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| A004148号 |
| 广义加泰罗尼亚数：a（n+1）=a（n）+Sum_{k=1..n-1}a（k）*a（n-1-k）。
（原名M1141）
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189
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1, 1, 1, 2, 4, 8, 17, 37, 82, 185, 423, 978, 2283, 5373, 12735, 30372, 72832, 175502, 424748, 1032004, 2516347, 6155441, 15101701, 37150472, 91618049, 226460893, 560954047, 1392251012, 3461824644, 8622571758, 21511212261, 53745962199, 134474581374
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0.4
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评论
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产生于列举RNA分子的二级结构。图中显示了带有6个核苷酸的17个结构（根据Waterman，1978）。
汉克尔变换是周期8序列[1，0，-1，-1，-1,0，1，1，…](A046980型).
枚举长度为n的无峰Motzkin路径。例如：a（5）=8，因为我们有HHHH、HHUHD、HUHDH、HUHHD、UHDHH、UHHHD和UUHDD，其中U=（1,1）、D=（1，-1）和H=（1,0）-Emeric Deutsch公司2003年11月19日
对于n>=1，a（n）=对角线严格不相交且与底面无对角线入射的（n+2）-边的剖切数。（（n+2）-gon的一侧指定为底面。）-大卫·卡伦2004年3月23日
对于n>=2，a（n-2）=无UU-free Motzkin n-paths的数量=无DU-free Motzkin n-path的数量-大卫·卡伦2004年7月15日
a（n）=不包含低峰值的无UU的Motzkin n路径的数目（低峰值是地电平的UD对，即，其移除将创建一对Motzkin路径）。对于n>=1，a（n）=无UU-Motzkin（n-1）-路径数=无DU Motz kin（n-1）-路数。a（n）是渐近的~cn^（-3/2）（1+phi）^n，其中c=1.1043…和phi=（1+sqrt（5））/2-大卫·卡伦，2004年7月15日。在封闭形式中，c=平方（30+14*sqrt（5））/（4*squart（Pi））=1.104365547309692849-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年9月11日
a（n）=所有金字塔尺寸>=2的Dyck（n+1）-路径的数量。金字塔是k个向上步紧跟k个向下步的最大子路径，其大小为k-大卫·卡伦2004年10月24日
a（n）=无小金字塔的半长n+1的Dyck路径数（n>=1）。金字塔是k Us形式的最大序列，其次是k Ds，k>=1。一个小金字塔是一个k=1的金字塔。例如，a（4）=4统计以下Dyck 5路径（由小写字母表示的金字塔，并用竖线分隔）：uuuuu ddddd、Uuudd | uuddD、uudd |uuuddd、Uuudd|uudd-大卫·卡伦2004年10月25日
a（n）=长度为n-1的Motzkin路径数，在>=1级没有峰值。例如：a（4）=4，因为我们有HHH、HUD、UDH和UHD，其中U=（1,1）、D=（1，-1）和H=（1,0）。
a（n）=长度为n+1的Motzkin路径数，x轴上无水平台阶，且水平>=1处无峰值。例如：a（4）=4，因为我们有UHHD、UHDUD、UDUHD和UUHDD，其中U=（1,1）、D=（1，-1）和H=（1,0）。
a（n）=长度为2n且没有偶数长度上升和下降的Dyck路径数。上坡（下坡）是上（下）步的最大序列。例如：a（4）=4，因为我们有UDUDUD、UDUUUDDD、UUUDDUD和UUUDUDD，其中U=（1,1）、D=（1，-1）和H=（1,0）。
a（n）=长度为2n的Dyck路径数，其上升长度仅为1或2，且没有UUDD形式的峰值。上升是一个最大的上升步骤序列。例如：a（4）=4，因为我们有UDUDUD、UDUUDUD和UUDUDD，其中U=（1,1）、D=（1，-1）和H=（1,0）。
a（n）=[n+1]中没有单元素的非交叉分区数，在每个块中，最左边的两个点的形式为i，i+1。例如：a（4）=4，因为我们有12345、12/345、123/45和125/34；非交叉分区145/23不满足要求，因为1和4不连续。
a（n）=没有单例的[n+1]的非交叉分区数，可能除了块/1/和形式为/i、i+1/的块，可能除了区块/1,2/。例如：a（4）=4，因为我们有12345、1/2345、12/345和15/234。
（结束）
a（n）=没有UDU和DUD的Dyck（n+1）路径数。例如，a（4）=4统计UUUU DDDDD、UUUDDUUDDD、UUDDUUUDDD和UUUDDDUUDD-大卫·卡伦2007年5月8日
a（n）也是不含峰谷高度2（mod 3）的半长n的Dyck路径数马军（Majun（AT）math.sinica.edu.tw），2008年11月29日
