2+6*x+3),P_4(x)=2*x*。
下表显示了这些多项式(不包括P_0(x))以x的升幂表示的系数。特别是,如果我们用x^[n]表示P_n(x),那么我们就有了二项式展开式的模拟
(x+y)^[n]=和{k=0..n}二项式(n,k)*x^[n-k]*y^[k]。
在x^[n]和单项式x^n之间还有进一步的类比。
1) Dobinski型配方奶粉
exp(-x)*Sum_{k>=0}(-k)^[n]*x^k/k!=(-1)^n*贝尔(n,2*x),
其中贝尔(或指数)多项式定义为
贝尔(n,x):=和{k=1..n}斯特林2(n,k)*x^k。
等价地,与多项式序列{x^[n]}和{x^n}相关联的连接常数与与多项式序列}Bell(n,2*x)}和}Bell。例如,x^[4]的系数列表为[26,60,48,16],计算结果如下
铃(4,2*x)=-26*铃(1,x)+60*铃(2,x)-48*铃(3,x)+16*铃。
2) 伯努利求和公式的模拟
伯努利关于前n个正整数的p次幂和的公式是
和{k=1..n}k^p=(1/(p+1))*和{k=0..p}(-1)^k*二项式(p+1,k)*B_k*n^(p+1-k),其中B_k=[1,-1/2,1/6,0,-1/30,…]是伯努利数序列。
这概括为
2*和{k=1..n}k^[p]=1/(p+1)*和{k=0..p}(-1)^k*二项式(p+1,k)*B_k*n^[p+1-k]。
多项式P_n(x)属于二项式类型的多项式序列P-n(x,t)族,依赖于参数t,由P_(n+1)(x,t)=x*(P_n。当t=0时,我们有P_n(x,0)=x^n,单项式多项式。本表是t=1的情况。情况t=-2为(最多符号)A079641号。另请参阅A195205型(情况t=2)。
三角形T(n,k)(1<=k<=n),按行读取,由(0,1,2,2,4,3,6,4,8,5,10,…)DELTA(2,0,2,0A084938号. -菲利普·德尔汉姆2011年12月22日
T(n,k)是索引=1的[n]上的二元关系R的个数,其中正好包含k个强连接分量(SCC),并且满足以下条件:如果(x,y)在R中,则x和y在相同的SCC中-杰弗里·克雷策2024年1月17日
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链接
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配方奶粉
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例如:f(x,z):=(exp(z)/(2-exp(z)))^x=Sum_{n>=0}P_n(x)*z^n/n!
=1+2*x*z+(2*x+4*x^2)*z^2/2!+(6*x+12*x^2+8*x^3)*z^3/3!+。。。。
生成函数F(x,z)满足偏微分方程d/dz
P_(n+1)(x)=x*(P_n(x)+P_n。
在接下来的内容中,我们更改了符号,并将P_n(x)写成x^[n]。
与阶乘多项式的关系:
对于n>=1,
x^[n]=Sum_{k=1..n}(-1)^(n-k)*Stirling2(n,k)*2^k*x^(k),
及其逆公式
2^n*x^(n)=和{k=1..n}|Stirling1(n,k)|*x^[k],
其中x^(n)表示上升阶乘x*(x+1)**(x+n-1)。
与贝尔多项式的关系:
交替的第n行条目(-1)^(n+k)*T(n,k)是将多项式Bell(n,2*x)表示为Bell(k,x),1<=k<=n的线性组合的连接系数。
三角洲运营商:
行多项式序列为二项式。如果D表示导数算子D/dx,则此二项式多项式序列的δ算子D*由下式给出
D*=D/2-log(cosh(D/2))=log(2*exp(D)/(exp(D+1))
=(1/2)-(1/2)^2/2!+2*(D/2)^4/4!-16*(D/2)^6/6!+272*(D/2)^8/8!-。。。,
D*是行多项式的降低运算符
(D*)x^[n]=n*x^[n-1]。
相关伯努利多项式:
与多项式x^[n]相关联的广义伯努利多项式GB(n,x)可以定义为
GB(n,x):=((D*)/(exp(D)-1))x^[n]。
它们满足差分方程
GB(n,x+1)-GB(n,x)=n*x^[n-1]
并进行扩展
GB(n,x)=-(1/2)*n*x^[n-1]+(1/2)*求和{k=0..n}二项式(n,k)*B_k*x^[n-k],其中B_k表示普通伯努利数。
前几个多项式是
GB(0,x)=1/2,GB(1,x)=x-3/4,GB(2,x)=2*x^2-2*x+1/12,
GB(3,x)=4*x^3-3*x^2-x,GB(4,x)=8*x^4-4*x*^2-4*x-1/60。
可以看出
1/(n+1)*(d/dx)(GB(n+1,x))=和{i=0..n}1/(i+1)*和{k=0..i}(-1)^k*二项式(i,k)*(x+k)^[n]。
这推广了伯努利多项式的一个著名公式。
与其他序列的关系:
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例子
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三角形开始
n \ k |。。。。1......2......3......4......5......6......7
===================================================
..1|....2
..2|....2......4
..3|....6.....12......8
..4|...26.....60.....48.....16
..5|..150....380....360....160.....32
..6|.1082...2940...3120...1680....480.....64
..7|.9366..26908..31080..19040...6720...1344....128
...
与第4行上升阶乘的关系:
x^[4]=16*x^4+48*x^3+60*x^2+26*x=2^4*x*(x+1)*(x+2)*(x+3)-6*2^3*x*A008277号.
第4行的广义Dobinski公式:
exp(-x)*Sum_{k>=1}(-k)^[4]*x^k/k!=exp(-x)*Sum_{k>=1}(16*k^4-48*k^3+60*k^2-26*k)*x^k/k!=16*x^4+48*x^3+28*x^2+2*x=Bell(4,2*x)。
广义伯努利求和公式示例:
2*(1^[2]+2^[2]+…+n^[2])=1/3*(B_0*n^[3]-3*B_1*n^[2]+3*B_2*n^[1])=
n*(n+1)*(4*n+5)/3,其中B_0=1,B_1=-1/2,B_2=1/6是伯努利数。
三角形(0,1,2,2,4,3,6,…)三角形(2,0,2,0,2,…)开始:
1;
0, 2;
0, 2, 4;
0, 6, 12, 8;
0, 26, 60, 48, 16;
0, 150, 380, 360, 160, 32;
0, 1082, 2940, 3120, 1680, 480, 64;
0, 9366, 26908, 31080, 19040, 6720, 1344, 128;
…(结束)
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MAPLE公司
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#将(1,0,0,…)添加为列0。
BellMatrix(n->(-1)^(n+1)*polylog(-n,2),10)#彼得·卢什尼2016年1月29日
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数学
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BellMatrix[f_Function,len_]:=使用[{t=数组[f,len,0]},表[BellY[n,k,t],{n,0,len-1},{k,0,ren-1}]];
行=12;
M=BellMatrix[(-1)^(#+1)PolyLog[-#,2]&,rows];
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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