登录
OEIS由OEIS基金会的许多慷慨捐赠者.

 

标志
提示
(来自的问候整数序列在线百科全书!)
搜索: a008282-编号:a008283
显示找到的21个结果中的1-10个。 第页12
    排序:关联|参考文献||被改进的|创建     格式:长的|短的|数据
A064192号 一个三角形,其中的行是A008282号. +20
2
1, 1, 1, 2, 1, 2, 5, 2, 5, 4, 16, 5, 16, 10, 14, 61, 16, 61, 32, 56, 46, 272, 61, 272, 122, 256, 178, 224, 1385, 272, 1385, 544, 1324, 800, 1202, 1024, 7936, 1385, 7936, 2770, 7664, 4094, 7120, 5296, 6320, 50521, 7936, 50521, 15872, 49136, 23536, 46366, 30656, 42272, 36976 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,4
评论
该三角形出现在链接参考的第24页上,由命题5.6定义。
链接
阿洛伊斯·海因茨,行n=1..141,扁平
例子
1;
1, 1;
2, 1, 2;
5, 2, 5, 4;
16, 5, 16, 10, 14;
61、16、61、32、56、46;
272, 61, 272, 122, 256, 178, 224;
1385, 272, 1385, 544, 1324, 800, 1202, 1024;
...
交叉参考
第一列给出A000111号.
主对角线给出A005437号.
囊性纤维变性。A008282号.
关键词
非n,表格,容易的
作者
N.J.A.斯隆2001年9月21日
扩展
更多术语来自大卫·沃瑟曼2002年7月16日
新偏移1自阿洛伊斯·海因茨2023年4月28日
状态
已批准
A000111号 Euler或上/下数字:例如f.秒(x)+tan(x)。同样对于n>=2,n个字母上交替排列数的一半(A001250号).
(原名M1492 N0587)
+10
327
1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, 370371188237525, 4951498053124096, 69348874393137901, 1015423886506852352, 15514534163557086905, 246921480190207983616, 4087072509293123892361 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,4
评论
“之字形”偏序集的线性扩展数。见第3章,问题。斯坦利23岁-米奇·哈里斯2005年12月27日
n个顶点上增加的0-1-2棵树的数量-大卫·卡伦2006年12月22日
还有分区细化的数量Heinz-Richard Halder(Halder.bichl(AT)t-online.de),2008年3月7日
比率a(n)/n!也是n个数x1,x2,…的概率,。。。,在[0,1]中均匀独立随机选择的xn满足x1>x2<x3>x4<。。。x个-彼得罗·马杰,2009年7月13日
对于n>=2,a(n-2)=具有以下性质的有序n集{x_1<…x_n}的置换数w:w(1)=x_n,w(n)=x_{n-1},w。如果将第三个条件替换为w(2)<w(n-1),则计数不变-杰里米·马丁2010年3月26日
n+1级之字形排列被最小的或最大的(以后面的为准)分割。该划分与增加1-2棵n阶树具有相同的递归关系,通过归纳,双射如下-文锦Woan2011年5月6日
从FORMULA部分中给出的渐近性可以看出,一个具有lim_{n->oo}2*n*a(n-1)/a(n)=Pi;看见A132049号/A132050型对于简化分数-M.F.哈斯勒2013年4月3日
a(n+1)是三角形中第n行的和A008280号. -莱因哈德·祖姆凯勒2013年11月5日
M.Josuat-Verges、J.-C.Novelli和J.-Y.Thibon(2011)对欧拉数和交替排列之间的双射进行了深远的推广-N.J.A.斯隆2015年7月9日
避开模式T321的树架数量。树架是有序的二进制(0-1-2)递增树,其中每个子级都通过左链接或右链接连接到其父级,请参见A278678型更多定义和示例-谢尔盖·柯吉佐夫2016年12月24日
序列数(e(1)。。。,e(n-1)),0<=e(i)<i,这样三项都不相等。[Corteel、Martinez、Savage和Weselcouch]的定理7-埃里克·施密特2017年7月17日
“心身”二象性下具有n个顶点的自对偶边标记树的数目。还有具有n个顶点的自对偶根边标记树的数量。请参阅下面链接的我的论文-尼科斯·阿波斯托拉基斯,2018年8月1日
比率a(n)/n!是凸多面体的体积,定义为[0,1]^n中的(x_1,…,x_n)集,其中x_i+x_{i+1}<=1表示每1<=i<=n-1;查看麦克唐纳和内尔森对艾默尔的解决方案。数学。以下提到的每月问题-桑杰·拉马萨米2018年11月2日
{0,1,…,n}上的总循环次数,使得三元组(i-1,i,i+1)每1<=i<=n-1为正方向;请参阅下面链接的我关于循环订单的论文-桑杰·拉马萨米2018年11月2日
具有n+1叶的二进制、根、未标记历史的数量(遵循Rosenberg 2006的定义)。也被称为Tajima树、Tajima系谱,或二元、有根、未标记排名树(Palacios等人,2015年)。有关证据,请参见Disanto&Wiehe(2013)-诺亚·A·罗森博格2019年3月10日
发件人古斯·怀斯曼,2019年12月31日:(开始)
此外,具有n+1个不同原子和最大深度的非同构平衡约化多系统的数量。平衡约化多系统或者是有限多集,或者是具有平衡约化多重系统的至少两个部分(并非所有部分都是单子)的多集划分。标记的版本为A006472号例如,a(0)=1到a(4)=5多系统的非同构表示为(逗号省略):
{1} {12} {{1}{23}} {{{1}}{{2}{34}}} {{{{1}}}{{{2}}{{3}{45}}}}
{{{12}}{{3}{4}}} {{{{1}}}{{{23}}{{4}{5}}}}
{{{{1}{2}}}{{{3}}{{45}}}}
{{{{1}{23}}}{{{4}}{{5}}}}
{{{{12}}}{{{3}}{{4}{5}}}}
同时,还计算了具有n+1等原子和最大深度的平衡约化多系统的数量。这可能是海因茨·里查德·哈尔德评论的意思(另请参阅A002846号,A213427号,A265947型). 非最大深度版本为A318813型例如,a(0)=1到a(4)=5多系统是(逗号省略):
{1} {11} {{1}{11}} {{{1}}{{1}{11}}} {{{{1}}}{{{1}}{{1}{11}}}}
{{{11}}{{1}{1}}} {{{{1}}}{{{11}}{{1}{1}}}}
{{{{1}{1}}}{{{1}}{{11}}}}
{{{{1}{11}}}{{{1}}{{1}}}}
{{{{11}}}{{{1}}{{1}{1}}}}
(结束)
参考文献
M.D.Atkinson:部分序和比较问题,第十六届东南组合数学、图论和计算会议,(博卡拉顿,1985年2月),国会数值47,77-88。
Miklos Bona,编辑,《枚举组合学手册》,CRC出版社,2015年,第34页,第932页。
L.Comtet,《高级组合数学》,Reidel,1974年,第258-260页,第11节。
F.N.David、M.G.Kendall和D.E.Barton,《对称函数和联合表》,剑桥,1966年,第262页。
Bishal Deb和Alan D.Sokal,推广Genocchi数和Genocchi-数中值的一些多元多项式的经典连分式,arXiv:2212.072322022年12月14日。
H.Doeriry,《初等数学100大问题》,纽约州多佛,1965年,第66页。
O.Heimo和A.Karttunen,《8、9和10步中的系列帮助伙伴》(问题2901、2974-2976),《芬兰国际象棋问题学会会议录》第60卷,第2/2006号,第75、77页。
S.K.Jha,交替排列数的同余,密苏里数学杂志。科学。,33(2021年第1期),99-104
L.B.W.Jolley,《级数求和》。第2版,纽约州多佛市,1961年,第238页。
S.Mukai,不变量和模简介,剑桥,2003;见第444页。
E.Netto,Lehrbuch der Combinatorik。第二版,Teubner,Leipzig,1927年,第110页。
C.A.Pickover,《数学书》,斯特林,纽约,2009年;见第184页。
N.J.A.Sloane,《整数序列手册》,学术出版社,1973年(包括该序列)。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
R.P.Stanley,枚举组合数学,剑桥,1997年第1卷和1999年第2卷;参见问题5.7。
链接
Seiichi Manyama,n=0..485的n,a(n)表(N.J.A.Sloane的术语0..199)
安德烈爵士,交替排列的梅云纹,J.数学。采购。申请。,7 (1881), 167-184.
