%I#2022年2月6日90 12:42:10

%S 1,1,1,2,2,2,4,5,5,10,14,16,16,16，16,32,46,61,6112178224，

%电话：2562722725448001024120213241385138513851277045296，

%电话：632071207664793679361587223536306563697642272466491365052150521

%行读取的Euler-Bernoulli或Entringer数的N三角形：T（N，k）是N+1从k+1开始的向下向上排列数。

%D R.C.Entringer，Euler和Bernoulli数的组合解释，Nieuw Archief voor Wiskunde，14（1966），241-246。

%H Reinhard Zumkeller，<a href=“/A008282/b008282.txt”>三角形的行n=1.120，扁平</a>

%H V.I.Arnold，<a href=“http://mi.mananet.ru/eng/umn4470“>蛇的微积分和Coxeter群的Bernoulli、Euler和Springer数的组合。

%H J.L.Arregui，<a href=“http://arXiv.org/abs/math.NT/0109108“>Tangent和Bernoulli数通过数字三角形与Motzkin和Catalan数相关</a>，arXiv:math/0109108[math.NT]，2001。

%H B.Bauslaugh和F.Ruskey，<a href=“http://dx.doi.org/10.1007/BF01932127“>按字典顺序生成交替排列</a>，Nordisk Tidskr.Informationsbehandling（BIT）30 16-26 1990。

%H Carolina Benedetti、Rafael S.González D’León、Christopher R.H.Hanusa、Pamela E.Harris、Apoorva Khare、Alejandro H.Morales和Martha Yip，<a href=“https://www.cs.ox.ac.uk/people/dan.olteanu/papers/mo-amw18.pdf“>caracol多面体的卷</a>，Séminaire Lotharingien de Combinatoire XX（2018），文章#YY，第30届形式幂、级数和代数组合学会议记录（汉诺威），2018。

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%H Dominique Foata和Guo-Niu Han，<a href=“网址：http://www-irma.u-strasbg.fr/~foata/paper/pub123Seidel.pdf“>Seidel三角序列和双分位数</a>，2013年11月20日。

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%H Dominique Foata和Guo-Niu Han，<a href=“http://arxiv.org/abs/1601.04371“>André置换微积分；一个双Seidel矩阵序列，arXiv:1601.04371[math.CO]，2016。

%H B.Gourevitch，<a href=“网址：http://www.pi314.net“>《Pi世界》。

%H G.Kreweras，<a href=“http://archive.numdam.org/article/MSH_1976__53__5_0.pdf“>Les préordres totaux compatibles avec un ordre partiel</a>，《数学科学》第53期（1976年），第5-30页。

%H J.Millar、N.J.A.Sloane和N.E.Young，《序列的新操作：Boutrophedon变换》，《组合理论》，17A（1996）44-54（<A href=“http://neilsloane.com/doc/bous.txt“>摘要，<a href=”http://neilsloane.com/doc/bous.pdf“>pdf</a>，<a href=”http://neilsloane.com/doc/bous.ps“>ps</a>）。

%H C.Poupard，<a href=“http://dx.doi.org/10.1016/0012-365X（82）90293-X“>De nouvelles signationsénumerities des nombres d’Entringer，《离散数学》，38（1982），265-271。

%H C.Poupard，<a href=“http://dx.doi.org/10.1006/eujc.1997.0147“>对Entringer数的两种其他解释，《欧洲期刊》Combinat.18（1997）939-943。

%H维基百科，<a href=“https://en.wikipedia.org/wiki/Boutrophedon_transform（英文）“>Boutrophedon变换。

