Pell方程第一类的基本正解x=x1（n）x^2-2*y^2=-A007522号（n） ，n>=1（素数等于7模8）。

1, 3, 1, 5, 1, 7, 5, 1, 7, 11, 3, 1, 13, 7, 5, 11, 9, 17, 5, 3, 9, 19, 7, 13, 5, 3, 7, 19, 13, 1, 9, 25, 15, 7, 23, 27, 17, 9, 21, 7, 1, 13, 19, 11, 23, 17, 31, 7, 1, 33, 11, 17, 7, 27, 5, 35, 13, 25, 19, 11, 29, 9, 17, 5, 3, 1, 27, 21, 35, 17, 23, 15, 37

1,2

对应项y1（n）见2*A255232型（n） ●●●●。

关于这个（广义）Pell方程第二类的正基本固有解（有时称为本原解）x2（n）和y2（n），请参见A255233型（n） 和A255234型（n） ●●●●。

第一类的当前解是最小的正解。

关于解的存在性证明，请参见纳格尔参考定理111，第210页（此二元二次型的判别式为+8，因此，如果至少存在一个解，则它是一个具有无穷多解的不定形式）。

关于这个佩尔方程只有两类解的证明，请参阅纳格尔参考定理110，第208页，因为方程是可解的，每个素数都来自A007522号不除以4。

根据Nagell参考定理108a（第206-207页），通过扫描解x1（n）=2*x1（n。X1（n）的扫描间隔为[0，floor（（sqrt（p（n））-1）/2）]，Y1（n=A007522号（n） ●●●●。

一般正真解是通过将矩阵M=[[3,4]，[2,3]]的正幂应用于基本正列向量（x（n），y（n））^T上而获得的。n次方是M^n=S（n-1，6）*M-S（n-2，6）1_2，其中1_2是2X2单位矩阵，S（n，6），其中S（-2，6）=-1，S（-1，6）=0，是在x=6时计算的切比雪夫S多项式，如下所示A001109号（n） ●●●●。

素数+1和-1（模8）（包括素数2）的最小正x解（即第一类解）如下所示A255235型.

T.Nagell，《数论导论》，切尔西出版公司，纽约，1964年。

a（n）^2-2*（2*A255232型（n） ）^2=-A007522号（n） ，n>=1，给出了这个（广义）Pell方程的最小正（真）解。

第一类基本正解的第一对[x1（n），y1（n）]是(这个 首要的 A007522号(n个)是 上市的 作为 第一 进入):

（质数A007552号（n） 列为第一项）：

[7, [1, 2]], [23, [3, 4]], [31, [1, 4]],

[47, [5, 6]], [71, [1, 6]], [79, [7, 8]],

[103, [5, 8]], [127, [1, 8]], [151, [7, 10]],

[167, [11, 12]], [191, [3, 10]], [199, [1, 10]], [223, [13, 14]], [239, [7, 12]], [263, [5, 12]], [271, [11, 14]], [311, [9, 14]], [359, [17, 18]], [367, [5, 14]], [383, [3, 14]], [431, [9, 16]], [439, [19, 20]], [463, [7, 16]], [479, [13, 18]], [487, [5, 16]], [503, [3, 16]], ...

n=1:1^2-2*（2*1）^2=1-8=-7=-A007522号(1), ...

囊性纤维变性。A007522号,A255232型,A255233型,A255234型,A255235型.

非n,看,改变

沃尔夫迪特·朗2015年2月18日

来自的更多条款科林·巴克2015年2月23日

经核准的

中的固定点A256271型.

