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| A065097号 |
| a（n）=（2n+1）+（2n-1）-1）/（（2n+1）*（2n-1）！）。 |
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27
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1, 1, 7, 66, 715, 8398, 104006, 1337220, 17678835, 238819350, 3282060210, 45741281820, 644952073662, 9183676536076, 131873975875180, 1907493251046152, 27767032438524099, 406472021074865382, 5979899192930226746, 88366931393503350700, 1311063521138246054410
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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偏移
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0,3
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评论
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使用连续奇数的加泰罗尼亚式公式。回想一下加泰罗尼亚语数字(A000108号)由（n+1）+（n）-1）给出/（（n+1）！（n） ！）。
a（n）=Dyck（2n）-路径的数量（即，半长=2n），其所有内部返回地面的路径（如果有）都发生在（2n-2）-第二步或之前，也就是说，它们严格发生在路径的中点之前。
例如，a（2）=7统计UUUDDD、UUUDUDD、UUDUDDD，UUDUDUDD，UUUDDUDD，UD。UUUDDD、UD。UUDUDD（“.”表示内部返回地面）。
由于Emeric Deutsch，由E->E，UPDQ->UQDP定义（其中E是空的Dyck路径；U=upstep，D=downstep和P，Q是任意Dyck路），因此Dyck路上的对合立即产生，因为对合在Dyck（2n）路径上是固定无点的，并且包含在每个轨道中计数的类型的一条路径。
a（n）=和{k=0..n-1}C（2n-1-2k）*C（2k）。这个恒等式有以下组合解释：
a（n）是奇数GL标记的Dyck（2n-1）-路径的数目。对于某些奇数i>=1（路径从原点开始），奇数GL顶点是位于位置（2i，0）的顶点。标记为odd-GL的Dyck路径是一条标记了其其中一个奇-GL顶点的Dycl路径。例如，a（2）=7统计UUUDDD*、UUDUDD*、UD*UUDD、UDUUDD*，UD*UDUD、UDUDUD*、UDUDDU*、UUDDUD*（*表示标记的奇数-GL顶点）。（结束）
设x=p/q是p，q>0的约化形式的正有理数。定义类别（x）=（1/（2*p+q））*二项式（2*p+q，p）。则Cat（n）=加泰罗尼亚语（n）。这个序列是Cat（n+1/2）=（1/（4*n+4））*二项式（4*n+4，2*n+1）。囊性纤维变性。A265101型（类别（n+1/3），A265102型（类别（n+1/4））和A265103型（类别（n+1/5））。
有理结合面体Ass的最大面数（2*n+1，2*n+3）。从（0，0）到（2*n+3，2*n+1）的晶格路径数，使用形式为（1，0）和（0，1）的步骤，并保持在直线y=（2*n+1）/（2*n+3）*x之上。参见Armstrong等人（完）
还有具有2n个节点的有序根树的数量，其中大多数是叶子，即A358585型这是根据下面的Callan公式得出的-古斯·怀斯曼2022年11月27日
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链接
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D.Armstrong、B.Rhoades和N.Williams，合理的关联分区和非交叉分区arxiv:1305.7286[math.CO]，2008年。
Emeric Deutsch公司，Dyck路的对合及其结果，离散数学。，204（1999），编号1-3，163-166。
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配方奶粉
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a（n）=二项式（4*n-1，2*n-1）/（2*n+1）。
总面积：1/2+（平方（2）/2）/平方（1+平方（1-16*x））-弗拉德塔·乔沃维奇2003年9月26日
镀锌：1+3F2（[1，5/4，7/4]，[2，5/2]，16*x）-奥利维尔·杰拉德2011年2月16日
O.g.f:（1+（cata（sqrt（x））+cata（-sqrt（x）））/2）/2，加泰罗尼亚数字的O.g.f.cata（x）。请参阅上面的W.Lang评论-沃尔夫迪特·朗2012年1月5日
a（n）=超几何（[1-2*n，-2*n]，[2]，1）/2-彼得·卢什尼2014年9月22日
n*（2*n+1）*a（n）-2*（4*n-1）*（4*n-3）*（n-1）=0-R.J.马塔尔2015年10月31日
O.g.f.为1+还原（x*（1+x）/（1+2*x）^4）-彼得·巴拉2015年12月1日
求和{n>=0}1/a（n）=39/25+4*Pi/（9*sqrt（3））-24*log（phi）/（25*sqert（5）），其中phi是黄金比率(A001622号). -阿米拉姆·埃尔达尔2023年3月2日
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例子
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总尺寸：1+x+7*x^2+66*x^3+715*x^4+8398*x^5+104006*x^6+。。。
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MAPLE公司
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seq（二项式（4*n-1，2*n-1）/（2*n+1），n=0..30）#罗伯特·伊斯雷尔2015年12月8日
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数学
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a[n_]：=如果[n<1，0，二项式[4 n-1，2 n-1]/（2 n+1）]；(*迈克尔·索莫斯，2014年10月25日*）
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黄体脂酮素
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（MuPAD）组合：：dyckWords:：count（2*n）/2$n=1..26//零入侵拉霍斯2007年4月25日
（PARI）｛对于（n=1100，a=（4*n-1）！/（（2*n+1）！*（2*n-1）！）；写入（“b065097.txt”，n，“”，a）｝\\哈里·史密斯2009年10月7日
（PARI）向量（100，n，二项式（4*n-1，2*n-1）/（2*n+1））\\阿尔图·阿尔坎2015年12月8日
（圣人）
（岩浆）[二项式（4*n-1，2*n-1）/（2*n+1）：n in[1..20]]//文森佐·利班迪2015年12月9日
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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经核准的
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