尼科斯·阿波斯托拉基斯,标记图和因子分解的对偶及其在图嵌入和Hurwitz枚举中的应用,arXiv:1804.01214[math.CO],2018年。
Joerg Arndt,计算事项(Fxtbook)第281-282页。
V.I.阿诺德,与函数奇点相关的伯努利-埃勒上下数及其组合和算术杜克大学数学系。J.63(1991),537-555。
J.L.Arregui,通过数字三角形与Motzkin和Catalan数相关的正切数和Bernoulli数,arXiv:math/0109108[math.NT],2001年。
M.D.Atkinson,锯齿排列和相邻元素的比较《信息处理快报》21(1985),187-189。
斯特凡诺·巴贝罗(Stefano Barbero)、翁贝托·塞鲁蒂(Umberto Cerruti)和纳迪尔·穆鲁(Nadir Murru),Hurwitz级数环的一些组合性质arXiv:1710.05665[math.NT],2017年。
Jean-Luc Baril、Sergey Kirgizov和Vincent Vajnovszki,树丛中的图案,arXiv:161107793[cs.DM],2016年。
保罗·巴里,关于三类由圆函数定义的正交多项式及其矩序列的注记《整数序列杂志》,第15卷(2012年),第12.7.2号。
B.Bauslaugh和F.Ruskey,按字典顺序生成交替排列,Nordisk Tidskr。信息行为(BIT)30 16-26 1990。
F.Bergeron、M.Bousquet-Mélou和S.Dulucq,合成偏序集中的标准路径,《科学年鉴》。数学。魁北克,第19页(1995年),第2期,第139-151页。
O.Bodini、M.Dien、X.Fontaine、A.Genitrini和H.K.Hwang,增加钻石2016年4月11日至15日,第12届拉丁美洲研讨会,墨西哥恩塞纳达,2016年拉丁美洲,会议记录第207-219页,DOI 10.1007/978-3662-49529-2-16;计算机科学系列讲座笔记第9644卷。
J.M.Borwein和S.T.Chapman,我更喜欢皮:美国数学月刊简史和文章选集阿默尔。数学。月刊,122(2015),195-216。
格雷厄姆·布莱维尔、杰拉德·科恩、伊曼纽拉·法希尼、玛丽安·费尔索恩、János Körner、加博尔·西蒙尼和阿尔格内斯·托斯,有向无限路族的置换容量,SIAM J.离散数学。24(2010),第2期,441-456。
Peter J.Cameron和Liam Stott,树木和周期,arXiv:2010.14902[math.CO],2020年。见第12页。
Lorenzo Cappello和Julia A.Palacios,多分辨率Kingman Tajima合并计数的序贯重要性抽样,arXiv:1902.05527[stat.AP],2019年。
Swee Hong Chan和Igor Pak,计数巧合的计算复杂性,arXiv:2308.10214[math.CO],2023年。见第16页。
陈晓敏、张晓凯、孙建清、胡晓波和叶延宁,与正交多项式相关的三个半离散可积系统及其广义行列式解《非线性》,第28卷第7期,2015年6月8日。
Suyoung Choi、B.Park和H.Park,与B型Weyl腔相关的实复曲面品种的Betti数,arXiv预印本arXiv:1602.05406[math.AT],2016。
Choi Suyoung和Yoon Younghan,实置换面簇的上同调环,arXiv:2308.12693[math.AT],2023年。
肖恩·克利里(Sean Cleary)、马雷克·菲舍尔(Mareike Fischer)、罗伯特·格里菲斯(Robert C.Griffiths)和拉泽什·赛努丁(Raazesh Sainudiin),有限根二叉树上的一些分布,UCDMS研究报告编号:UCDMS2015/2,坎特伯雷大学数学与统计学院,新西兰基督城,2015年。
C.K.Cook、M.R.Bacon和R.A.Hillman,某些已知序列的高阶Boustrophedon变换,光纤。Q.,55(3)(2017),201-208。
简·艾维·库恩斯(Jane Ivy Coons)和赛斯·沙利文(Seth Sullivant),带分子钟的Cavender-Farris-Neyman模型,arXiv:1805.04175[math.AG],2018年。
简·艾维·库恩斯(Jane Ivy Coons)和赛斯·沙利文(Seth Sullivant),锯齿偏序集的阶多面体的h*-多项式,arXiv:1901.07443[math.CO],2019年。
Sylvie Corteel、Megan A.Martinez、Carla D.Savage和Michael Weselcouch,反转序列中的模式I,arXiv:1510.05434[math.CO],2015年
钱德勒·戴维斯,问题4755阿默尔。数学。月刊,64(1957)596;解决方案作者:W.J.Blundon,65(1958),533-534。[由溶液中的P_n表示。]
钱德勒·戴维斯,问题4755:排列问题阿默尔。数学。月刊,64(1957)596;W.J.Blundon的解决方案,65(1958),533-534。[由解决方案中的P_n表示。][带注释的扫描副本]
Colin Defant和James Propp,离散动力系统中不可逆性的量化,arXiv:2002.07144[math.CO],2020年。
Karel Devriendt、Renaud Lambiotte和Piet Van Mieghem,用Soules向量构造拉普拉斯矩阵:特征值反问题及其应用,arXiv:1909.11282[physics.soc-ph],2019年。
Filippo Disanto和Thomas Wiehe,群体遗传学中关于二叉根树的一些组合问题,arXiv预印本arXiv:1112.1295[math.CO],2011。
菲利波失望,第二类André置换与严格二叉增树及其子置换中的从左到右极小相关,arXiv预印本arXiv:1202.1139[math.CO],2012。
Filippo Disanto和Thomas Wiehe,合并模型下等级树中樱桃和干草叉的精确计数,数学。Biosci公司。242 (2013), 195-200.