1, 2, 3, 26, 32, 34, 37, 49, 55, 62, 64, 74, 75, 76, 77, 164, 171, 189, 224, 273, 279, 280, 285, 303, 333, 345, 356, 363, 368, 382, 399, 411, 416, 422, 429, 430, 435, 441, 453, 470, 472, 483, 494, 524, 539, 561, 566, 579, 580, 585, 603, 609, 621, 644, 662, 666, 674, 693, 704, 715, 737, 771, 777, 794, 803

1,2

数字n是这样的A256271型（n） =不。

发件人罗伯特·伊斯雷尔2019年7月16日：（开始）

n在序列中的一个必要条件是256271美元（n） -n是偶数。什么时候？A256271型（n） 是偶数，A256271型（n+1）必须是奇数；什么时候256271美元（n） 很奇怪，A256271型（n+1）可以是偶数或奇数，但似乎几乎总是偶数。

结果是我们有很长的间歇时间A256271型（n） -n是偶数（例如3369到22635），其中该序列的成员相对常见，并且间隔较长，其中A256271型（n） -n是奇数（例如22636到67110），不包含此序列的成员。（结束）

Robert Israel，<a href=“/A258766型/b258766.txt“>n表，n=1..1000时为a（n）</a>

Res:=1:count:=1:v:=1：

坎迪斯：=[2..1000]美元：

对于2 do中的n

发现：=false；

对于j从1到nops（Cands）do

如果numtheory:-issqrfree（v+Cands[j]^2），则

发现：=true；

如果n=Cands[j]，则Res：=Res，n；计数：=计数+1 fi；

v： =Cands[j]^2；

Cands：=底土（j=NULL，Cands）；

打破

fi（菲涅耳）

od；

如果未找到，则断开fi；

日期：

研究#罗伯特·伊斯雷尔，2019年7月16日

（PARI）打印1（1，“，”）；v=[1]；n=1；while（#v<10^3，if（issquarefree（n^2+v[#v]^2）&&！vecsearch（vecsort（v），n），如果（n==#v，print1（n，“，”））；n=0）；n++）

囊性纤维变性。A121878号,A167906号,A256271型.

非n,看,改变

德里克·奥尔2015年6月9日

经核准的

前n个素数之和除以第n个素值，四舍五入到最接近的整数。

1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 11, 11, 11, 11, 12, 13, 13, 14, 15, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 17, 18, 18, 19, 20, 20, 20, 21, 22, 22, 21, 22, 23, 23, 24, 25, 25, 25, 26, 26, 27, 27, 28, 29, 29, 28, 29, 30, 31, 30, 31, 31, 32, 32, 33, 33, 34, 34, 35

1,2

L.Manor，<a href=“/A165906号/b165906.txt“>n，a（n）表，n=1..1000</a>

a（n）=上限（和{j=1..n}素数（j））/素数（n）。

a（4）=顶棚（（2+3+5+7）/7）=顶篷（17/7）=3。

模[{nn=80，pr}，pr=Prime[nn]]；天花板[#[[2]]/#[[1]]]&/@线程[{pr，累加[pr]}]](*哈维·P·戴尔2013年1月29日*）

（PARI）a（n）=ceil（和（k=1，n，素数（k））/素数（n））\\米歇尔·马库斯2018年3月21日

（PARI）第一（n）=my（res=向量（n），p，s，i=0）；对于素数（p=2，s+=p；i++；res[i]=cel（s/p）；如果（i==n），返回（res))); \\ _David A.Corneth，2018年3月24日

囊性纤维变性。A007504号,A165907号.

容易的,非n,改变

利奥庄园2009年9月30日

经核准的

例如：exp（6*arcsin（x））。

1, 6, 36, 222, 1440, 9990, 74880, 609390, 5391360, 51798150, 539136000, 6060383550, 73322496000, 951480217350, 13198049280000, 195053444556750, 3061947432960000, 50908949029311750, 894088650424320000

0,2

exp（6*arcsin（1/2））是Aleksandr Gelfond的常数exp（Pi）。

G.C.Greubel，<a href=“/A166748号/b166748.txt“>n表，n=0..445时为a（n）</a>

A.R.Povolotsky等人，<A href=“http://groups.google.com/group/sci.math.symbolic/browse_thread/thread/1b5e3b73f1d93b8d/88d5669fc28f3bf8？hl=en#88d5669fc28f3bf8“>关于OEISA166748号</a>，sci.math.symbolic usenet group，2009年

