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| A126216号 |
| 行读取的三角形：T（n，k）是半长n的Schroeder路径数，其中正好包含k个峰值，但在一级没有峰值（n>=1；0<=k<=n-1）。 |
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17
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1, 2, 1, 5, 5, 1, 14, 21, 9, 1, 42, 84, 56, 14, 1, 132, 330, 300, 120, 20, 1, 429, 1287, 1485, 825, 225, 27, 1, 1430, 5005, 7007, 5005, 1925, 385, 35, 1, 4862, 19448, 32032, 28028, 14014, 4004, 616, 44, 1, 16796, 75582, 143208, 148512, 91728, 34398, 7644, 936, 54, 1
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,2
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评论
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半长n的Schroeder路径是第一象限中从原点到点（2n，0）的晶格路径，由步骤U=（1,1）、D=（1，-1）和H=（2,0）组成。
另外，半长n的Schroeder路径数在0级（n>=1；0<=k<=n-1）正好包含k个双峰，但没有（2,0）步。还有半长n的双色双色Dyck路径（双色有两种颜色；也称为标记Dyck路）的数量，并且具有给定颜色的k个双色（n>=1；0<=k<=n-1）。此外，[2n]上12312和121323个无效匹配的数量正好有k个交叉点。
本质上是由[1,1,1,1,1,1,1,1,1，…]DELTA[0,1,0,1,0,0,1,1,1，…]给出的三角形，其中DELTA是在A084938号-菲利普·德尔汉姆2007年10月20日
有关拉格朗日反演或级数反演以及结合面体或斯塔舍夫多边形（以及其他组合对象）的几何关系，请参见A133437号-汤姆·科普兰2008年9月29日
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链接
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W.Y.C.Chen、T.Mansour和S.H.F.Yan，避免部分模式的匹配《组合数学电子杂志》，2006年第13期，#112，定理3.3。
Rosena R.X.Du、Xiaojie Fan、Yue Zhao、，形状2 X n的行递增表上的枚举，arXiv:1803.01590[math.CO]，2018年。
Jean-Christophe Novelli和Jean-Yves Thibon，对偶代数与拉格朗日反演，arXiv预印本arXiv:1209.5959[math.CO]，2012。
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配方奶粉
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T（n，k）=C（n，k）*C（2*n-k，n+1）/n（0<=k<=n-1）。
G.f.：G（t，z）=（1-2*z-t*z-sqrt（1-4*z-2*t*z+t^2*z^2））/（2*（1+t）*z）。
通用公式：1/（1-x-（x+xy）/（1-xy/（1-（x+xy）/（1-xy/（1-x+xy）/（-1-xy/（-1-….（连分数））-保罗·巴里2009年2月6日
使用多项式
P（0，t）=0
P（1，t）=1
P（2，t）=1
P（3，t）=2+t
P（4，t）=5+5 t+t^2
P（5，t）=14+21t+9t^2+t^3
o.g.f.A（x，t）=（1+x*t-sqrt（（1-x*t）^2-4x））/（2（1+t）），以及
B（x，t）=x-x ^2/（1-t*x）=x-x ^2-（（t*x）^3+（t*x）^4+…）/t^2是x中的成分反转汤姆·科普兰，2019年12月10日]
设h（x，t）=1/（dB/dx）=（1-tx）^2/（1-（t+1）（2x-tx^2））=1/（1-2x-3tx^2+4t^2x^3+…）。然后P（n，t）=（1/n！）（h（x，t）*d/dx）^n x，在x=0时求值，A=exp（x*h（u，t）*d/du）u，在u=0时求值，dA/dx=h（A（x，t），t）。（结束）
上面我2011年公式条目中的多项式计算为加泰罗尼亚数字的充气交替符号序列A000108号t=-2。前几个是P（2，-2）=1，P（3，-2）=0，P（4，t）=-1，P（5，-2）=0，P。
在第32-34页的Mizera中，将w=θ和u=φ之间的关系推广为w=i*B（-i*u，t）=u+i*u^2/（1+i*t*u），其中i是虚数，u=i*A（-i*w，t）=i*（1-i*w*t-sqrt（（1+i*w*t）^2+i*4*w））/（2（1+t））。然后，Mizera中V'（w）的表达式推广到V'（w）=-i*（w-u），并在t=-2处求值时，减少到V’（w）=（1-sqrt（1-4w^2））/2，这是一个o.g.fA126120号参见A086810型.（结束）
求和{k=0..n-1}（-1）^k*T（n，k）*二项式（x+2*n-k，2*n-k）=（（x+1）*（乘积{k=2..n}（x+k）^2）*（x+n+1））/（n！*（n+1）！）对于n>=1。囊性纤维变性。A243660型和A243661型-彼得·巴拉，2022年10月8日
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例子
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T（3,1）=5，因为我们有HUUDD、UUDDH、UUUDDD、UHUDD和UUDHD。
三角形开始：
否0 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1;
2 2, 1;
3 5, 5; 1;
4 14, 21, 9, 1;
5 42、84、56、14、1；
6 132, 330, 300, 120, 20, 1;
7 429, 1287, 1485, 825, 225, 27, 1;
8 1430, 5005, 7007, 5005, 1925, 385, 35, 1;
9 4862, 19448, 32032, 28028, 14014, 4004, 616, 44, 1;
10 ...
三角形[1,1,1,1,1,1,1，…]三角形[0,1,0,1,0,0,1,1,1，…]开始于：
1;
1, 0;
2、1、0；
5, 5, 1, 0;
14, 21, 9, 1, 0;
42, 84, 56, 14, 1, 0;
...
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枫木
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T： =（n，k）->二项式（n，k）*二项式以三角形形式生成序列
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数学
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表[二项式[n，k]二项式[2n-k，n+1]/n，{n，10}，{k，0，n-1}]//展平(*迈克尔·德弗利格2016年1月9日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）表（nn）={mP=矩阵（nn，nn，n，k，二项式（n-1，k-1）\\米歇尔·马库斯2015年4月16日
（PARI）
t（n，k）=二项（n，k）*二项（2*n-k，n+1）/n；
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交叉参考
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关键词
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作者
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经核准的
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