R.Donaghey,交替排列和二叉递增树,J.组合理论。A 18(1975),141-148.MR0360299(50#12749)
O.Dovgoshey、E.Petrov和H.-M.Teichert,关于Gomory-Hu不等式的空间极值,arXiv预印本arXiv:1412.1979[math.AG],2014。
D.Dumont和G.Viennot,Genocchi数Seidel生成的组合解释,预印本,带注释的扫描件。
理查德·埃伦伯格和N.布拉德利·福克斯,再论下降集多项式,arXiv:1408.6858[math.CO],2014年。见表4。
N.D.Elkies,关于总和Sum((4k+1)^(-n),k,-inf,+inf),arXiv:math/0101168[math.CA],2001-2003年。
N.D.Elkies,关于和{k=-无穷大..无穷大}(4k+1)^(-n)阿默尔。数学。月刊,110(2003年第7期),561-573。
N.D.Elkies,数列国际象棋问题的新方向《组合数学电子杂志》,第11卷(2),2004年。
爱沙那州,唐克斯、塞克斯和奥特尔函数的发展系数。Leur表达a l’aide d’un déterminant unique《法国社会数学公报》,《汤姆31》(1903年),第203-208页。
P.Flajolet、S.Gerhold和B.Salvy,关于对数、幂和n阶素函数的非完整性,arXiv:math/0501379[math.CO],2005年。
P.Flajolet和R.Sedgewick,分析组合数学, 2009.
D.Foata和M.-P.Schutzenberger,Nombres d'Euler et交替排列,J.N.Srivastava等人编辑,《组合理论综述》(North Holland Publishing Company,Amsterdam,1973),第173-187页。
Dominique Foata和Guo-Niu Han,塞德尔三角序列与双入口数2013年11月20日。
Jithin D.George、David I.Ketcheson和Randall J.LeVeque,基于特征的一维任意障碍物波浪散射近似,arXiv:1901.04158[math.AP],2019年。
S.N.格拉德科夫斯基,函数1/sin(x)+cot(x)和sec(x,arXiv:1208.2243[math.HO],2012年。
克劳德·戈德雷(Claude Godrèche)和珍妮·马尔克·勒克(Jean-Marc Luck),时间序列移动平均值的记录,arXiv:1907.07598【第二次统计】,2019年。
W.S.Gray和M.Thitsa,系统互连与组合整数序列,in:系统理论(SSST),2013年第45届东南研讨会,会议日期:2013年3月11日至11日
亨兹·里查德·哈尔德,UE ber Verfeinerungen von分区《货币周期数学》第12卷(3),(1981),第217-220页。
郭乃涵,欧拉数的Hankel连分式和Hankel行列式,arXiv:1906.00103[math.CO],2019年。
F.Heneghan和T.K.Petersen,上下最小最大排列的幂级数, 2013.
Aoife轩尼诗,Riordan阵列的研究及其在连分式、正交多项式和格路中的应用2011年10月,沃特福德理工学院博士论文。
B.R.Jones,树钩长度公式、费曼规则和B级数,西蒙·弗雷泽大学硕士论文,2014年。
M.Josia-Verges,蛇的计数和循环交替排列,arXiv:1011.0929[math.CO],2010年。
M.Josuat Verges、J.-C.Novelli和J.-Y.Thibon,蛇的代数组合学,arXiv预印本arXiv:1110.5272[math.CO],2011。
A.A.Kirillov,三角主题的变奏阿默尔。数学。社会事务。,(2) 1995年第169卷,第43-73页,见第52页。
小林正人,欧拉数在交替排列计数中的一种新的精化,arXiv:1908.00701[math.CO],2019年。
G.Kreweras,与托托相容的地方,数学。科学。Humaines第53号(1976),5-30。
G.Kreweras,与托托相容的地方,数学。科学。Humaines第53号(1976),5-30。(带注释的扫描副本)
德米特里·克鲁奇宁,指数生成函数组合的整数性质,arXiv:12121.2100[math.NT],2012年。
弗拉基米尔·维克托维奇·克鲁奇宁,普通生成函数的组成,arXiv:1009.2565【math.CO】,2010年。
Daeseok Lee和H.K.Ju,Hibi回文定理的推广,arXiv预印本arXiv:1503.05658[math.CO],2015。
塔马斯·伦格尔,关于一个置换统计量的注记,J.国际顺序。,第22卷(2019年),第19.5.1条。
F.Luca和P.Stanica,关于数列单调性的几个猜想,J.Combin,《数论4》(2012)1-10。
J.M.Luck,关于升降模式的频率,arXiv预印本arXiv:1309.7764[第二部分统计信息],2013年。
彼得·卢什尼,伯努利函数简介,arXiv:2009.06743[math.HO],2020年。
I.G.Macdonald和R.B.Nelsen(独立),E2701解决方案阿默尔。数学。月刊,86(1979),396。
Toufik Mansour、Howard Skogman和Rebecca Smith,通过堆栈k次反转,arXiv:1808.04199[math.CO],2018年。
J.L.Martin和J.D.Wagner,斜率变化的上下数和初始单项式《电子杂志》第16卷第1期(2009年),研究论文R82。[来自杰里米·马丁2010年3月26日]
梅根·A·马丁内斯和卡拉·D·萨维奇,反转序列中的模式II:反转序列避免三重关系,arXiv:1609.08106[math.CO],2016年。
A.门德斯,关于交替排列的注记阿默尔。数学。月刊,114(2007),437-440。
J.Millar、N.J.A.Sloane和N.E.Young,《序列的新操作:Boutrophedon变换》,J.Combina.理论,17A 44-54 1996(摘要,pdf格式,).