%H<a href=“/index/Bo#boutrophedon”>与boutropheredon变换相关的序列的索引项</a>

%F From _Emeric Deutsch_，2004年5月15日：（开始）

%F设E[j]=A000111（j）=j！*[x^j]（秒（x）+tan（x））是向上/向下或Euler数字。对于1<=k<n，

%F T（n，k）=和{i=0..floor（（k-1）/2）}（-1）^i*二项式（k，2*i+1）*E[n-2*i-1]；

%F T（n，k）=和{i=0..floor（（n-k）/2）}（-1）^i*二项式（n-k，2*i）*E[n-2*i]；

%F T（n，k）=和{i=0..floor（（n-k）/2）}（-1）^i*二项式（n-k，2*i）*E[n-2*i]；和

%对于n>=1，F T（n，n）=E[n]。（结束）

%F From _Petros Hadjicostas，2021年2月17日：（开始）

%如果n是偶数，那么T（n，k）=k*（n-k）*[x^（n-k），y^k]cos（x）/cos（x+y）。

%如果n是奇数，那么T（n，k）=k*（n-k）*[x^k，y^（n-k）]sin（x）/cos（x+y）。

%F（这些是根据Foata和Guo-Niu Han（2014）的推论1.3中的公式改编和修正的。）（结束）

%F Masanobu Kaneko的评论：（开始）

%F适用于所有n（偶数和奇数）的生成函数：

%F Sum_｛n=0..oo｝Sum_｛k=0..n｝T（n，k）x^（n-k）/（n-k）！*y^k/k！={cosx+siny}/cos（x+y）。

%F（结束）-N.J.A.Sloane，2022年2月6日

%e三角形T（n，k）（行n>=1，列k=1..n）开始

%第1页

%e 1 1

%e 1 2 2

%e 2 4 5 5

%e 5 10 14 16 16

%电子16 32 46 56 61 61

%e。。。

%e每一行由前一行的部分和构成，从右侧读取并重复最后一项。

%e T（4,3）=5，因为我们有41325、41523、42314、42513和43512。所有这些排列的长度都是n+1=5，从k+1=4开始，它们是向下向上排列。

%p f：=系列（秒（x）+tan（x），x=0,25）：E[0]：=1：对于从1到20的n，执行E[n]：=n*系数（f，x^n）od:T:=proc（n，k）如果k<n，则求和（（-1）^i*二项式（k，2*i+1）*E[n-2*i-1]，i=0..floor（（k-1）/2））elif k=n，则E[n]否则为0 fi结束：seq（seq（T（n，k），k=1..n），n=1.10）；

%p#或者：

%p T：=proc（n，k）选项记住；如果k=0，则`if`（n=0，1，0）else

%p T（n，k-1）+T（n-1，n-k）f端：

%对于从1到6的n，p按顺序（T（n，k），k=1..n）od；#_Peter Luschny_，2017年8月3日

%p#第三个程序：

%p T：=proc（n，k）local w：如果0=n mod 2，则w：=coeftayl（cos（x）/cos（x+y*k！：结束进程：

%对于从1到6的n，p按顺序（T（n，k），k=1..n）od；#_Petros Hadjicostas，2021年2月17日

%tro[1]={1}；ro[n_]：=ro[n]=（s=累加[Reverse[ro[n-1]]；追加[s，Last[s]]）；扁平[表[ro[n]，{n，1，10}]]（*_Jean-François Alcover_，2011年10月3日*）

%t nxt[lst_]：=模块[{lst2=累加[Reverse[lst]]}，扁平[Join[{lst2，Last[lst2]}]]；Flatten[NestList[nxt，{1}，10]]（*哈维·P·戴尔，2014年8月17日*）

%o（哈斯克尔）

%o a008282 n k=a008282_tabl！！（n-1）！！（k-1）

%o a008282_row n=a008282_tabl！！（n-1）

%o a008282_tabl=迭代f[1]，其中

%o f xs=zs++[last zs]其中zs=scanl1（+）（反向xs）

%o--_Reinhard Zumkeller_2011年12月28日

%Y参见A010094、A000111、A099959、A009766、A236935。

%K nonn，tabl，简单，不错

%O 1,5型

%A _N.J.A.斯隆_

%E示例和公式部分由_Petros Hadjicostas_编辑，2021年2月17日