来自的贡献亚历山大·波沃洛茨基，2009年10月24日：（开始）

a（n+2）=（n^2+36）*a（n），a（0）=1，a（1）=6。

上述复发导致

a（n）=（3*2^n*γ（-3*i+n/2）*γ（3*i+n/2）*（cos（（n*Pi）/2）+i*sin。（结束）

a（n）=3*2^（n-1）*（exp（3*Pi）-（-1）^n*exp（-3*Pi-R.J.马塔尔和M.F.哈斯勒2009年10月25日

a（n）~6*（exp（3*Pi）-（-1）^n*exp（-3*Pi））*n^（n-1）/exp（n）-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年11月6日

圆形[表[3*2^（n-1）*（E^（3*Pi）-（-1）^n*E^(*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年11月6日*）

系数列表[Series[Exp[6*ArcSin[x]]，{x，0，20}]，x]*Range[0，20]！(*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年11月6日*）

（PARI）A166748号（n） =圆（范数（γ（n/2+3*I））/Pi*if（n%2，cosh（3*Pi），sinh（3*Pi））*3<<n) \\ _M.F.Hasler，2009年10月25日

（PARI）a（n）=极系数（exp（6*asin（x）），n）*n！

（PARI）a（n）=（1+5*（n%2））*prod（k=0，n\2-1，（2*k+n%2）^2+36）\\杰姆·奥利弗·拉丰，2009年10月28日

囊性纤维变性。A166741号,A006228号,A039661号.

非n,改变

杰姆·奥利弗·拉丰2009年10月21日

次要编辑人瓦茨拉夫·科特索维奇2014年11月6日

经核准的

安德鲁·霍罗伊德：是Robert C.Lyons编辑的！（太慢）

阿洛伊斯·海因茨：是的。。。

例如：exp（6*arcsin（x））。

1, 6, 36, 222, 1440, 9990, 74880, 609390, 5391360, 51798150, 539136000, 6060383550, 73322496000, 951480217350, 13198049280000, 195053444556750, 3061947432960000, 50908949029311750, 894088650424320000

0,2

exp（6*arcsin（1/2））是Aleksandr Gelfond的常数exp（Pi）。

G.C.Greubel，<a href=“/A166748号/b166748.txt“>n表，n=0..445时为a（n）</a>

A.R.Povolotsky等人，<A href=“http://groups.google.com/group/sci.math.symbolic/browse_thread/thread/1b5e3b73f1d93b8d/88d5669fc28f3bf8？hl=en#88d5669fc28f3bf8“>关于OEISA166748号</a>，sci.math.symbolic usenet group，2009年

来自的贡献亚历山大·波沃洛茨基，2009年10月24日：（开始）

a（n+2）=（n^2+36）*a（n），a（0）=1，a（1）=6。

上述复发导致

a（n）=（3*2^n*γ（-3*i+n/2）*γ（3*i+n/2）*（cos（（n*Pi）/2）+i*sin。（结束）

a（n）=3*2^（n-1）*（exp（3*Pi）-（-1）^n*exp（-3*Pi-R.J.马塔尔和M.F.哈斯勒2009年10月25日

a（n）~6*（exp（3*Pi）-（-1）^n*exp（-3*Pi））*n^（n-1）/exp（n）-瓦茨拉夫·科特索维奇2014年11月6日

圆形[表[3*2^（n-1）*（E^（3*Pi）-（-1）^n*E^(*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年11月6日*）

系数列表[系列[Exp[6*ArcSin[x]]，｛x，0，20｝]，x]*范围[0，20]！(*瓦茨拉夫·科特索维奇2014年11月6日*）

（PARI）A166748号（n） =圆（范数（γ（n/2+3*I））/Pi*if（n%2，cosh（3*Pi），sinh（3*Pi））*3<<n）\\[M.F.哈斯勒2009年10月25日]

（PARI）a（n）=polceoff（exp（6*asin（x）），n）*n！

（PARI）a（n）=（1+5*（n%2））*prod（k=0，n\2-1，（2*k+n%2）^2+36) \\ _Jaume Oliver Lafont_，2009年10月28日

囊性纤维变性。A166741号,A006228号,A039661号.