A.Morales、I.Pak和G.Panova,斜交形状的钩公式I.q-类比和双射,arXiv预印本arXiv:1512.08348[math.CO],2015。
Alejandro H.Morales、I.Pak和G.Panova,为什么pi<2 phi?,预印本,2016年。
F.Murtagh,树状图计数:综述,离散应用数学,7(1984),191-199。
D.J.Newman、W.Weissblum等人,问题67-5:“上下”排列《SIAM评论》,第9卷,第1期(1967年1月),第121页,第1卷。第11卷第1期(1969年1月),第75页,第10卷第2期(1968年4月),225-226页。[带注释的扫描副本]
A.Niedermaier和J.Remmel,彩色排列的上下排列的类比,J.国际顺序。13(2010),10.5.6.,C(t),D(t)。
E.诺顿,正特征辛反射代数作为矿石扩张,arXiv预印arXiv:1302.5411[math.RA],2013。
J.Palacios、J.Wakeley和S.Ramachandran,序列系谱中种群规模变化的贝叶斯非参数推断《遗传学》201(2015),281-304。
潘琼琼、曾江,Branden(p,q)-Euler多项式和André置换的gamma-有效性,arXiv:1910.01747[math.CO],2019年。
S.Ramassamy,欧拉数和Arnold序列的模周期性,arXiv:1712.08666[math.CO],2017年。
S.拉马萨米,部分循环阶、欧拉数和多维突变子的推广,电子。J.Combina.,25(2018),#P1.66。
A.Randrianarivony和J.Zeng,名称欧拉和交替排列记录的Surune扩展J.Combina.理论系列。A 68(1994),68-99。
A.Randrianarivony和J.Zeng,Une famille de polynomes qui interpole plusieurs套房。。。,高级申请。数学。17 (1996), 1-26.
杰弗里·伦梅尔,交替下降和交替主索引的生成函数安·库姆。16(2012),第3期,625-650。MR2960023。
N.A.Rosenberg,Yule生成系谱树中r叉节点和r毛虫数量的均值和方差、安·组合器、。,10 (2006), 129-146.
Y.Sano,A_l、D_l和E_l类型的K.Saito主数,离散。数学。,307 (2007), 2636-2642.
L.塞德尔,在伯努利的谢恩·扎伦和埃尼格尔与赖亨之间《Sitzungberichte der mathematisch-physikalischen Classe der königlich bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München》,第7卷(1877年),第157-187页。
B.Shapiro和A.Vainshtein,双曲函数M-多项式空间中连通分量的个数四月预付款。数学。,第30卷,第1-2期,2003年2月,第273-282页(由增补汤姆·科普兰2015年10月4日)
许欣(Heesung Shin)和姜增(Jiang Zeng),Entringer和Arnold家族的更多双射,arXiv:2006.00507[math.CO],2020年。
N.J.A.斯隆,我最喜欢的整数序列《序列及其应用》(1998年SETA会议记录)。
Alan D.Sokal,欧拉数和斯普林格数作为矩序列,arXiv:1804.04498[math.CO],2018年。
J.斯塔布,三角幂级数,数学。Mag.,49(1976),147-148。
R.P.斯坦利,重新访问队列问题,《芬兰国际象棋问题学会会刊》,第59卷,第4期(2005年),193-203。
R.P.斯坦利,排列
孙一东和翟立亭,一类精化欧拉多项式的一些性质,arXiv:1810.07956[math.CO],2018年。
孙志宏,涉及伯努利多项式的同余,离散。数学。,308 (2007), 71-112.
Ross Tang,幂级数欧拉之字形数(上/下数)的一个显式公式【摘自Ross Tang(ph.tchaa(AT)gmail.com),2010年7月28日。网页不再可访问,由上传的archive.org版本的pdf拉尔夫·斯蒂芬2013年12月28日]
S.T.Thompson,问题E754:顺序偏斜阿默尔。数学。月刊,54(1947),416-417。[带注释的扫描副本]
A.维埃鲁,Agoh猜想:证明、推广、类比,arXiv预印本arXiv:1107.2938[math.NT],2011。
埃里克·魏斯坦的数学世界,Euler Zigzag编号.
埃里克·魏斯坦的数学世界,交替排列.
埃里克·魏斯坦的数学世界,Entringer编号.
配方奶粉
例如:(1+正弦(x))/余弦(x)=tan(x)+秒(x)。
例如,对于a(n+1),是1/(cos(x/2)-sin(x/2。
例如,对于A(n+1),A(x)=-log(1-sin(x))-弗拉基米尔·克鲁奇宁2010年8月9日
O.g.f.:A(x)=1+x/(1-x-x^2/(1-2*x-3*x^2/(1-3*x-6*x^3/(1-4*x-10*x^2/(1-…-n*x-(n*(n+1)/2))))(续分数)-保罗·D·汉纳2006年1月17日
例如,A(x)=y满足2y'=1+y^2-迈克尔·索莫斯2004年2月3日
a(n)=P_n(0)+Q_n(O)(参见155100澳元A104035号),定义Q_{-1}=0。囊性纤维变性。A156142号.
2*a(n+1)=Sum_{k=0..n}二项式(n,k)*a(k)*a(n-k)。
渐近:a(n)~2^(n+2)*n/Pi^(n+1)。有关证明,请参见示例Flajolet和Sedgewick。
a(n)=(n-1)*a(n-1”)-Sum_{i=2..n-2}(i-1)*E(n-2,n-1-i),其中E是Entringer数A008281号. -乔恩·佩里2003年6月9日
a(2*k)=(-1)^k欧拉(2k)和a(2k-1)=(-1)^(k-1)2^(2kC.罗纳尔多(aga_new_ac(AT)hotmail.com),2005年1月17日
|a(n+1)-2*a(n)|=A000708号(n) -菲利普·德尔汉姆2007年1月13日
a(n)=2^n|E(n,1/2)+E(n、1)|其中E(n和x)是欧拉多项式-彼得·卢什尼2009年1月25日
a(n)=2^(n+2)*n*S(n+1)/(Pi)^(n+1),其中S(n)=Sum_{k=-inf.inf}1/(4k+1)^n(参见Elkies参考)-Emeric Deutsch公司2009年8月17日
a(n)=i^(n+1)和{k=1..n+1}和{j=0..k}二项式(k,j)(-1)^j(k-2j)^(n+1)(2i)^Ross Tang(ph.tchaa(AT)gmail.com),2010年7月28日
a(n)=总和(如果是evenp(n+k),则为(-1)^((n+k)/2)*总和(j!*Stirling2(n,j)*2^(1-j)*(-1)*(n+j-k)*二项式(j-1,k-1),j,k,n),否则为0),k,1,n)-弗拉基米尔·克鲁奇宁2010年8月19日
如果n==1(mod 4)是素数,则a(n)==1;如果n==3(mod 4)是素数,则a(n)==-1(mod n)-弗拉基米尔·舍维列夫2010年8月31日
对于m>=0,a(2^m)==1(mod 2^ m);如果p是素数,那么a(2*p)==1(mod 2*p-弗拉基米尔·舍维列夫2010年9月3日
发件人彼得·巴拉,2011年1月26日:(开始)
a(n)=a(n,i)/(1+i)^(n-1),其中i=sqrt(-1)和{a(n、x)}n>=1=[1,1+x,1+4*x+x^2,1+11*x+11*x2+x^3,…]表示欧拉多项式的序列。
等价地,a(n)=i^(n+1)*Sum_{k=1..n}(-1)^k*k*箍筋2(n,k)*((1+i)/2)^(k-1)=i^(n+1)*Sum_{k=1..n}。
a(n)的这个显式公式可以用来获得同余结果。例如,对于奇素数p,a(p)=(-1)^((p-1)/2)(mod p),如下所示弗拉基米尔·舍维列夫以上。
有关相应的B类结果,请参见A001586号。有关平面增加0-1-2树的相应结果,请参见A080635号.