a（n+1）的G.f.是1/（1-x-x^2-x^3/（1-x-x^2-x ^3/）（1-…（连分数））-保罗·巴里2009年5月20日
Motzkin数的Chebyshev变换A001006号：g.f.是（1-x-（1-2x-3x^2）^（1/2））/（2x^2-保罗·巴里2010年3月10日
对于n>=1，从（0,0）开始，在水平轴上结束，且从不低于该轴的权重为n-1的晶格路径数，其步长有以下四种：权重为1的（1,0）-步长，权重为2的（1,0-步长，（1,1）-步宽为2的步长，以及权重为1（1，-1）-步幅。路径的权重是其步骤的权重之和。a（4）=4，因为用h（h）表示权重1（2）的（1,0）阶跃，并且u=（1,1），d=（1，-1），我们有以下四条权重3的路径：hH，hH，hhh和ud。（参见Bona-Knopfmacher参考第295页的g.f.C（x）。）
a（n）=[n]的非交叉分区的数量，其中所有块的大小为1或2，并且没有/i，i+1/形式的块。例如：a（4）=4，因为我们有1234、13/2/4、14/2/3和1/24/3。
似乎a（n）=[n]的排列数，避免了三个虚线图案123、132、24-13，并且不包含小跳跃（一个单位的跳跃）。例如，a（4）=4表示3214、3241、4213和4321，但不表示4312，因为12是一个小跳跃。（结束）
DU数量_{k} -等效性Łukasiewicz路径的类。Łukasiewicz路径是P-等价的，如果模式P在这些路径中的位置相同-谢尔盖·柯尔吉佐夫，2018年4月8日
a（n）也是在[n]上避免对合的3412个数，没有形式（i，i+1）的转置。例如，a（4）=4计算对合1234、1432、3214、4231-胡安·吉尔2020年5月23日
对于n>=2，a（n）等于具有长度为n的气穴的Dyck路径数。具有气穴的Dayck路径是Z^2第一象限中的非空晶格路径，从原点开始，到x轴结束，由向上步U=（1,1）和向下步D_k=（1，-k），k>=1组成，其中两个向下步不能连续。例如，长度为2的唯一路径是UD_1；对于长度3，我们有UU_D2；对于长度4，有2条路径：UUUD_3、UD_1UD_1；对于长度5，我们有4条路径：UUUUD_4、UUD_2UD_1、UD_1UUD_2、UUD_1UD_2-谢尔盖·柯尔吉佐夫2022年12月15日
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参考文献
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卡梅隆、奈奥米和埃弗雷特·沙利文。《固定高度有标记水平台阶的无峰莫茨金路径》，《离散数学》344.1（2021）：112154。
A.Nkwanta，晶格路径和RNA二级结构，离散数学中的DIMACS系列。和理论计算机科学，34，1997，137-147。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
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链接
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Andrei Asinowski、Axel Bacher、Cyril Banderier和Bernhard Gittenberger，具有禁止模式的格路的分析组合学：枚举方面《语言与自动机理论与应用国际会议》，S.Klein，C.Martín-Vide，D.Shapira（编辑），Springer，Cham，第195-206页，2018年。
安德烈·阿辛诺夫斯基（Andrei Asinowski）、西里尔·班德利尔（Cyril Banderier）和瓦莱丽·罗特纳（Valerie Roitner），具有多个禁止模式的格路径的生成函数，（2019年）。
Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov、Rémi Maréchal和Vincent Vajnovszki，带有气穴的Grand Dyck小路，arXiv:2211.04914[math.CO]，2022。
Paul Barry、Aoife Hennessy和Nikolaos Pantelidis，Riordan子群的代数性质，J Algebr Comb 53，1015-1036（2021）。
安东尼奥·伯尼尼、马特奥·塞尔维蒂、卢卡·法拉利和艾纳·斯坦格里姆松，Dyck模式偏序集中区间的枚举组合，arXiv:1910.00299[math.CO]，2019年。
亚历山大·伯斯坦（Alexander Burstein）和路易斯·夏皮罗（Louis W.Shapiro），Riordan群中的伪进化，arXiv:2112.11595[math.CO]，2021。
C.焦化装置，枚举一类晶格路径，离散数学。，271 (2003), 13-28.
Emeric Deutsch和Sergi Elizalde，限制simsun置换安·库姆。16，第2期，253-269（2012）。
Robert G.Donnelly、Molly W.Dunkum、Sasha V.Malone和Alexandra Nance，对称斐波那契分配格和特殊线性李代数的表示，arXiv:2012.14991[math.CO]，2020年。
T.Doslic、D.Svrtan和D.Veljan，二级结构的枚举方面，离散。数学。，285 (2004), 67-82.