非n,改变

杰姆·奥利弗·拉丰2009年10月21日

次要编辑人瓦茨拉夫·科特索维奇2014年11月6日

经核准的

从单个ON开始的“规则90”基本细胞自动机第n次迭代的二进制表示(黑色)单元格。

1, 101, 10001, 1010101, 100000001, 10100000101, 1000100010001, 101010101010101, 10000000000000001, 1010000000000000101, 100010000000000010001, 10101010000000001010101, 1000000010000000100000001, 101000001010000010100000101, 10001000100010001000100010001

0,2

规则26、82、90、146、154、210和218也产生了这个序列。

S.Wolfram，《一种新的科学》，Wolfram Media，2002年；第55页。

Robert Price，<a href=“/A265172型/b265172.txt“>n表，n=0..999时为a（n）</a>

Eric Weisstein的《数学世界》，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/ElementaryCellularAutomaton.html“>基本元胞自动机</a>

S.Wolfram，<a href=“http://wolframscience.com/“>一种新的科学</a>

<a href=“/index/Ce#cell”>与细胞自动机相关的序列的索引条目</a>

<a href=“https://oeis.org/wiki/Index_to_Elementary_Cellular_Automata网站“>基本元胞自动机索引</a>

规则=90；行数=20；表[FromDigits[Table[Take[CellularAutomaton[rule，{{1}，0}，rows-1，{All，All}][[k]]，{rows-k+1，rows+k-1}]，{k，1，rows}][[k]]，{k,1，rows}]

囊性纤维变性。A070886号.

非n,容易的,改变

罗伯特·普莱斯2015年12月5日

经核准的

安德烈·扎博洛茨基：将名称与其他122个序列统一

由行读取的三角形，给出由“规则73”生成的元胞自动机的连续状态，由单个打开(黑色)单元格。

1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0

0

第n行的长度为2n+1。

S.Wolfram，《一种新的科学》，Wolfram Media，2002年；第55页。

Robert Price，<a href=“/A262448型/b262448.txt“>n表，n=0..9999时为a（n）</a>

Eric Weisstein的《数学世界》，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/ElementaryCellularAutomaton.html“>基本元胞自动机</a>

<a href=“/index/Ce#cell”>与细胞自动机相关的序列的索引条目</a>

<a href=“https://oeis.org/wiki/Index_to_Elementary_Cellular_Automata网站“>基本元胞自动机索引</a>

1; 0,0,0; 1,0,1,0,1; 0,0,0,0,0,0,0; 1,0,1,1,1,1,1,0,1; ...

规则=73；行=20；扁平[表[Take[CellularAutomaton[rule，{{1}，0}，rows-1，{All，All}][[k]]，{rows-k+1，rows+k-1}]，{k，1，rows}]]

囊性纤维变性。A070950型.

非n,标签,容易的,改变

罗伯特·普莱斯2015年11月28日

经核准的

安德烈·扎博洛茨基：将名称与其他111个序列统一

开启的次数(黑色)“规则73”基本细胞自动机第n次迭代中的细胞，从单个ON开始(黑色)单元格。

1, 0, 3, 0, 7, 2, 5, 2, 9, 6, 5, 10, 13, 6, 11, 10, 15, 10, 19, 10, 23, 10, 17, 20, 19, 16, 25, 18, 19, 20, 25, 14, 37, 20, 27, 26, 35, 20, 37, 30, 41, 24, 33, 36, 39, 26, 45, 36, 37, 38, 41, 36, 49, 44, 29, 56, 39, 40, 57, 40, 43, 60, 39, 48, 55, 44, 45, 64

0,3

S.Wolfram，《一种新的科学》，Wolfram Media，2002年；第55页。

Robert Price，<a href=“/A265205型/b265205.txt“>n、a（n）表，n=0..999</a>

Eric Weisstein的《数学世界》，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/ElementaryCellularAutomaton.html“>基本细胞自动机</a>

<a href=“/index/Ce#cell”>与细胞自动机相关的序列的索引条目</a>

<a href=“https://oeis.org/wiki/Index_to_Elementary_Cellular_Automata网站“>基本元胞自动机索引</a>

规则=73；行数=30；表[Total[Table[Take[CellularAutomaton[rule，{{1}，0}，rows-1，{All，All}][[k]]，{rows-k+1，rows+k-1}]，{k，1，rows}][[k]]，{k,1，rows}]

囊性纤维变性。A245549型,A262448型,A265122型,A265156型.