关于与之相关的广义欧拉数、斯特林数和伯努利数,请参见145876英镑,A147315号A185424号分别是。有关计算a(n)的递归三角形,请参见2014年1月.
(结束)
对于n>0,a(n)=I^(n+1)*2*Li_{-n}(-I)。Li_{s}(z)是多对数-彼得·卢什尼2011年7月29日
a(n)=2*和{m=0..(n-2)/2}4^m*(和{i=m-弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年8月9日
a(n)=D^(n-1)(1/(1-x)),在x=0时计算,其中D是运算符sqrt(1-x^2)*D/dx。囊性纤维变性。A006154号a(n)等于A196776号这导致了对a(n)的组合解释;例如,a(4*n+2)将4*n+1的有序集分区的数量给定为k个奇数大小的块,k=1(mod 4),减去4*n+1的有序集分区的数量给定为k个奇数大小的块,k=3(mod 4)。囊性纤维变性A002017号. -彼得·巴拉2011年12月6日
发件人谢尔盖·格拉德科夫斯基2011年11月14日至2013年12月23日:(开始)
连续分数:
例如:tan(x)+sec(x”)=1+x/U(0);U(k)=4k+1-x/(2-x/(4k+3+x/(2+x/U(k+1)))。
例如:对于a(n+1),E(x)=1/(1-sin(x))=1+x/(1-x+x^2/g(0));G(k)=(2*k+2)*(2*k+3)-x^2+(2*k+2)*2*k+3)*x^2/G(k+1)。
例如:对于a(n+1),E(x)=1/(1-sin(x))=1/1(1-x/(1+x^2/g(0)));G(k)=8*k+6-x^2/(1+(2*k+2)*(2*k+3)/G(k+1))。
例如:对于a(n+1),E(x)=1/(1-sin(x))=1/1(1-x*g(0));G(k)=1-x^2/(2*(2*k+1)*(4*k+3)-2*x^2*(2%k+1)+(4*k+3)/(x^2-4*(k+1)x(4*k+5)/G(k+1))))。
例如:对于a(n+1),E(x)=1/(1-sin(x))=1/1(1-x*g(0)),其中g(k)=1-x^2/((2*k+1)*(2*k+3)-(2*k+1)*。
例如:tan(x)+秒(x)=1+2*x/(U(0)-x),其中U(k)=4k+2-x^2/U(k+1)。
例如:tan(x)+秒(x)=1+2*x/(2*U(0)-x),其中U(k)=4*k+1-x^2/(16*k+12-x^2/U(k+1))。
例如:tan(x)+sec(x)=4/(2-x*g(0))-1,其中g(k)=1-x^2/(x^2-4*(2*k+1)*(2*k+3)/g(k+1))。
G.f.:1+x/Q(0),m=+4,u=x/2,其中Q(k)=1-2*u*(2*k+1)-m*u^2*(k+1)*(2*k+1)/(1-2*u*(2*k+2)-m*u^2*(k+1)*(2*k+3)/Q(k+1))。
G.f.:猜想:1+T(0)*x/(1-x),其中T(k)=1-x^2*(k+1)*。
例如:1+4*x/(T(0)-2*x),其中T(k)=4*(2*k+1)-4*x^2/T(k+1):
例如:T(0)-1,其中T(k)=2+x/(4*k+1-x/(2-x/(4*k+3+x/T(k+1)))。(结束)
例如:棕褐色(x/2+Pi/4)-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年11月8日
渐近展开:4*(2*n/(Pi*e))^(n+1/2)*exp(1/2+1/(12*n)-1/(360*n^3)+1/(1260*n^5)-…)。(请参阅Luschny链接。)-彼得·卢什尼2015年7月14日
发件人彼得·巴拉,2015年9月10日:(开始)
例如,f.A(x)=tan(x)+sec(x)满足A''(x)=A(x”)*A'(x),因此递归A(0)=1,A(1)=1;否则A(n)=和{i=0..n-2}二项式(n-2,i)*A(i)*A(n-1-i)。
注意,相同的递归,但初始条件a(0)=0和a(1)=1,产生序列[0,1,0,1,0,4,0,34,0496,…],一个充气版本的A002105号.(结束)
a(n)=A186365美元(n) n>=1时为/n-安东·扎哈罗夫2016年8月23日
发件人彼得·卢什尼2017年10月27日:(开始)
a(n)=abs(2*4^n*(H((-1)^n-3)/8,-n)-H((-1。
a(n)=(-1)^二项式(n+1,2)*2^(2*n+1)*(zeta(-n,1+(1/8)*(-7+(-1)*n))-zeta。(结束)
a(n)=i*(i^n*Li_{-n}(-i)-(-i-彼得·卢什尼2020年8月28日
和{n>=0}1/a(n)=A340315. -阿米拉姆·埃尔达尔2021年5月29日
a(n)=n*回复([x^n](1+I^(n^2-n)*(2-2*I)/(exp(x)+I)))-彼得·卢什尼2021年8月9日
例子
G.f.=1+x+x^2+2*x^3+5*x^4+16*x^5+61*x^6+272*x^7+1385*x^8+。。。
序列开始1,1,2,5,16,。。。因为可能性是{}、{A}、}AB}、[2]ACB、BCA},{ACBD、ADBC、BCAD、BDAC、CDAB},}ACBED、ADBEC、ADCEB、AEBDC、AECDB、BCAED、BDAEC、BDCEA、BEADC、BECDA、CDAEB、CDBEA、CEADB、CEBDA、DECB、DEBCA},等等-亨利·博托姆利2001年1月17日
MAPLE公司
A000111号:=n->n*系数(级数(秒(x)+tan(x),x,n+1),x、n);
s:=系列(秒(x)+tan(x),x,100):A000111号:=n->n*系数(s,x,n);
A000111号:=n->分段(n mod 2=1,(-1)^((n-1)/2)*2^(n+1)*(A000111号(n) ,n=0..30);A000111号:=proc(n)local k:k:=floor((n+1)/2):如果n mod 2=1,则返回((-1)^(k-1)*2^(2*k)*(2^(A000111号(n) ,n=0..30);(C·罗纳尔多)
T:=n->2^n*abs(欧拉(n,1/2)+euler(n,1)):#彼得·卢什尼2009年1月25日
