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A002388号 |
| Pi^2的十进制展开式。 (原名M4596 N1961)
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62
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9, 8, 6, 9, 6, 0, 4, 4, 0, 1, 0, 8, 9, 3, 5, 8, 6, 1, 8, 8, 3, 4, 4, 9, 0, 9, 9, 9, 8, 7, 6, 1, 5, 1, 1, 3, 5, 3, 1, 3, 6, 9, 9, 4, 0, 7, 2, 4, 0, 7, 9, 0, 6, 2, 6, 4, 1, 3, 3, 4, 9, 3, 7, 6, 2, 2, 0, 0, 4, 4, 8, 2, 2, 4, 1, 9, 2, 0, 5, 2, 4, 3, 0, 0, 1, 7, 7, 3, 4, 0, 3, 7, 1, 8, 5, 5, 2, 2, 3, 1, 8, 2, 4, 0, 2
(列表;常数;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,1
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评论
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也等于正弦或余弦曲线在一个完整周期内的旋转体积,Integral_{x=0..2*Pi}sin(x)^2dx-罗伯特·威尔逊v2005年12月15日
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参考文献
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W.E.Mansell,自然对数和普通对数表。皇家学会数学表,第8卷,剑桥大学出版社,1964年,第18页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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配方奶粉
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Pi^2=11/2+16*Sum_{k>=2}(1+k-k^3)/(1-k^2)^3-亚历山大·波沃洛茨基2009年5月4日
Pi^2=3*(和{n>=1}((2*n+1)^2/和{k=1..n}k^3)/4-1)-亚历山大·波沃洛茨基2011年1月14日
Pi^2=(3/2)*(和{n>=1}((7*n^2+2*n-2)/(2*n^2-1)/*EulerGamma)-亚历山大·波沃洛茨基2011年8月13日
Pi^2=20*Integral_{x=0..log(phi)}x*coth(x)dx,其中phi=(1/2)*(1+sqrt(5))是黄金比例。
Pi^2=10*Sum_{k>=0}二项式(2*k,k)*(1/(2*k+1)^2)*(-1/16)^k。类似的级数展开式适用于Pi/3(见A019670型)和(7*/216)*Pi^3(参见A091925号).
整数序列A(n):=2^n*(2*n+1)^2/n!和B(n):=A(n)*(和{k=0..n}二项式(2*k,k)*1/(2*k+1)^2*(-1/16)^k)都满足二阶递推方程u(n)=(24*n^3+44*n^2+2*n+1)*u(n-1)+8*(n-1。从这个观察结果中,我们可以得到连续分式展开式Pi^2/10=1-1/(72+8*3^5/(373+8*2*5^5/…(1051+…+8*(n-1)*(2*n-1)^5/)((24*n^3+44*n^2+2*n+1)+…))。囊性纤维变性。A093954号.(结束)
圆周率^2=A304656型*A093602型=(伽马(0,1/6)-伽马(0,5/6))*(伽玛(0,2/6)-γ(0,4/6)),其中伽马(n,x)是广义Stieltjes常数。这个公式也可以用多膜函数表示-彼得·卢施尼2018年5月16日
等于8+Sum_{k>=1}1/(k^2-1/4)^2=-8+Sum_{k>=0}1/-阿米拉姆·埃尔达尔,2020年8月21日
发件人彼得·巴拉,2021年12月10日:(开始)
Pi^2=(2^6)*Sum_{n>=1}n^2/(4*n^2-1)^2=)^2)。
更一般地说,对于k>=0,我们有Pi^2=(2*k+1)*2^(4*k+6)*(2*k)^4/(4*k)!*和{n>=1}n^2/((4*n^2-1)^2**(4*n^2-(2*k+1)^2)^2。
对于k>=0,我们得到了Pi^2=(-1)^k*2^(6*k+8)*(2*k+1)^3/(6*k+1)*((2*k)^6*(3*k)!)/(k!^3*(6*k)!)*和{n>=1}n^2/((4*n^2-1)^3**(4*n^2-(2*k+1)^2)^3)。(结束)
发件人彼得·巴拉20232年10月27日:(开始)
Pi^2=10-和{n>=1}1/(n*(n+1))^3。
Pi^2=6217/630+(648/35)*Sum_{n>=1}1/(n*(n+1)*(n+2)*(n+3))^3。
一般结果(使用WZ方法验证-见Wilf)为:对于n>=0,
Pi^2=A(n)+(-1)^(n+1)*B(n)*Sum_{k>=1}1/(k*(k+1)**(k+2*n+1))^3,其中A(n)=10-和{i=1..n}(-1)^(i+1)*(56*i^2+24*i+3)*(2*i)^3*(3*i)/(2i^2*(2i+1)*(6i+1)*我^3) 并且B(n)=(2*n+1)^6*(3*n)!/(2*n+1)*(6*n+1)*不^3 ).
让n->oo得到快速收敛的交替级数
Pi^2=10-和{i>=1}(-1)^(i+1)*(56*i^2+24*i+3)*(2*i)^3*(3*i)/(2i^2*(2i+1)*(6i+1)*我^3). 级数的第i个和渐近于(14/3)*1/(i^2*27^i),因此取级数的70项,Pi^2的值精确到100位以上。
级数表示Pi^2=3*Sum_{k>=1}(2*k)/k^3可以加速以得到更快收敛的级数
Pi^2=99/10-(8/5)*Sum_{k>=1}(2*k+2)/(k*(k+1)*(k+2
Pi^2=54715/5544+(41472/385)*Sum_{k>=1}(2*k+4)/(k*(k+1)*(k+2)*(k+3)*。
一般结果是:对于n>=1,Pi^2=C(n)+(-1)^n*D(n)*Sum_{k>=1}(2*k+2*n)/(k*(k+1)**(k+2*n))^3,其中C(n)=A(n)-10*(-1)^n*(3*n)*(2*n)^3/((2*n+1)*n^3*(6*n+1)!)且D(n)=(2*n)^6*(3*n)!/(2*n*(6*n-1)*不^3 ). (结束)
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例子
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9.869604401089358618834490999876151135313699407240790626413349376220044...
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MAPLE公司
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数学
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真数字[Pi^2,10,111][[1](*罗伯特·威尔逊v2005年12月15日*)
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黄体脂酮素
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(PARI)默认值(realprecision,20080);x=Pi^2;对于(n=120000,d=楼层(x);x=(x-d)*10;写入(“b002388.txt”,n,“”,d)\\哈里·史密斯2009年5月31日
(岩浆)R:=RealField(100);Pi(R)^2//G.C.格鲁贝尔,2018年3月8日
(Python)#计算时使用一些保护数字。
#BBP公式(9/8)P(2,64,6,(16,-24,-8,-6,1,0))。
从十进制导入decimal as dec,getcontext
定义BBPpi2(n:int)->dec:
getcontext().prec=n
s=下降(0);f=下降(1);g=下降(64)
对于范围内的k(int(n*0.5536546824812272)+1):
6xk=下降(6*k)
s+=f*(十进制(16)/(六进制+1)**2-十进制(24)/(六进制+2)**2
-十进制(8)/(六进制+3)**2-十进制(6)/(六进制+4)**2
+十进制(1)/(六进制+5)**2)
f/=克
返回(s*dec(9))/dec(8)
打印(BBPpi2(200))#彼得·卢施尼2023年11月3日
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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经核准的
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