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| A034807号 |
| Lucas（或Cardan）多项式系数的三角T（n，k）。 |
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53
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2, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 1, 5, 5, 1, 6, 9, 2, 1, 7, 14, 7, 1, 8, 20, 16, 2, 1, 9, 27, 30, 9, 1, 10, 35, 50, 25, 2, 1, 11, 44, 77, 55, 11, 1, 12, 54, 112, 105, 36, 2, 1, 13, 65, 156, 182, 91, 13, 1, 14, 77, 210, 294, 196, 49, 2, 1, 15, 90, 275, 450, 378, 140, 15, 1, 16, 104
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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这些多项式出现在以下设置中。假设G和H是满足G+H=G*H=1/x的幂级数，则G^n+H^n=（1/x^n）*L_n（-x）。
除符号外，当2*cos（nt）按x=2*cos。例如，2*cos（2t）=x^2-2，2*cos（3t）=x ^3-3x，2*cos（4t）=x ^4-4x^2+2-安东尼·罗宾2004年6月2日
以Z_k表示的Z_{nk}膨胀系数的三角形。
T（n，k）=循环C_n（n>1）的k-匹配数。例如：T（6,2）=9，因为六边形与边a、b、c、d、e、f的2-匹配是ac、ad、ae、bd、be、bf、ce、cf和df-Emeric Deutsch公司2004年12月25日
第一个注释的例子是：G=c（x），H=1/（x*c（x）），其中c（x）是o.G.f.加泰罗尼亚数字A000108号：（x*c（x））^n+（1/c（x。
该序列与菱形置换tilings有关。签名版本（请参见A132460号)，形成一个三角形，其中交错的零将每行扩展到n个项，开始为
{2}
{1, 0}
{1, 0, -2}
{1, 0, -3, 0}
{1, 0, -4, 0, 2}
{1, 0, -5, 0, 5, 0}
....
对于n X n个三对角单位极限矩阵G_（n，1）（n>=2）（参见下面的L.E.Jeffery链接），定义如下
G_（n，1）=
(0 1 0 ... 0)
(1 0 1 0 ... 0)
(0 1 0 1 0 ... 0)
...
（0…0 1 0 1）
(0 ... 0 2 0),
有符号表的第n行（即{T（n，k）}，k=0..n）给出了其特征函数的系数：c_n（x）=Sum_{k=0..n}T（n、k）*x^（n-k）=0。例如，设n=3。然后
G_（3,1）=
(0 1 0)
(1 0 1)
(0 2 0),
表的第3行是{1,0，-3,0}。因此c3（x）=x^3-3*x=0。G_（n，1）有n个不同的特征值（c_n（x）=0的解），由w_j=2*cos（（2*j-1）*Pi/（2*n）），j=1..n给出
对于n>0，T（n，k）是既不包含连续整数也不包含1和n的{1,2，…，n}的k-子集的数目。等价地，T（m，k）就是一个圆上n个点集没有邻居的k-子集的数目-何塞·H·尼托·S。2012年1月17日
k个黑色和n-k个白色珠子的项链数量，没有相邻的黑色珠子（卡普兰斯基1943）。Dickson多项式D（n，x，-a）的系数-彼得·巴拉2014年3月9日
连续行的差异会使前一行发生移位。
有关Coxeter根群Cartan矩阵的特征多项式、Chebyshev多项式、分圆多项式和本条目多项式之间的关系，请参见Damianou（第12、20和21页）和Damianoo和Evripidou（第7页）。（结束）
Briggs（1633）的表，右侧有一个额外的列2s，可以用来生成该表。见牛顿参考第69页-汤姆·科普兰2017年6月3日
对于n>3和k>0，T（n，k）等于具有骨架的马尔可夫等价类的个数，该骨架在n个节点上的循环正好具有k个不道德性。参见下文A.Radhakrishnan等人的文章中的定理2.1。
对于n>2奇数且r=floor（n/2）-1，第n行是r-稳定（n，2）-超单形的Ehrhart h*-多项式的系数向量。参见B.Braun和L.Solus在下文中的定理4.14。
（结束）
猜想：如果a（n）=H（a，b，c，d，n）是一个二阶线性递归，常系数定义为a（0）=a，a（1）=b，a（n●●●●-加里·德特利夫斯2023年2月6日
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参考文献
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A.Brousseau，Fibonacci和相关数论表。斐波纳契协会，加利福尼亚州圣何塞，1972年，第148页。
C.D.Godsil，《代数组合数学》，查普曼和霍尔出版社，纽约，1993年。
Thomas Koshy，Fibonacci和Lucas数及其应用。纽约等：John Wiley&Sons，2001年。（第13章“类Pascal三角形”专门讨论了当前的三角形。）
皇家学会牛顿三百周年纪念活动，剑桥大学出版社，1947年。
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链接
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B.Braun和L.Solus，r-稳定超单《组合理论杂志》，A辑157（2018）：349-388。
约瑟夫·杜利特尔、卢卡斯·卡特恩、本杰明·尼尔和弗朗西斯科·桑托斯，大宽度的空单形，arXiv:2103.14925[math.CO]，2021。
E.J.Farrell，匹配多项式简介，J.Combin，《理论B》27（1）（1979），75-86，表2。
I.卡普兰斯基，解决“菜单问题”，公牛。阿默尔。数学。《社会分类》第49卷（1943年）。784-785.