S:=proc(n,k)选项记忆;如果k=0,则返回(`if`(n=0,1,0))fi;S(n,k-1)+S(n-1,n-k)端:
A000364号:=n->S(2*n,2*n);
A000182号:=n->S(2*n+1,2*n+1);
A000111号:=n->S(n,n)#彼得·卢什尼2009年7月29日
a:=n->2^(n+2)*n*(总和(1/(4*k+1)^(n+1),k=-无穷大。。无穷大)/Pi^(n+1):
1,seq(a(n),n=1..22)#Emeric Deutsch公司2009年8月17日
#备选Maple计划:
b: =proc(u,o)选项记忆;
`如果`(u+o=0,1,加上(b(o-1+j,u-j),j=1..u)
结束时间:
a: =n->b(n,0):
seq(a(n),n=0..30)#阿洛伊斯·海因茨2015年11月29日
数学
n=22;系数列表[级数[(1+Sin[x])/Cos[x],{x,0,n}],x]*表[k!,{k,0,n}](*Jean-François Alcover公司2011年5月18日之后迈克尔·索莫斯*)
a[n_]:=如果[EvenQ[n],Abs[EulerE[n];表[a[n],{n,0,26}](*Jean-François Alcover公司2012年10月9日,C·罗纳尔多之后*)
ee=表[2^n*EulerE[n,1]+EulerE[n]-1,{n,0,26}];表[差异[ee,n]//第一个//Abs,{n,0,26}](*Jean-François Alcover公司2013年3月21日之后保罗·柯茨*)
a[n_]:=如果[n<0,0,(2I)^n如果[EvenQ[n],EulerE[n,1/2],EulereE[n,0]I]];(*迈克尔·索莫斯2015年8月15日*)
a[n_]:=如果[n<1,Boole[n==0],具有[{m=n-1},m!级数系数[1/(1-Sin[x]),{x,0,m}]];(*迈克尔·索莫斯2015年8月15日*)
s[0]=1;s[_]=0;t[n,0]:=s[n];t[n,k]:=t[n、k]=t[n,k-1]+t[n-1,n-k];a[n]:=t[n,n];数组[a,30,0](*Jean-François Alcover公司2016年2月12日*)
a[n_]:=如果[n==0,1,2*Abs[PolyLog[-n,I]]];(*Jean-François Alcover公司,2023年12月2日,之后M.F.哈斯勒*)
黄体脂酮素
(PARI){a(n)=如果(n<1,n==0,n---;n!*polceoff(1/(1-sin(x+x*O(x^n))),n))}\\迈克尔·索莫斯2004年2月3日
(PARI){a(n)=局部(v=[1],t);如果(n<0,0,对于(k=2,n+2,t=0;v=向量(k,i,如果(i>1,t+=v[k+1-i]));v[2])}\\迈克尔·索莫斯2004年2月3日
(PARI){a(n)=局部(an);如果(n<1,n>=0,an=向量(n+1,m,1);对于(m=2,n,an[m+1]=和(k=0,m-1,二项式(m-1,k)*an[k+1]*an[m-k])/2);an[n+1)}\\迈克尔·索莫斯2004年2月3日
(PARI)z='z+O('z^66);egf=(1+sin(z))/cos(z);Vec(塞拉普拉斯(egf))\\乔格·阿恩特2011年4月30日
(PARI)A000111号(n) ={my(k);和(m=0,n\2,(-1)^m*和(j=0,k=n+1-2*m,二项式(k,j)*(-1)*j*(k-2*j)^(n+1))/k>>k)}\\M.F.哈斯勒2012年5月19日
(PARI)A000111号(n) =如果(n,2*abs(polylog(-n,I)),1)\\M.F.哈斯勒2012年5月20日
(极大值)a(n):=和(如果evenp(n+k),则(-1)^((n+k)/2)*和(j!*stirling2(n,j)*2^(1-j)*(-1)*(n+j-k)*二项式(j-1,k-1),j,k,n),其他为0),k,1,n)/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2010年8月19日*/
(最大值)
a(n):=如果n<2,则1其他2*和(4^m*(和((i-(n-1)/2)^(n-1)*二项式(n-2*m-1,i-m)*(-1)^/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年8月9日*/
(Sage)#L.Seidel的算法(1877)
定义A000111号_列表(n):
R=[];A={-1:0,0:1};k=0;e=1
对于(0..n)中的i:
Am=0;A[k+e]=0;e=-e
对于(0..i)中的j:Am+=A[k];A[k]=美国;k+=e
R.append(美国)
返回R
A000111号_列表(22)#彼得·卢什尼2012年3月31日(2016年4月24日修订)
(哈斯克尔)
a000111 0=1
a000111 n=总额$a008280_低(n-1)
--莱因哈德·祖姆凯勒2013年11月1日
(Python)
#需要python 3.2或更高版本
从itertools导入累加
A000111号_列表,blist=[1,1],[1]
对于范围(10**2)内的n:
blist=列表(反向(列表(累加(反向(blist))))+[0]如果n为%2,则为[0]
A000111号_list.append(总和(blist))#柴华湖2015年1月29日
(Python)
从mpmath导入*
mp.dps=150
l=斩波(泰勒(λx:秒(x)+褐色(x),0,26))
[int(fac(i)*li)for i,li in enumerate(l)]#因德拉尼尔·戈什,2017年7月6日
交叉参考
囊性纤维变性。A000364号(正割数),A000182号(切线数)。
囊性纤维变性。1981年对于n-交替排列。
囊性纤维变性。109449英镑对于指数Riordan数组的扩展。
第k列=第2列,共列A250261型.
囊性纤维变性。A002105号,A186365美元.
对于具有n个节点和k个叶子的0-1-2树,请参见A301344型.
0-1-2棵树的Matula-Goebel数为A292050型.
广义欧拉数概述A349264型.
