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| A193842号 |
| 三角数组：多项式序列（（x+1）^n:n>=0）被多项式序列（x+2）^n:n>=0。（裂变的定义见注释。） |
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27
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1, 1, 4, 1, 7, 13, 1, 10, 34, 40, 1, 13, 64, 142, 121, 1, 16, 103, 334, 547, 364, 1, 19, 151, 643, 1549, 2005, 1093, 1, 22, 208, 1096, 3478, 6652, 7108, 3280, 1, 25, 274, 1720, 6766, 17086, 27064, 24604, 9841, 1, 28, 349, 2542, 11926, 37384, 78322, 105796
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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假设p=p（n）*x^n+p（n-1p（1）*x+p（0）是多项式，Q是多项式序列：
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q（k，x）=t（k，0）*x^k+tt（k，k-1）*x+t（k、k），
...
对于k=0，1，2。。。p的Q下降步长是以下公式给出的多项式
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D（p）=p（n）*q（n-1，x）+p（n-1）*qp（1）*q（0。（注意，p（0）没有出现。刚定义的“Q-downstep”与为不同目的定义的“Q-downsteep”略有不同A193649号.)
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现在假设P=（P（n，x）：n>=0）和Q=（Q（n，x）：n>=0）是多项式序列，其中n表示次数。这里引入了P除以Q的裂变，用P^^Q表示，作为由W（0，x）=1和W（n，x）=D（P（n+1，x））定义的多项式的序列W=（W（n（x）：n>=0）。
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严格地说，^^是多项式序列的运算。然而，如果P和Q被视为数值三角形（多项式系数），那么^^可以被视为对数值三角形的操作。在这种情况下，对于n>0，P^Q的行n由矩阵乘积P（n+1）*QQ（n）给出，其中P（n+1）=（P（n+1，n+1），P（n+1,n）。。。，p（n+1，2），p（n+1,1））和QQ（n）是由以下公式给出的（n+1）by（n+1
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q（n，0）。。q（n，1）。。。。。。。。。。。。。q（n，n-1）。。。。q（n，n）
0 ....... q（n-1,0）。。。。。。。。。。。q（n-1，n-2）。。。q（n-1，n-1）
0 ....... 0…………..q（n-2，n-3）。。q（n-2，n-2）
...
0 ....... 0…………q（1,0）。。。。。。q（1,1）
0 ....... 0 ................. 0 ........... q（0,0）。
这里，多项式q（k，x）取为
q（k，0）*x^k+q（k、1）x^（k-1）+…+q（k，k）*x+q（k、k）；
即，使用“q”代替“t”。
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示例：设p（n，x）=（x+1）^n和q（n，x）=（x+2）^n。然后
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根据w的定义，w（0，x）=1，
w（1，x）=D（p（2，x））=1*（x+2）+2*1=x+4，
w（2，x）=D（p（3，x））=1*（x^2+4*x+4）+3*（x+2）+3*1=x^2+7*x+13，
w（3，x）=D（p（4，x））=1*（x^3+6*x^2+12*x+8）+4*（x*2+4x+4）+6*（x+2）+4*1=x^3+10*x^2+34*x+40。
...
根据序列P^^Q中的前4个多项式，当P、Q和P^^Q被视为三角形时，我们可以写出P^^Q的前4行：
1
1...4
1…7…13
1...10...34...40
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在下面的例子中，r（P^^Q）是P^^Q的镜像，通过反转P^^Q的行获得。让u表示多项式x^n+x^（n-1）+…+x+1。
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..P……..Q……..P ^^ Q……..r（P ^^ Q）
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链接
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克拉克·金伯利，融合、裂变和因子，光纤。Q.，52（3）（2014），195-202。
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配方奶粉
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T（n，k）=Sum_{i=0..k}3^（k-i）*二项式（n-i，k-i）。
外径：1/（（1-x*t）*（1-（1+3*x）*t））=1+（1+4*x）*t+（1+7*x+13*x^2）*t^2+。。。。
第n行多项式是R（n，x）=（1/（2*x+1））*（（3*x+1”）^（n+1）-x^（n+1））。（结束）
T（n，k）=T（n-1，k）+4*T（n-1,k-1）-T（n-2，k-1）-3*T-菲利普·德尔汉姆2014年1月17日
T（n，k）=3^k*C（n，k）*hyp2F1（1，-k，-n，1/3），有无附加项-0^（n-k）/2取决于所用超几何函数的精确定义。比较DLMF参考中的公式15.2.5和15.2.6-彼得·卢什尼2014年7月23日
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例子
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前六行，对于0<=k<=n和0<=n<=5：
1
1...4
1…7…13
1...10...34....40
1...13...64....142...121
1...16...103...334...547...364
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MAPLE公司
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裂变：=proc（p，q，n）局部d，k；
p（n+1，0）*q（n，x）+加法（coff（p（n+1,x），x^k）*q（n-k，x），k=1..n）；
seq（系数（%，x，n-k），k=0..n）结束：
A193842号_行：=n->裂变（（n，x）->（x+1）^n，（n，x）->（x+2）^n）；
#或者：
p:=（n，x）->加（x^k*（1+3*x）^（n-k），k=0..n）：对于从0到7的n do[n]，多项式工具：-系数列表（p（n，x），x）od#彼得·卢什尼，2017年6月18日
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数学
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（*第一个程序*）
z=10；
p[n，x_]：=（x+1）^n；
q[n，x_]：=（x+2）^n
p1[n_，k_]：=系数[p[n，x]，x^k]；
p1[n，0]：=p[n，x]/。x->0；
d[n，x_]：=和[p1[n，k]*q[n-1-k，x]，{k，0，n-1}]
h[n_]：=系数列表[d[n，x]，{x}]
TableForm[表格[反向[h[n]]，{n，0，z}]]
扁平[表[h[n]，{n，-1，z}]]
（*第二个节目*）
表[系列系数[（（x+3）^（n+1）-1）/（x+2），｛x，0，n-k｝]，｛n，0，10｝，｛k，0，n｝]//压扁(*G.C.格鲁贝尔2020年2月18日*）
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）
从mpmath导入mp，hyp2f1
mp.dps=100；mp.pretty=真
定义T（n，k）：
返回3^k*二项式（n，k）*hyp2f1（1，-k，-n，1/3）-0^（n-k）//2
对于范围（7）中的n：
打印（[int（T（n，k））for k in（0..n）]）#彼得·卢什尼2014年7月23日
（Sage）#第二个使用“裂变”操作的程序。
def裂变（p，q，n）：
F=p（n+1，0）*q（n，x）+加法（展开（p（n+1,x））.系数（x，k）*q
return[（0..n）中k的展开系数（x，n-k）]
（PARI）T（n，k）=总和（j=0，k，3^（k-j）*二项式（n-j，k-j））\\G.C.格鲁贝尔2020年2月18日
（岩浆）[（&+[3^（k-j）*二项式（n-j，k-j）：j in[0..k]]）：k in[0..n]，n in[0..10]]//G.C.格鲁贝尔2020年2月18日
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交叉参考
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