J.Kappraff和G.Adamson，多边形和混沌，第五届Interdispl Symm。国会和执行委员会。2001年7月8日至14日，悉尼-[商业弹出窗口]。
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配方奶粉
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卢卡斯多项式系数：1，-n，n*（n-3）/2-n*（n-4）*（n-5）/3！，n*（n-5）*（n-6）*（n-7）/4！，-n*（n-6）*（n-7）*（n8）*（n-9）/5-赫伯康涅狄格和加里·亚当森2003年5月28日
T（n，k）=T（n-1，k）+T（n-2，k-1），n>1。T（n，0）=1，n>0。T（n，k）=二项式（n-k，k）+二项式（n-k-1，k-1）=n*二项式（n-k-1，k-1）/k，0<=2*k<=n，T（0，0）=2除外-迈克尔·索莫斯1999年4月2日
T（n，k）=（n*（n-1-k）！）/（k！*（n-2*k）！），n> 0，k>=0.-Alexander Elkins（Alexander_Elkins（AT）hotmail.com），2007年6月9日
L_n（x）=（（x+平方码（x^2+4））/2）^n+（-（（x+sqrt（x^2+4））/2））^（-n）。参见金属方式-威廉·克里尔2023年9月1日
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例子
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我见过这些多项式的两个版本：一个版本开始于L_0=2，L_1=1，L_2=1+2*x，L_3=1+3*x，R_4=1+4*x+2*x^2，L_5=1+5*x+5*x^1，L_6=1+6*x+9*x^2+2*x*^3，L_7=1+7*x+14*x^2+7*x^3+27*x^2+30*x^3+9*x^4。。。
另一个版本（可能是更正式的版本）的开头是L_0（x）=2，L_1（x 16*x ^2+20*x ^4+8*x ^6+x ^8，L_9（x）=9*x+30*x ^3+27*x ^5+9*x ^7+x ^9。
三角形开始：
2;
1;
1, 2;
1、3；
1, 4, 2;
1, 5, 5;
1, 6, 9, 2;
1, 7, 14, 7;
1、8、20、16、2；
1, 9, 27, 30, 9;
1, 10, 35, 50, 25, 2;
1, 11, 44, 77, 55, 11;
1, 12, 54, 112, 105, 36, 2;
1, 13, 65, 156, 182, 91, 13;
1, 14, 77, 210, 294, 196, 49, 2;
1, 15, 90, 275, 450, 378, 140, 15;
（结束）
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MAPLE公司
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T： =proc（n，k），如果n=0且k=0，则2 elif k>floor（n/2），则0其他n*二项式（n-k，k）/（n-k）fi结束：对于从0到15的n，do seq（T（n，k），k=0..floor（n/2））od；#以三角形形式生成序列#Emeric Deutsch公司2004年12月25日
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数学
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t[0,0]=2；t[n_，k_]：=二项式[n-k，k]+二项式[n-k-1，k-1]；表[t[n，k]，{n，0，16}，{k，0，Floor[n/2]}]//扁平(*Jean-François Alcover公司2013年12月30日*）
系数列表[表[x^（n/2）LucasL[n，1/Sqrt[x]]，{n，0，15}]，x]//展平(*埃里克·W·韦斯坦2017年4月6日*）
表[Select[Reverse[CoefficientList[LucasL[n，x]，x]]，0<#&]，{n，0，16}]//展平(*罗伯特·威尔逊v2017年5月3日*）
系数列表[FunctionExpand@表[2（-x）^（n/2）Cos[n ArcSec[2 Sqrt[-x]]]，{n，0，15}]，x]//展平(*埃里克·韦斯特因2018年4月3日*）
系数列表[表[2（-x）^（n/2）ChebyshevT[n，1/（2Sqrt[-x]）]，{n，0，15}]，x]//平坦(*埃里克·韦斯特因2018年4月3日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{T（n，k）=如果（k<0||2*k>n，0，二项（n-k，k）+二项（n-k-1，k-1）+（n==0））}/*迈克尔·索莫斯2003年7月15日*/
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交叉参考
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关键词
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标签,容易的,非n
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作者
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扩展
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经核准的
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