A014307-OEIS公司

A014307号

扩展例如f.sqrt（exp（x）/（2-exp（x）））。

1, 1, 2, 7, 35, 226, 1787, 16717, 180560, 2211181, 30273047, 458186752, 7596317885, 136907048461, 2665084902482, 55726440112987, 1245661569161135, 29642264728189066, 748158516941653967, 19962900431638852297, 561472467839585937560, 16602088291822017588121 (列表；图表；参考；听；历史；文本；内部格式)

	偏移	`0.3`
	评论	`这个序列的Hankel变换是A121835号. -菲利普·德尔汉姆2006年8月31日` `a（n）是与权重rho（j+1/2）=2^（j+1/2）/（Pi二项式（2j+1，j+1/2））相关的离散测度的阶矩（n-1），具有j积分。所以我们有一个（n）=Sum_{j>=0}（j+1/2）^（n-1）rho（j+1/3）-格鲁·罗兰，2009年1月5日` `设f（n）=Sum_{j>=1}j^n2^j/二项式（2j，j）=r_nPi/2+s_n；序列给出r{n-1}。例如，f（0）到f（5）是[1+（1/2）Pi，3+Pi，11+（7/2）Pi.，55+（35/2）Pi:355+113Pi:2807+（1787/2）Pi]。有关s_n，请参见A180875号. -N.J.A.斯隆，根据的建议赫伯康涅狄格2011年2月8日` `Ren对此序列给出了七种组合解释-彼得·巴拉2013年2月1日` `[n][起重机，2015年]左右布置数量-N.J.A.斯隆2014年11月21日` `在Dyson等人（2010-2011，2013）中，我们得到S_n（2）=Sum_{j>=1}j^n2^j/二项式（2j，j）=A014307号（n+1）Pi/2+A180875号（n）对于n>=1（并且S_0（2）未被定义）。该系列最初由Lehmer（1985）定义-Petros Hadjicostas公司2020年5月14日`
	链接	`Seiichi Manyama，n=0..424的n，a（n）表（文森佐·利班迪的术语0..100）` `保罗·巴里，广义斯特林数、指数Riordan阵列和Toda链方程《整数序列杂志》，17（2014），#14.2.3。` `哈里·克莱恩，左右排列、设置分区和模式避免《澳大利亚组合数学杂志》，61（1）（2015），57-72。` `D.多米尼克，嵌套导数：计算反函数级数展开的一种简单方法，arXiv:math/0501052[math.CA]，2005年。` `F.J.Dyson、N.E.Frankel和M.L.Glasser，Lehmer的趣味系列，arXiv:1009.4274[math-ph]，2010-2011年。（见第14页的表四。）` `F.J.Dyson、N.E.Frankel和M.L.Glasser，莱默的有趣系列，美国。数学。月刊，120（2013），116-130。（见表2。）` `M.Klazar，有根的梧桐树的12个计数《欧洲组合数学杂志》18（1997），195-210；附录，18（1997），739-740。` `D.H.Lehmer，涉及中心二项式系数的有趣序列，美国。数学。月刊，92（7）（1985），449-457。` `冯琦和马克·丹尼尔·沃德，Wilf函数的Maclaurin级数展开式中系数的闭式公式和性质，arXiv:2110.08576[math.CO]，2021。` `问：任，有根平面树的有序划分与绘制arXiv:1301.6327[math.CO]，2013-2014年。` `安德鲁·威尔逊，环面链同调与nabla算子，arXiv预印本arXiv:1606.00764[cond-mat.str-el]，2016年。`
	配方奶粉	`a（n+1）=1+和{j=1..n}（-1+二项式（n+1，j））a（j）-乔恩·佩里，2005年4月25日，更正人瓦茨拉夫·科特索维奇2014年1月7日` `这个序列的Hankel变换是A121835号. -菲利普·德尔汉姆2006年8月31日` `例如，A（x）满足A（x）=1+积分{t=0..x}（A（t）^3exp（-t））dt-保罗·D·汉纳2008年1月24日[编辑：Petros Hadjicostas公司2020年5月14日]` `发件人弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年5月10日：（开始）` `a（n）=和{m=1..n}（和{k=m.n}斯特林2（n，k）k二项式（k-1，m-1））（1/m）二项式。` `例如，B（x）=积分{t=0..x}A（t）dt满足B'（x）=tan（B（x。（结束）` `发件人彼得·巴拉，2011年8月25日：（开始）` `它源自弗拉基米尔·克鲁奇宁的公式高于此` `和{n>=1}a（n-1）x^n/n！=级数反转（积分{t=0..x}1/（秒（t）+tan（t））dt）=级数反转（整数{t=0.0.x}（秒2x^3/3！+7x^4/4！+35x^5/5！+226x^6/6！+。。。。` `设f（x）=秒（x）+tan（x）。