A018819-OEIS公司

A018819号

二元配分函数：将n分为2次方的次数。

126

1、1、2、2、4、6、6、10、10、14、14、20、20、26、26、36、46、60、60、74、74、94、94、114、140、140、166、166、202、202、238、238、284、284、330、330、390、390、450、450、524、524、598、598、692、692、786、786、900、1014、1014、1154、1154、1294、1294 (列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

	抵消	`0.3`
	评论	`的第一个差异A000123号; 也A000123号术语重复。请参阅以下第一个公式的相关证明。` `在这些分区中，正好有一个分区具有所有不同的项，因为每个数都可以表示为2的不同幂的和。` `欧拉变换A036987号偏移量为1。` `a（n）是n的“非均匀”分区数，即分区n=p_1+p_2+…+p_k，1<=p_1<=p_2<=…<=p_k和p_1+p_2+…+p_i<=p_{i+1}表示所有1<=i<k-N.J.A.斯隆2003年11月30日` `通常，OEIS不包括这样的序列，其中每个术语都重复出现，但由于其重要性，对这一个例外。未重复的序列A000123号是主条目。` `1+[1，2]+[1、2]+……的不同部分和数。。。，其中[1，2]表示可以加1或乘2。例如，a（6）=6，因为我们有6=1+1+1+1+1+1=（1+1）2+1=1=122+1=（1+1+1）2=12+1+1=；例如这是6＝1+1+1+1+1+1＝2+2+1+1＝4+1+1＝2+2+2＝2+1+1+1+1＝4+2-乔恩·佩里2004年1月1日` `n的分区数p，使得p生成的成分数为奇数。有关证据，请参阅Alekseyev和Adams-Waters链接-弗拉德塔·乔沃维奇2007年8月6日` `不同于A008645号首先是a（64）-R.J.马塔尔2008年5月28日` `显示为的行总和A155077号-Mats Granvik公司2009年1月19日` `n的分区数（p_1、p_2、…、p_k），p_1>=p_2>=…>=p_k，这样对于每个i，p_i>=p_{i+1}+…+p_k.-John MCKAY（MCKAY（AT）encs.concordia.ca），2009年3月6日（这些是作为非递增列表的“非平滑”分区）。` `等于三角形的最右边对角线A168261号.从偏移量1开始=三角形特征序列A115361号和三角形的行和A168261号-加里·亚当森2009年11月21日` `等于的卷积平方根A171238号: (1, 2, 5, 8, 16, 24, 40, 56, 88, ...). -加里·亚当森2009年12月5日` `设B=序列的第n次卷积幂，C=B的充气变量。看来B/C=二项式序列开始（1，n，…）。示例：序列的第三卷积幂为（1，3，9，19，42，78，146，…），C=（1，0，3，0，9，0，19，…）。则B/C=（1、3、6、10、15、21…）-加里·亚当森2016年8月15日` `发件人加里·亚当森2016年9月8日：（开始）` `矩阵幂M^k作为n-->inf的极限导致一个单列向量等于序列，其中M是以下生产矩阵：` `1, 0, 0, 0, 0, ...` `1, 0, 0, 0, 0, ...` `1, 1, 0, 0, 0, ...` `1, 1, 0, 0, 0, ...` `1，1，1，0，0。。。` `1, 1, 1, 0, 0, ...` `1, 1, 1, 1, 0, ...` `1, 1, 1, 1, 0, ...` `1, 1, 1, 1, 1, ...` `…（结束）` `a（n）是n的“非借用”分区数，这意味着从较大部分减去较小部分的二进制减法永远不需要位置值借用-大卫·V·费尔德曼2020年1月29日`