埃里克·S·艾格和凯莉·鲁宾，雪豹排列及其奇偶线，arXiv:1508.05310[math.CO]，2015年。
Juan B.Gil和Luiz E.Lopez，对称弧图的枚举，arXiv:2203.10589[math.CO]，2022。
Ivo L.Hofacker、Christian M.Reidys和Peter F.Stadler，对称环状匹配与RNA折叠.离散。数学。，312:100-112, 2012. 参见等式27。
Emma Y.Jin和Christian M.Reidys，带有伪结的RNA结构的渐近枚举，《数学生物学公报》70（2008），951-970。见公式22。
刘树昌、马骏和杨安业，具有峰值和山谷回避集的堤坝路径，学生应用数学。121 (3) (2008) 263-289. 【摘自马军（Majun（AT）math.sinica.edu.tw），2008年11月29日】
索菲·莫里尔·盖诺和瓦伦丁·奥维辛科，关于q变形实数，arXiv:1908.04365[math.QA]，2019年。
E.Munarini和N.Z.Salvi，不带Z字形的二进制字符串《联合国图书馆》（Séminaire Lotharingien de Combinatoire），B49h（2004），第15页。
A.Panayotopoulos和P.Vlamos，弯道切割程度《人工智能应用与创新》，IFIP信息与通信技术进展，第382卷，2012年，第480-489页；内政部10.1007/978-3642-33412-2_49.-发件人N.J.A.斯隆2012年12月29日
M.S.Waterman，主页（包含他的论文副本）
M.S.Waterman，单链核酸的二级结构《基础与组合数学研究》，第1卷，第167-212页，1978年。
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公式
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a（n+1）=a（n）+a（1）*a（n-2）+a（2）*a（n-3）+…+a（n-1）*a（0）。
总面积：（1-x+x^2-sqrt（1-2*x-x^2-2*x^3+x^4））/（2*x^2）-迈克尔·索莫斯2003年7月20日
G.f.：（1/z）*（1-C（-z/（1-3*z+z^2））），其中C（z）=（1-sqrt（1-4*z））/（2*z）是加泰罗尼亚函数-Emeric Deutsch公司2003年11月19日
G.f.：1+f（x，x）/x，其中f（x、t）是Narayana数的G.f.：xF^2-（1-x-tx）f+tx=0-Emeric Deutsch公司2003年11月19日
G.f.A（x）满足函数方程：x^2*A（x，^2-（x^2-x+1）*A（x）+1=0-迈克尔·索莫斯2003年7月20日
g.f.A（x）的级数反转为-A（-x）（如果偏移量为1）-迈克尔·索莫斯2003年7月20日
a（n）=和{k=上限（（n+1）/2）..n}（二项式（k，n-k）*二项式-Emeric Deutsch公司2003年11月12日，该公式计算了（i）按对角线数计算的不相交对角线剖分，（ii）按向上阶梯数计算的无峰Motzkin路径，（iii）按上升次数计算的无UUU和无DDD Dyck路径-大卫·卡伦2004年3月23日
G.f.：1/（1-x/（1-x^2/（1-x/（1-x ^2/-保罗·巴里2008年12月8日
通用公式：1/（1-x/（1-x（x-1）-x/（1-x（x-1）-x-（1-x-保罗·巴里2009年5月16日
设A（x）^m=Sum_{n>=0}A（n，m）*x^n，则
a（n，m）=求和{k=0..n}求和{j=0..k}C（n-k+j+m，n-k）*m/（n-k+j+m）*C（n-k，k-j）*C（k-j，j）。
（结束）
G.f.：（1/（1+x^2））*M（x/（1+x2）），M（x）Motzkin数的G.fA001006号;
通用公式：1/（1-x+x^2-x^2/（1-x+x^2-x ^2/。
a（n）=和{k=0..层（n/2）}（-1）^k*C（n-k，k）*A001006号（n-2*k）。（结束）
通用公式：1+x*exp（和{n>=1}（x^n/n）*（和{k=0..n}C（n，k）^2*x^k））-保罗·D·汉纳2011年3月15日
设g.f.为A（x），则B（x）=（1+x*A（x。。。是以1开头的该序列的g.f；更一般地说，B（x）=C（x/（1+x+x^2）），其中C（x）是加泰罗尼亚数字的g.f(A000108号). -乔格·阿恩特2011年3月18日
递归D-有限：（n+2）*a（n）-（2n+1）*a-R.J.马塔尔2011年12月1日。这种重复出现源于Wilf-Zeilberger（WZ）证明技术，该技术应用于求和{k=上限（（n+1）/2）..n}（二项式（k，n-k）*二项式[k，n-k+1）/k）-T.阿姆德伯汉2012年7月23日
给定g.f.A（x），则B（x）=x*A（x-迈克尔·索莫斯2014年6月5日
G.f.：1-x/（x^2-1/（1-x/-迈克尔·索莫斯2014年6月5日
0=a（n）*（a（n+1）-5*a（n+2）-4*a如果n>=-1，则为（n+3）*（-a（n+3）+6*a（n+4）-5*a（n+5））+a（n+4）*-迈克尔·索莫斯2014年6月5日