通过递归D^0[f]（x）=1和D^（n+1）[f]（x）=（D/dx）（f（x）D^n[f]（x））定义嵌套导数D^n[f]（x），其中n>=0（参见A145271号关于D^n[f]（x）展开式中的系数（f（x）的幂）。然后根据[Dominici，定理4.1]，我们得到a（n）=D^n[f]（0）。与进行比较A190392号.` `（结束）` `G.f.：1/G（0），其中G（k）=1-x（2k+1）/（1-x（k+1）/G（k+1；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年3月23日` `a（n）~sqrt（2）n^n/（exp（n）（log（2））^（n+1/2））-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年1月7日` `G.f.：R（0）/（1-x），其中R（k）=1-x^2（k+1）（2k+1）/；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2014年1月30日` `对于n>0，a（0）=1和a（n）=a（n-1）+和{k=1..n-1}二项式（n-1，k-1）a（k）-Seiichi Manyama先生2019年10月20日` `a（n）=Sum_{k=0..n}（-1）^（n-k）Stirling2（n，k）（2k-1）！！（见齐/病房）-彼得·卢什尼2021年10月19日` `a（0）=1；a（n）=和{k=1..n}（-1）^k（k/n-2）二项式（n，k）*a（n-k）-Seiichi Manyama先生2023年11月15日`
	MAPLE公司	`seq（系数（级数（1/sqrt（2exp（-x）-1），x，n+1）n！，x、 n），n=0..20）#G.C.格鲁贝尔2019年10月20日` `a:=n->加（（-1）^（n-k）斯特林2（n，k）双阶乘（2*k-1），k=0..n）：` `seq（a（n），n=0..21）#彼得·卢什尼2021年10月19日`
	数学	`a[n_]：=总和[Sum[StirlingS2[n，k]k二项式[k-1，m-1]，{k，m，n}]/m二项式[2m-2，m-1]（-1）^（m-1）/2^（m-1），{m，1，n}]；a[0]=1；表[a[n]，{n，0，19}](Jean-François Alcover公司2012年9月10日之后弗拉基米尔·克鲁奇宁)` `系数列表[Sqrt[E^x/（2-E^x）]，{x，0，20}]，x]范围[0，20]！(瓦茨拉夫·科特索维奇2014年1月7日）` `A014307号=常量数组[0，20]；A014307号[[1]]=1; 做[A014307号[[n+1]]=1+和[（-1+二项式[n+1，j]）A014307号[[j]]，{j，1，n}]，{n，1，19}]；压扁[{1，A014307号}] (瓦茨拉夫·科特索维奇之后乔恩·佩里2014年1月7日*）`
	黄体脂酮素	`（PARI）{a（n）=n！polceoff（（exp（x+xO（x^n））/（2-exp（x+x0（x^n）））^（1/2），n）}\\保罗·D·汉纳2008年1月24日` `（PARI）/作为积分方程的解：/{a（n）=局部（a=1+x+xO（x^n））；对于（i=0，n，a=1+形式（a^3exp（-x+xO（xn）））；n！polcoeff（a，n）}\\保罗·D·汉纳，2008年1月24日` `（最大值）` `a（n）：=总和（总和（stirling2（n，k）k二项式（k-1，m-1），k，m，n）/（m）二项式/弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年5月10日/` `（岩浆）m:=20；R<x>：=PowerSeriesRing（基本原理（），m）；b： =系数（R！（1/Sqrt（2Exp（-x）-1））；[阶乘（n-1）b[n]：[1..m]]中的n//G.C.格鲁贝尔2019年6月30日` `（弧垂）m=20；T=泰勒（1/sqrt（2exp（-x）-1），x，0，m）；[（0..m）中n的阶乘（n）T系数（x，n）]#G.C.格鲁贝尔2019年6月30日` `（GAP）级联（[1]，List（[1..20]，n->Sum（[1..n]，k->Sum（[k..n]，m->Stirling2（n，m）阶乘（m）二项式（m-1，k-1）二项式（2k-2，k-1）（-2）^（1-k）/k）））#G.C.格鲁贝尔2019年10月20日`
	交叉参考	`囊性纤维变性。A000110号,A180875号.` `变体：A136727号,A136728号,A136729号.A190392号.` `三角形的行和A156920号（行总和（n）=a（n+1））-约翰内斯·梅耶尔2009年2月20日` `上下文中的序列：A317421型 A292182号 A185054号A000154号 A003713号 A058129号` `相邻序列：A014304号 A014305号 A014306年A014308号 A014309号 A014310号`
	关键词	`非n`
	作者	`N.J.A.斯隆`
	扩展	`姓名编辑人Petros Hadjicostas公司2020年5月14日`
	状态	`经核准的`