搜索: a118050-编号:a118050
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A002387号
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| 最小k,使得H(k)>n,其中H(k”)是调和数Sum_{i=1..k}1/i。 (原名M1249 N1385)
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+10 80
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1、2、4、11、31、83、227、616、1674、4550、12367、33617、91380、248397、675214、1835421、4989191、13562027、36865412、100210581、272400600、740461601、201278315、5471312310、14872568831、40427833596、109894245429、298723530401、812014744422
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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对于k>=1,log(k+1/2)+gamma<H(k)<log(k+1/2)+gamma+1/(24k^2),其中gamma是欧拉常数(A001620号). 对于所有k>=2,上限和下限可能具有相同的下限,在这种情况下,对于所有n>=0,a(n)=下限(exp(n-gamma)+1/2)。
这句话是基于一个简单的启发式论证。上界和下界相差1/(24k^2),所以在这两个界之间有一个整数的概率是1/(24 k^ 2)。对所有k>=2求和,得到k的期望值数量,其中在边界之间有一个整数。这个和等于Pi^2/144-1/24~0.02687。这远远小于1,所以k不太可能有这样的值。
(结束)
参考A118050型和A118051号,使用H(x)逆的渐近级数的几个项,我们可以得到一个表达式,该表达式比上面提到的可能性更大,对于所有n>=0,应该给出一个(n)。例如,使用与迪安·希克森可以证明,在概率>99.995%的情况下,对于所有n>=0的情况,a(n)=地板(u+1/2-1/(24u)+3/(640u^3)),其中u=e^(n-gamma)大卫·W·坎特雷尔(DWCantrell(AT)sigmaxi.net)
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参考文献
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约翰·康韦(John H.Conway)和R.K.盖伊(R.K.Guy),《数字之书》(The Book of Numbers),哥白尼,Springer-Verlag的印记,纽约,1996年,第258-259页。
J.-M.De Konink,《法定法西斯》,条目83,第28页,《椭圆》,巴黎,2008年。
罗纳德·刘易斯·格雷厄姆(Ronald Lewis Graham)、唐纳德·埃尔文·克努特(Donald Ervin Knuth)和奥伦·帕塔什尼克(Oren Patashnik),“具体数学,计算机科学的基础”,艾迪生-韦斯利出版公司,马萨诸塞州雷丁,1989年,第258-264页,第438页。
H.P.Robinson,致N.J.A.Sloane的信,1973年10月23日。
W.Sierpiánski,《定额分解法》,《欧夫莱斯选择》,波兰华沙波兰科学院,1974年,第181页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane,序列M4299的图解(=A007340号)《整数序列百科全书》(与西蒙·普劳夫合著),学术出版社,1995年。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
I.Stewart,《普通大学》,第54页,《贝林·波尔科学》,巴黎,2000年。
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链接
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R.P.Boas Jr.和J.W.W.Wrench Jr。,调和级数的部分和阿默尔。数学。月刊,78(1971),864-870。(给出n=20的条件。)
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配方奶粉
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注意,条件收敛级数Sum_{k>=1}(-1)^(k+1)/k=log2(A002162号).
极限{n->oo}a(n+1)/a(n)=e-罗伯特·威尔逊v2001年12月7日
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数学
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fh[0]=0;fh[1]=1;fh[k_]:=模块[{tmp},如果[Floor[tmp=Log[k+1/2]+EulerGamma]==楼层[tmp+1/(24k^2)],楼层[tmp],未知]];a[0]=1;a[1]=2;a[n_]:=模块[{val},val=圆形[Exp[n-EulerGamma]];如果[fh[val]=n&&fh[val-1]=n-1,val,未知]];(*fh[k]是楼层(H(k))或未知*)
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黄体脂酮素
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(PARI)a(n)=如果(n,my(k=exp(n-Euler));ceil(求解(x=k-1.5,k+.5,整数(y=0,1,(1-y^x)/(1-y))-n)),1)\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年6月13日
(哈斯克尔)
a002387 n=a002387_列表!!n个
a002387_list=f 0 1其中
f x k=如果hs!!k>来自积分x
然后是k:f(x+1)(k+1),否则是fx(k+1
其中hs=扫描(+)0$map接收[1..]
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A136617号
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| a(n)=最大k,使得k个连续倒数之和1/n+…+1/(n+k-1)不超过1。 |
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1、2、4、6、7、9、11、12、14、16、18、19、21、23、24、26、28、30、31、33、35、36、38、40、42、43、45、47、48、50、52、54、55、57、59、61、62、64、66、67、69、71、73、74、76、78、79、81、83、85、86、88、90、91、93、95、97、98、100、102、103、105、107、109、110、112、114、115
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1,2
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评论
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David Cantrell的启发式公式(SeqFan邮件列表,2008年1月)。想象一把带有调和数H(n)的标尺作为标记。然后A136617号(n) 给出标记数m-n+1=A136616号(n) -n+1:
………….H………..H。。。。。H。。。。。。。
…………..n-1……n…..n+1………..m。。。。。。
…………..---o-------+------+--------.***-----+-o个----
................\______________..______________/......
...............................\/.....................
长度1。。。。。。。。。。。。。。。。。。
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链接
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配方奶粉
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a(n)=A136616号(n-1)-n+1和大卫·坎特雷尔的启发式:a(n)=楼层((e-1)*(n-1/2)+(e-1/e)/(24*(n-1/2)))。
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例子
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a(3)=4,因为1/3+1/4+1/5+1/6<1有4个和;加1/7超过1。
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MAPLE公司
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数学
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表[模块[{start=Floor[z(E-1)]-1},
NestWhile[#+1&,start,HarmonicNumber[#+z]-HarmonicNumber[z]+1/z<=1&]],{z,1,100}](*彼得·J·C·摩西2012年8月20日*)
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交叉参考
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关键词
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容易的,非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 24, 640, 580608, 199065600, 504627200, 2191186722816000, 44497945755648000, 255806104666112, 15953645581139831685120000, 188420950968830433165312000000, 401521614736326656000000
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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链接
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例子
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当InvH(x)是H(x”的逆时,x>0,InvH(x)+1/2的渐近级数是u-1/(24u)+3/(640u^3)-1525/(580608u^5)+。。。其中u=e^(x-g),g是欧拉伽马常数。
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数学
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n=12;coeffs=逆级数[Exp[Series[Harmonic Number[x-1/2],{x,Infinity,2n-1}]-EulerGamma]][[3]];表[分母[系数[[2i-1]],{i,1,n}]
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交叉参考
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关键词
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压裂,非n
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作者
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大卫·坎特雷尔(DWCantrell(AT)sigmaxi.net),2006年4月8日
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状态
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经核准的
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