非n,容易的,改变

罗伯特·普莱斯2015年12月4日

经核准的

安德烈·扎博洛茨基：将名称与其他37个序列统一

总开启次数(黑色)“规则73”基本细胞自动机以单个ON开始n次迭代后的细胞(黑色)单元格。

1, 1, 4, 4, 11, 13, 18, 20, 29, 35, 40, 50, 63, 69, 80, 90, 105, 115, 134, 144, 167, 177, 194, 214, 233, 249, 274, 292, 311, 331, 356, 370, 407, 427, 454, 480, 515, 535, 572, 602, 643, 667, 700, 736, 775, 801, 846, 882, 919, 957, 998, 1034, 1083, 1127, 1156

0,3

S.Wolfram，《一种新的科学》，Wolfram Media，2002年；第55页。

Robert Price，<a href=“/A265206型/b265206.txt“>n表，n=0..999时为a（n）</a>

Eric Weisstein的《数学世界》，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/ElementaryCellularAutomaton.html“>基本元胞自动机</a>

<a href=“/index/Ce#cell”>与细胞自动机相关的序列的索引条目</a>

<a href=“https://oeis.org/wiki/Index_to_Elementary_Cellular_Automata网站“>基本元胞自动机索引</a>

规则=73；行数=30；表[Total[Take[Table[Total[表[Take[CellularAutomaton[rule，{{1}，0}，rows-1，{All，All}][[k]]，{rows-k+1，rows+k-1}]，{k，1，rows}][[k]]

囊性纤维变性。A245549型,A262448型,A265122型,A265156型,A265205型.

非n,容易的,改变

罗伯特·普莱斯2015年12月4日

经核准的

安德烈·扎博洛茨基：用39个其他序列统一名称

“规则73”基本细胞自动机第n次迭代的十进制表示打开(黑色)细胞。

1, 0, 21, 0, 381, 136, 5189, 544, 94493, 43176, 1311749, 254944, 24400989, 10617384, 336720133, 59386080, 6262162781, 2688081960, 86425034501, 15602819808, 1602324730205, 689510189096, 22111597905669, 4029655427808, 410123492458845, 176987155003432, 5661487452198661, 1029729726008032, 104994856690270557, 45284638610044968

0,3

S.Wolfram，《一种新的科学》，Wolfram Media，2002年；第55页。

Robert Price，<a href=“/A265156型/b265156.txt“>n，a（n）表，n=0..999</a>

Eric Weisstein的《数学世界》，<a href=“http://mathworld.wolfram.com/ElementaryCellularAutomaton.html“>基本元胞自动机</a>

<a href=“/index/Ce#cell”>与细胞自动机相关的序列的索引条目</a>

<a href=“https://oeis.org/wiki/Index_to_Elementary_Cellular_Automata网站“>基本元胞自动机索引</a>

发件人迈克尔·德弗利格2015年12月4日：（开始）

前12行，左侧显示周围的上下文，中间由初始单元格生成的单元格，右侧的小数等效值，其中前导零丢失：

0 1 -> 1

1 0 0 0 -> 0

0 1 0 1 0 1 -> 21

1 0 0 0 0 0 0 0 -> 0

0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 -> 381

1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 -> 136

0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 -> 5189

1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 -> 544

0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 -> 94493

1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 -> 43176

0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 -> 1311749

1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 -> 254944

0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 -> 24400989

（结束）

规则=73；行数=30；表[FromDigits[Table[Take[CellularAutomaton[rule，{{1}，0}，rows-1，{All，All}][[k]]，{rows-k+1，rows+k-1}]，{k，1，rows}][[k]]

囊性纤维变性。A245549型,A262448型,A265122型.

非n,容易的,改变

罗伯特·普莱斯2015年12月2日

经核准的

安德烈·扎博洛茨基：用107个其他序列统一名称