关键词
非n,核心,特征,美好的,容易的,改变
作者
扩展
编辑人M.F.哈斯勒,2013年4月4日
标题更正人杰弗里·克雷策2013年5月18日
状态
已批准
A010094号 Euler-Bernoulli或Entringer数三角形。 +10
9
1, 1, 1, 2, 2, 1, 5, 5, 4, 2, 16, 16, 14, 10, 5, 61, 61, 56, 46, 32, 16, 272, 272, 256, 224, 178, 122, 61, 1385, 1385, 1324, 1202, 1024, 800, 544, 272, 7936, 7936, 7664, 7120, 6320, 5296, 4094, 2770, 1385, 50521, 50521, 49136, 46366, 42272, 36976, 30656, 23536, 15872, 7936, 353792 (列表;桌子;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
1,4
评论
T(n,k)是n从k开始的上下排列数,其中1<=k<=n-迈克尔·索莫斯2020年1月20日
参考文献
R.C.Entringer,Euler和Bernoulli数的组合解释,Nieuw Archief voor Wiskunde,14(1966),241-246。
链接
阿洛伊斯·海因茨,行n=1..150,扁平(Vincenzo Librandi的前51行)
B.Bauslaugh和F.Ruskey,按字典顺序生成交替排列,Nordisk Tidskr。信息行为(BIT)30 16-26 1990。
D.Foata和G.-N.Han,割线树微积分,arXiv预印本arXiv:1304.2485[math.CO],2013。
Dominique Foata和Guo-Niu Han,塞德尔三角序列与双入口数2013年11月20日。
多米尼克·福塔;韩国牛;沃尔克·斯特雷尔Entringer-Poupard矩阵序列线性代数应用。512, 71-96 (2017). 示例4.4
M.Josuat-Verges、J.-C.Novelli和J.-Y.Thibon,蛇的代数组合学,arXiv预印本arXiv:1110.5272[math.CO],2011。
J.Millar、N.J.A.Sloane和N.E.Young,《序列的新操作:Boutrophedon变换》,J.Combina.理论,17A(1996)44-54(摘要,pdf格式,).
C.Poupard,新义的含义e nombres d’Entringer的数字,离散数学。,38 (1982), 265-271.
配方奶粉
T(1,1)=1;如果n>1,T(n,n)=0;如果1<=k<n,T(n,k)=T(n、k+1)+T(n-1、n-k)-迈克尔·索莫斯2020年1月20日
例子
发件人文森佐·利班迪2013年8月13日:(开始)
三角形开始:
1;
1, 1;
2, 2, 1;
5, 5, 4, 2;
16, 16, 14, 10, 5;
61, 61, 56, 46, 32, 16;
272, 272, 256, 224, 178, 122, 61;
1385, 1385, 1324, 1202, 1024, 800, 544, 272;
7936, 7936, 7664, 7120, 6320, 5296, 4094, 2770, 1385;
…(结束)
n=4的上下排列为k=1:13241423;k=2:23142413;k=3:3411;k=4:无-迈克尔·索莫斯,2020年1月20日
MAPLE公司
b: =proc(u,o)选项记忆`如果`(u+o=0,1,
加(b(o-1+j,u-j),j=1..u))
结束时间:
T: =(n,k)->b(n-k+1,k-1):
seq(seq(T(n,k),k=1..n),n=1..12)#阿洛伊斯·海因茨2020年6月3日
数学
e[0,0]=1;e[_,0]=0;e[n,k]:=e[n、k]=e[n,k-1]+e[n-1,n-k];联接[{1},表[e[n,k],{n,0,11},{k,n,1,-1}]//平展](*Jean-François Alcover公司2013年8月13日*)
黄体脂酮素
(PARI){T(n,k)=如果(n<1||k>=n,k==1&&n==1,T(n、k+1)+T(n-1,n-k))}/*迈克尔·索莫斯,2020年1月20日*/
交叉参考
k=1,3-4列给出:A000111号,A006212号,A006213号.
行总和给出A000111号(n+1)。
囊性纤维变性。A008282号.
关键词
非n,表格,容易的,美好的
作者
扩展
来自Will Root(侧风(AT)bright.net)的更多术语,2001年10月8日
删除了不规则的第零行N.J.A.斯隆2020年6月4日
状态
已批准
A125053号 三角形的变体A008301号,由2*n+1个术语的行读取,因此第一列是正割数(A000364号). +10
8
1、1、3、1、5、15、21、15、5、61、183、285、327、285、183、61、1385、4155、6681、8475、9129、8475、6681、4155、1385、50521、151563、247065、325947、378105、396363、378105、325947、247065、151563、50521、2702765、8108295、13311741、17908935 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,3
评论
Foata和Han将其称为Poupard数h_n(k)的三角形-N.J.A.斯隆2014年2月17日
中心术语(A125054号)等于正切数的二项式变换(A000182号).
链接
莱因哈德·祖姆凯勒(Reinhard Zumkeller),三角形的行数n=0..100,展平
Dominique Foata和Guo-Niu Han,塞德尔三角序列与双入口数2013年11月20日;
多米尼克·福塔;韩国牛;沃尔克·斯特雷尔Entringer-Poupard矩阵序列线性代数应用。512, 71-96 (2017).
配方奶粉
求和{k=0..2n}C(2n,k)*T(n,k)=4^n*A000182号(n) ,其中A000182号是切线数。
Sum_{k=0..2n}(-1)^n*C(2n,k)*T(n,k)=(-4)^n。
例子
如果我们这样写三角形:
......................... ...1;
................... ...1, ...3, ...1;
............. ...5, ..15。。21, ..15, ...5;
....... ..61, .183, .285, .327, .285, .183, ..61;
. 1385, 4155, 6681, 8475, 9129, 8475, 6681, 4155, 1385;
则第一个非零项是前一行的总和:
1385 = 61 + 183 + 285 + 327 + 285 + 183 + 61,
下一学期是第一学期的3倍:
4155 = 3*1385,
每行中的其余项通过以下所示的规则获得:
6681 = 2*4155 - 1385 - 4*61;
8475 = 2*6681 - 4155 - 4*183;
9129=2*8475-6681-4*285;
8475 = 2*9129 - 8475 - 4*327;
6681 = 2*8475 - 9129 - 4*285;
4155 = 2*6681 - 8475 - 4*183;
1385 = 2*4155 - 6681 - 4*61.