	链接	`T.D.Noe，n=0..1000时的n，a（n）表` `Max Alekseyev和Franklin T.Adams-Waters，关于Vladeta Jovovic观察结果的两个证明` `基德利乌斯·阿尔考斯卡斯（Giedrius Alkauskas），二元分划上Rodseth-Gupta定理的推广立陶宛数学。J.，43（2）（2003），103-110。` `基德利乌斯·阿尔考斯卡斯（Giedrius Alkauskas），将成分计数为2次幂的函数的同余性质，J.国际顺序。13 (2010), 10.5.3.` `Joerg Arndt，计算事项（Fxtbook），第38.1节，第729页。` `Scott M.Bailey和Donald M.Larson，Brown-Gitler谱同源性的A（1）模结构，arXiv:2107.01316[math.AT]，2021。` `瓦伦汀·巴科耶夫，计算某些类型m-ary分区的算法方法《离散数学》，275（2004），第17-41页。` `菲利普·比安，拉沃尔表与组合数学，arXiv:1810.00548[math.CO]，2018年。提到这个序列。` `Peter J.Cameron、Firdous Ee Jannat、Rajat Kanti Nath和Reza Sharafdini，群的共轭类图综述，arXiv:2403.09423[math.GR]，2024年。` `卡尔·迪尔彻和拉里·埃里克森，限制b-元配分函数的多项式模拟，J.国际顺序。，第22卷（2019年），第19.3.2条。` `菲利普·弗拉乔莱和罗伯特·塞奇威克，分析组合数学, 2009; 参见第48、581页。` `马西耶·加伦（Maciej Gawron）、彼得·米斯卡（Piotr Miska）和马西耶克·乌拉斯（Maciej-Ulas），Prod_{n>=0}（1-x^（2^n））^t幂级数展开系数的算术性质，arXiv:1703.01955[math.NT]，2017年。` `Michael D.Hirschhorn和James A.Sellers，多元分区的不同视图《澳大利亚法学联合会》，第30卷（2004年），193-196年。` `乔纳森·乔丹和理查德·索斯韦尔，再生图的进一步性质《应用数学》，第1卷第5期，2010年，第344-350页。doi:10.4236/am.2010.15045.-发件人N.J.A.斯隆2013年2月3日` `靖国神社和巴夫洛斯·泽米亚斯，关于m元分区数《代数与离散数学》，第19卷（2015年）。第1号，第67-76页。` `马蒂亚·科瓦林卡和伊戈尔·帕克，凯利合成、分割、多面体和几何双投影《组合理论杂志》，A辑，第123卷，第1期，2014年4月，第86-91页；另请参见DOI链接.-来自N.J.A.斯隆2012年12月22日` `Apisit Pakapongpun和Thomas Ward，功能轨道计数，J.国际顺序。，12（2009）09.2.4，示例25。` `Ø伊斯汀·罗德塞斯和詹姆斯·塞勒斯，关于一个限制m-非齐次配分函数，《整数序列杂志》，第8卷（2005年），第05.5.4条。` `David Ruelle，动态ζ函数和转移算子，通知Amer。数学。Soc.，49（第82002号），887-895；见第888页。` `N.J.A.Sloane和James A.Sellers，关于非折叠分区，arXiv:math/0312418[math.CO]，2003年。` `N.J.A.Sloane和James A.Sellers，关于非折叠分区，离散数学。，294 (2005), 259-274.`
	配方奶粉	`a（2m+1）=a（2米），a（2米=a（2m-1）+a（m）。证明：如果n是奇数，则有一部分大小为1；去掉它会得到n-1的分区。如果n是偶数，要么有大小为1的部分，去掉它就得到n-1的分区，否则所有部分都是大小均匀的，每个部分除以2就得到n/2的分区。` `G.f.：1/产品{j>=0}（1-x^（2^j））。