A008282-OEIS公司

A008282号

行读取的Euler-Bernoulli或Entringer数三角形：T（n，k）是n+1从k+1开始的向下向上排列数。

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 4, 5, 5, 5, 10, 14, 16, 16, 16, 32, 46, 56, 61, 61, 61, 122, 178, 224, 256, 272, 272, 272, 544, 800, 1024, 1202, 1324, 1385, 1385, 1385, 2770, 4094, 5296, 6320, 7120, 7664, 7936, 7936, 7936, 15872, 23536, 30656, 36976, 42272, 46366, 49136, 50521, 50521

(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

1,5

参考文献

R.C.Entringer，Euler和Bernoulli数的组合解释，Nieuw Archief voor Wiskunde，14（1966），241-246。

链接

莱因哈德·祖姆凯勒（Reinhard Zumkeller），行n=三角形的1..120，展平

V.I.阿诺德，蛇的演算与Coxeter群的Bernoulli数、Euler数和Springer数的组合乌斯佩基·马特·诺克。，47（#1，1992），3-45=俄罗斯数学。调查，第47卷（1992），1-51。

J.L.Arregui，通过数值三角形与Motzkin数和Catalan数相关的正切数和伯努利数，arXiv:math/0109108[math.NT]，2001年。

B.Bauslaugh和F.Ruskey，按字典顺序生成交替排列，Nordisk Tidskr。信息行为（BIT）30 16-26 1990。

卡罗琳娜·贝内德蒂（Carolina Benedetti）、拉斐尔·冈萨雷斯·德莱恩（Rafael S.González D'León）、克里斯托弗·哈努萨（Christopher R.H.Hanusa）、帕梅拉·哈里斯（Pamela E.Harris）、阿波尔瓦·哈雷（Apoorva Khare），焦糖多面体的体积，Séminaire Lotharingien de Combinatoire XX（2018），文章#YY，第30届形式幂、级数和代数组合学会议记录（汉诺威），2018。

Beáta Bényi和Péter Hajnal，多贝努利数和欧拉数，arXiv:1804.01868[math.CO]，2018年。

尼尔·J·Y·范和廖何，布尔格的完备cd-Index，电子。J.Combina.，22（2015），#P2.45。

Dominique Foata和Guo-Niu Han，塞德尔三角序列与双入口数，2013年11月20日。

Dominique Foata和Guo-Niu Han，塞德尔三角序列与双入口数《欧洲组合数学杂志》，42（2014），243-260。[见结论1.3。在方程式（1.10）中，x的幂应该是k-1而不是k。]

Dominique Foata和Guo-Niu Han，安德烈置换演算；一个双Seidel矩阵序列，arXiv:1601.04371[math.CO]，2016年。

B.Gourevitch，皮尤大学.

G.Kreweras，与托托相容的地方，数学。科学。Humaines第53号（1976），5-30。

J.Millar、N.J.A.Sloane和N.E.Young，《序列的新操作：Boutrophedon变换》，J.Combina.理论，17A（1996）44-54(摘要,pdf格式,秒).

C.Poupard，新义的含义e nombres d’Entringer的数字，离散数学。, 38 (1982), 265-271.

C.Poupard，Entringer数的另外两种解释，欧洲组合学会。 18 (1997) 939-943.

维基百科，Boutrophedon变换.

与boutrophedon变换相关的序列的索引项

配方奶粉

发件人Emeric Deutsch公司2004年5月15日：（开始）

设E[j]=A000111号（j） =j！*[x^j]（秒（x）+tan（x））是向上/向下或Euler数。对于1<=k<n，

T（n，k）=和{i=0..floor（（k-1）/2）}（-1）^i*二项式（k，2*i+1）*E[n-2*i-1]；

T（n，k）=和{i=0..floor（（n-k）/2）}（-1）^i*二项式（n-k，2*i）*E[n-2*i]；

T（n，k）=和{i=0..floor（（n-k）/2）}（-1）^i*二项式（n-k，2*i）*E[n-2*i]；和

当n>=1时，T（n，n）=E[n]。（结束）

发件人Petros Hadjicostas公司2021年2月17日：（开始）

如果n是偶数，那么T（n，k）=k！*（n-k）！*[x^（n-k），y^k]cos（x）/cos（x+y）。

如果n是奇数，那么T（n，k）=k！*（n-k）！*[x^k，y^（n-k）]sin（x）/cos（x+y）。

（这些公式根据Foata和Guo-Niu Han（2014）的推论1.3中的公式进行了调整和修正。)（结束）

Masanobu Kaneko的评论：（开始）

适用于所有n（偶数和奇数）的生成函数：

求和{n=0..oo}求和{k=0..n}T（n，k）x^（n-k）/（n-k！*y^k/k！={cosx+siny}/cos（x+y）。

（结束）-N.J.A.斯隆2022年2月6日

例子

三角形T（n，k）（行n>=1，列k=1..n）开始

1 1

1 2 2

2 4 5 5

5 10 14 16 16

16 32 46 56 61 61

...

每一行由前一行的部分和构成，从右侧读取并重复最后一项。

T（4,3）=5，因为我们有41325、41523、42314、42513和43512。所有这些排列的长度都是n+1=5，从k+1=4开始，它们是向下向上排列。

MAPLE公司

f： =系列（秒（x）+tan（x），x=0，25）：E[0]：=1:对于从1到20的n，执行E[n]：=n！*系数（f，x^n）od:T:=proc（n，k）如果k<n，则求和（（-1）^i*二项式（k，2*i+1）*E[n-2*i-1]，i=0..floor（（k-1）/2））elif k=n，则E[n]否则为0 fi结束：seq（seq（T（n，k），k=1..n），n=1.10）；

#或者：

T:=proc（n，k）选项记忆；如果k=0，则`if`（n=0，1，0）else

T（n，k-1）+T（n-1，n-k）最终：

对于从1到6的n，做序列（T（n，k），k=1..n）od； #彼得·卢施尼2017年8月3日

#第三个程序：

T:=proc（n，k）local w:如果0=n mod 2，则w:=coeftayl（cos（x）/cos（x+y），[x，y]=[0，0]，[n-k，k]）：结束条件：如果1=n mod2，则w：=coeftayl！*k！：结束进程：

对于从1到6的n，做序列（T（n，k），k=1..n）od； #Petros Hadjicostas公司，2021年2月17日

数学

ro[1]={1}；ro[n_]：=ro[n]=（s=累加[Reverse[ro[n-1]]；追加[s，Last[s]]）；扁平[表格[ro[n]，{n，1，10}]](*Jean-François Alcover公司2011年10月3日*）

nxt[lst_]：=模块[{lst2=累加[Reverse[lst]]}，扁平[Join[{lst2，Last[lst2]}]]；扁平[NestList[nxt，{1}，10]](*哈维·P·戴尔2014年8月17日*）

黄体脂酮素

（哈斯克尔）