a（n）=上层（[-n/2，（1-n）/2，（1-n）/2、1-n/2]，[2，-n，-n+1]，16）-彼得·卢什尼2020年1月25日
a（n）=Sum_{k=0..n-1}二项式（n-k，k+1）*二项式（n-k，k）/（n-k），对于n>0-里戈伯托·弗洛雷斯2023年4月17日
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示例
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G.f.=1+x+x^2+2*x^3+4*x^4+8*x^5+17*x^6+37*x^7+82*x^8+185*x^9+432*x^10+。。。
检测（[1]）=1，检测（[1，1；1，1]）=0，检测（[1]，1，1，2；1，2，4]）=-1-迈克尔·索莫斯2022年5月12日
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MAPLE公司
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w:=进程（l）x-1-x ^2*（1-x ^l）/（1-x）结束：
S:=进程（l）（-w（l）-sqrt（w（l
#对于该序列，S（1）是g.f，
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数学
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a[0]=1；a[n_Integer]：=a[n]=a[n-1]+和[a[k]*a[n-2-k]，{k，n-2}]；数组[a，35，0]
系数列表[级数[（1-x+x^2-Sqrt[x^4-2x^3-x^2-2x+1]）/（2x^2），{x，0，40}]，x](*哈维·P·戴尔2011年5月9日*）
a[n_]：=系列系数[（1-x+x^2-Sqrt[1-2x-x^2-2x^3+x^4]）/（2x^2），{x，0，n}]；(*迈克尔·索莫斯，2014年6月5日*）
a[n]：=超几何PFQ[{-n/2，（1-n）/2，（1-n）/2，1-n/2}，{2，-n，-n+1}，16]；数组[a，33，0](*彼得·卢什尼2020年1月25日*）
表[如果[n==0，1，和[（二项式[n-k，k+1]二项式[n-k，k]/（n-k）），{k，0，n-1}]]，{n，0，10}](*里戈伯托·弗洛雷斯2023年4月17日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）{a（n）=polceoff（（1-x+x^2-sqrt（1-2*x-x^2+x^3*（-2+x+O（x^n）））/2，n+2）}/*迈克尔·索莫斯，2003年7月20日*/
（PARI）a（n，m=1）=总和（k=0，n，总和（j=0，k，二项式（n-k+j+m，n-k）*m/（n-k+j+m）*二项式\\保罗·D·汉纳，2009年6月26日
（PARI）{a（n）=polcoeff（1+x*exp（和（m=1，n，和（k=0，m，二项式（m，k）^2*x^k）*x^m/m）+x*O（x^n）），n）}/*保罗·D·汉纳2011年3月15日*/
（PARI）{a（n）=本地(A051292号=1+（1-x^2）/平方（（1-3*x+x^2；polcoeff（exp（总和（m=1，n，polcooff(A051292号，m）*x^m/m）+x*O（x^n）），n）}/*保罗·D·汉纳2011年3月15日*/
（最大值）a（n）：=系数（泰勒（（1-x+x^2-sqrt（1-2*x-x^2-2*x^3+x^4））/（2*x^2），x，0，n），x；名单（a（n），n，0，12）//伊曼纽尔·穆纳里尼，2001年7月7日
（哈斯克尔）
a004148 n=a004148_列表！！n个
a004148_list=1:f[1]，其中
f xs'@（x:xs）=y:f（y:xs'）其中
y=x+总和（zipWith（*）xs$reverse$tail xs）
（PARI）{a（n）=my（a=1+O（x））；对于（k=1，n，a=1-x/（x^2-1/a））；波尔科夫（a，n）}/*迈克尔·索莫斯2014年6月5日*/
（Magma）R<x>：=PowerSeriesRing（基本原理（），35）；系数（R！（（1-x+x^2-Sqrt（1-2*x-x^2-2*x^3+x^4））/（2*x^2））//G.C.格鲁贝尔2019年12月30日
（鼠尾草）
P=PowerSeriesRing（ZZ，'x'，prec）
x=发电机（）。O（前c）
return（（1-x+x^2-sqrt（1-2*x-x^2-2*x^3+x^4））/（2*x^2））.list（）
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n,美好的
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作者
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