` `a（n）=（1/n）和{k=1..n}A038712号（k） a（n-k），n>1，a（0）=1-弗拉德塔·乔沃维奇2002年8月22日` `a（2n）=a（2xn+1）=A000123号（n） ●●●●-迈克尔·索莫斯，2003年8月25日` `如果n=0，a（n）=1；如果n>0，Sum_{j=0..floor（n/2）}a（j）-大卫·W·威尔逊2007年8月16日` `G.f.A（x）满足A（x^2）=（1-x）A（x-迈克尔·索莫斯2003年8月25日` `G.f.A（x）满足0=f（A（x，A（x^2），A（x ^4）），其中f（u，v，w）=u^2w-2uv^2+v^3-迈克尔·索莫斯2005年4月10日` `G.f.A（x）满足0=f（A（x，x），A（x^2），A-迈克尔·索莫斯2006年10月15日` `G.f.：1/（总和{n>=0}x^邪恶（n）-x^可恶（n）），其中罪恶（n）=A001969号（n）和讨厌的（n）=A000069号（n） ●●●●-保罗·D·汉纳2012年1月23日` `设A（x）乘以g.f.，B（x）=A（x^k），则0=B（（1-A）^k-（-A）^k）+（-A”）^k，参见fxtbook链接-乔格·阿恩特2012年12月17日` `G.f.：Product_{n>=0}（1+x^（2^n））^（n+1），请参阅fxtbook链接-乔格·阿恩特2014年2月28日` `通用公式：1+Sum_{i>=0}x^（2^i）/Product_{j=0..i}（1-x^-伊利亚·古特科夫斯基2017年5月7日`
	例子	`G.f.=1+x+2x ^2+2x^3+4x ^4+4x^5+6x ^6+6x^7+10*x ^8+。。。` `a（4）=4：分区是4，2+2，2+1+1，1+1+1。` `a（7）=6：分区是4+2+1，4+1+1+1，2+2+2+1，2=2+1+1，2+1+1+1，1+1+1+1。` `发件人乔格·阿恩特2012年12月17日：（开始）` `10的a（10）=14二进制分区是（按字典顺序）` `[1][1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]` `[ 2] [ 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ]` `[ 3] [ 2 2 1 1 1 1 1 1 ]` `[4][2 2 2 1 1 1 1]` `[ 5] [ 2 2 2 2 1 1 ]` `[ 6] [ 2 2 2 2 2 ]` `[ 7] [ 4 1 1 1 1 1 1 ]` `[ 8] [ 4 2 1 1 1 1 ]` `[ 9] [ 4 2 2 1 1 ]` `[10] [ 4 2 2 2 ]` `[11] [ 4 4 1 1 ]` `[12] [ 4 4 2 ]` `[13] [ 8 1 1 ]` `[14] [ 8 2 ]` `11的a（11）=14二进制分区是通过向列表中的每个分区追加1来获得的。` `a（10）=14个10的非等分是（按字典顺序）` `[1][6 3 1 1]` `[ 2] [ 6 3 2 ]` `[ 3] [ 6 4 1 ]` `[ 4] [ 6 5 ]` `[ 5] [ 7 2 1 1 ]` `[ 6] [ 7 2 2 ]` `[ 7] [ 7 3 1 ]` `[ 8] [ 7 4 ]` `[ 9] [ 8 2 1 ]` `[10] [ 8 3 ]` `[11] [ 9 1 1 ]` `[12] [ 9 2 ]` `[13] [ 10 1 ]` `[14] [ 11 ]` `通过在列表中每个分区的第一部分加上1，可以得到11的a（11）=14个非等分分区。` `（结束）` `发件人大卫·V·费尔德曼2020年1月29日：（开始）` `a（10）=14个10的非借用分区是（按字典顺序）` `[ 1] [1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]` `[ 2] [2 2 2 2 2]` `[ 3] [3 1 1 1 1 1 1 1]` `[ 4] [3 3 1 1 1 1]` `[5][3 3 2 2]` `[ 6] [3 3 3 1]` `[ 7] [5 1 1 1 1 1]` `[8][5 5]` `[ 9] [6 2 2]` `[10] [6 4]` `[11] [7 1 1 1]` `[12] [7 3]` `[13] [9 1]` `[14] [10]` `通过在每个分区（如果有的话）的第一个偶数部分加1或在最后一个部分后面加1，可以得到a（11）=14个11的非借用分区。` `（结束）` `例如，4的五个分区按非递增顺序写为[1、1、1、1]、[2、1和1]、[2]、2]、[3]、1]和[4]。最后四个满足条件，a（4）=4。下面的Maple程序对较小的n值进行了验证。`
	MAPLE公司	`with（组合）；N： =8；a： =数组（1..N）；c： =阵列（1..N）；` `对于从1到n的n，做p:=分区（n）；np:=nops（p）；t： =0；` 对于s到np，dor:=p[s]；r： =排序（r，`>`）；nr:=nops（r）；j： =1； `#而j<nr和r[j]>和（r[k]，k=j+1…nr）做j:=j+1；od；编号给予A040039号` `而j<nr和r[j]>=总和（r[k]，k=j+1…nr）做j:=j+1；od；编号给予A018819号` `如果j=nr，则t:=t+1；光纤；a[n]：=t；od；编号约翰·麦凯`
	数学	`最大值=59；a[0]=a[1]=1；a[n_？奇数Q]：=a[n]=a[n-1]；a[n_？EvenQ]：=a[n]=a[n-1]+a[n/2]；表[a[n]，{n，0，max}]` `（或）系数列表[系列[1/产品[（1-x^（2^j））），{j，0，Log[2，max]//天花板}]，{x，0，max}]，x](Jean-François Alcover公司，2011年5月17日，2014年2月17日更新）` `a[n_]：=如果[n<1，Boole[n==0]，a[n]=a[n-1]+如果[EvenQ@n公司，a[商[n，2]，0]]；(迈克尔·索莫斯2022年5月4日）`
	黄体脂酮素	`（PARI）{n=15；v=矢量（n）；对于（i=1，n，v[i]=矢量（2^（i-1）v[i][j]<=n，c[v[i][j]]++））；c}/乔恩·佩里/` `（PARI）{a（n）=my（a，m）；如果（n<1，n==0，m=1；a=1+O（x）；而（m<=n，m=2；a=subst（a，x，x^2）/（1-x））；波尔科夫（a，n））}/迈克尔·索莫斯2003年8月25日/` `（PARI）{a（n）=如果（n<1，n==0，如果（n%2，a（n-1），a（n/2）+a（n-1））}/迈克尔·索莫斯，2003年8月25日/` `（哈斯克尔）` `a018819 n=a018819_列表！！n个` `a018819_list=1:f（尾部a008619_list），其中` `f（x:xs）=（总和$take x a018819_list）：f xs` `--莱因哈德·祖姆凯勒2012年1月28日` `（哈斯克尔）` `导入数据。列表（穿插）` `a018819=（a018819_列表！！）` `a018819_list=1:1:（<>）（zipWith（+））（散布0）（尾部a018819 _ list）` `--约翰·威尔廷克2018年11月8日` `（Python）` `从functools导入lru_cache` `@lru_cache（最大大小=无）` `定义A018819号（n）：如果n==0，则返回1A018819号（n-1）+（0，如果其他n为%2A018819号（n//2））#柴华武2022年1月18日`
	交叉参考	`A000123号是二进制配分函数的主要入口，并提供了更多的属性和引用。` `囊性纤维变性。A115625号（标记的二进制分区），A115626号（标记为非均匀分区）。` `的卷积逆106400澳元.` `囊性纤维变性。A023893号，A062051型，105420英镑，A131995号，A040039号，A018819号，A088567号，A089054号，A115361号，A168261号，A171238号，A179051号，A008619号.` `上下文中的序列：A008643号 A008644号 A008645号A357454 A357452型 A211511型` `相邻序列：A018816号 A018817号 A018818号A018820型 A018821号 A018822号`
	关键词	`非n，美好的，容易的`
	作者	`大卫·W·威尔逊，N.J.A.斯隆和J.H.康威`
	状态	`经核准的`