另一种重复出现方式如下所示:
4155 = 1385 + 2*(61 + 183 + 285 + 327 + 285 + 183 + 61);
6681 = 4155 + 2*(183 + 285 + 327 + 285 + 183);
8475 = 6681 + 2*(285 + 327 + 285);
9129 = 8475 + 2*(327);
然后对于k>n,T(n,k)=T(n、2*n-k)。
MAPLE公司
T:=proc(n,k)选项记忆;局部j;
如果n=1,则为1
elif k=1,然后加上(T(n-1,j),j=1..2*n-3)
elif k=2,然后3*T(n,1)
elif k>n,然后T(n,2*n-k)
其他2*T(n,k-1)-T(n,k-2)-4*T(n-1,k-2)
fi端:
seq(打印(seq(T(n,k),k=1..2*n-1)),n=1..5)#彼得·卢什尼2014年5月11日
数学
t[n_,k_]:=t[n,k]=如果[2*n<k|k<0,0,如果[n==0&k==0,1,如果[k==0,总和[t[n-1,j],{j,0,2*n-2}],如果[k<=n,t[n、k-1]+2*Sum[t[n-1,j]、{j、k-1、2*n-1-k}],t[n,2*n-k]]];表[t[n,k],{n,0,6},{k,0,2*n}]//扁平(*Jean-François Alcover公司,2012年12月6日,译自巴黎*)
黄体脂酮素
(PARI)T(n,k)=如果(2*n<k||k<0,0,如果(n==0&k==0,1,如果(k==0,总和(j=0,2*n-2,T(n-1,j
(哈斯克尔)
a125053 n k=a125053_tabf!!不!!k个
a125053_当前n=a125053_tabf!!n个
a125053_tabf=迭代f[1],其中
f zs=zs'++反向(init zs'),其中
zs’=(sum zs):g(map(*2)zs)(sum zs)
g[x]y=[x+y]
g xs y=y':g(tail$init xs)y'其中y'=总和xs+y
--莱因哈德·祖姆凯勒2012年3月17日
交叉参考
囊性纤维变性。A008301号,A000364号(正割数,即行和),A125054号(中心术语),A125055号,A000182号,A008282号.
囊性纤维变性。A210111型(左半部分)。
关键词
非n,标签,美好的
作者
保罗·D·汉纳2006年11月21日,2006年12月20日
状态
已批准
A099959号 按行读取三角形:每行由前一行的部分和构成,从右侧读取,每隔一行重复最后一项。 +10
6
1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 6, 8, 8, 14, 17, 17, 17, 34, 48, 56, 56, 104, 138, 155, 155, 155, 310, 448, 552, 608, 608, 1160, 1608, 1918, 2073, 2073, 2073, 4146, 6064, 7672, 8832, 9440, 9440, 18272, 25944, 32008, 36154, 38227, 38227, 38227, 76454, 112608 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,6
评论
...
链接
莱因哈德·祖姆凯勒(Reinhard Zumkeller),三角形的n=0..119行,展平
例子
三角形开始
1;
1,
1, 1;
1, 2,
2, 3, 3;
3, 6, 8,
8, 14, 17, 17;
17, 34, 48, 56,
56, 104, 138, 155, 155;
MAPLE公司
with(linalg):rev:=proc(a)局部n,p;n: =vectdim(a):p:=i->a[n+1-i]:向量(n,p)结束:ps:=proc(a)局部n,q;n: =vectdim(a):q:=i->和(a[j],j=1..i):向量(n,q)结束:pss:=proc(a)局部n,q;n: =vectdim(a):q:=proc(i)如果i<=n,则求和(a[j],j=1..i)其他求和(a[j]、j=1..n)fi end:矢量(n+1,q)end:R[0]:=矢量(1,1):对于n从1到18 do,如果n mod 2=1,则R[n]:=ps(rev(R[n-1])))其他R[n]:=pss(rew(R[n-1]))fi od:对于n从0到18,执行evalm(R[n])od;#程序生成连续的行#Emeric Deutsch公司2004年11月16日
数学
行[0]=行[1]={1};row[n_?OddQ]:=累加[Reverse[row[n-1]];row[n_?EvenQ]:=(r=累加[Reverse[row[n-1]];追加到[r,Last[r]]);压扁[Table[row[n],{n,0,13}]](*Jean-François Alcover公司2011年12月16日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a099959 n k=a099959_tabl!!不!!k个
a099959_row n=a099959 _ tabl!!n个
a099959_tabl=映射snd$iterate f(False,[1]),其中
f(s,xs)=(不是s,如果s那么zs++[lastzs]else zs)
其中zs=扫描1(+)(反向xs)
--莱因哈德·祖姆凯勒2011年12月28日
交叉参考
第一列(和行总和)给出A099960型.
如果在/每/行中添加一个额外的项,我们将得到A008282号.参见。A099961号.
关键词
非n,标签,美好的,容易的
作者
N.J.A.斯隆2004年11月13日
扩展
更多术语来自Emeric Deutsch公司2004年11月16日
状态
已批准
A099961号 按行读取三角形:每行由前一行的部分和构成,从右侧读取,每隔三行重复最后一项。 +10
6
1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 5, 10, 13, 13, 23, 28, 28, 51, 64, 64, 64, 128, 179, 207, 207, 386, 514, 578, 578, 1092, 1478, 1685, 1685, 1685, 3370, 4848, 5940, 6518, 6518, 12458, 17306, 20676, 22361, 22361, 43037, 60343, 72801, 79319, 79319, 79319 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,6
评论
...
链接
莱因哈德·祖姆凯勒(Reinhard Zumkeller),三角形n=0..120行,展平
例子
三角形开始
1;
1,
1, 1;
1, 2,
2, 3,
3, 5, 5;
5、10、13,
13, 23, 28,
28, 51, 64, 64;
MAPLE公司
带有(linalg):rev:=proc(a)局部n,p;n: =vectdim(a):p:=i->a[n+1-i]:向量(n,p)结束:ps:=proc(a)局部n,q;n: =vectdim(a):q:=i->和(a[j],j=1..i):向量(n,q)结束:pss:=proc(a)局部n,q;n: =vectdim(a):q:=proc[n])od;#号程序生成连续的行#Emeric Deutsch公司2004年11月16日
数学
r[0]={1};r[n_]:=r[n]=Join[a=累加[r[n-1]],如果[Mod[n,3]==2,{Last[a]},{}]];扁平[表[r[n],{n,0,15}]](*Jean-François Alcover公司2012年3月13日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a099961 n k=a099961_tabl!!不!!k个
a099961_row n=a099961_tabl!!n个
a099961_tabl=映射snd$迭代f(0,[1]),其中
f(s,xs)=(s+1,如果s`mod`3==1,则zs++[最后一个zs]为zs)
其中zs=扫描1(+)(反向xs)
--莱因哈德·祖姆凯勒2011年12月28日
交叉参考
第一列(和行总和)给出A099962号.参见。A099963号,A099967号.
如果在/每/行中添加一个额外的项,我们将得到A008282号.参见。A099959号.
关键词
非n,标签,美好的,容易的
作者
N.J.A.斯隆2004年11月13日
扩展
更多术语来自Emeric Deutsch公司2004年11月16日
状态
已批准
A005437号 Kempner表格的列。
(原名M1276)
+10
5
1, 1, 1, 2, 4, 14, 46, 224, 1024, 6320, 36976, 275792, 1965664, 17180144, 144361456, 1446351104, 13997185024, 158116017920, 1731678144256, 21771730437632, 266182076161024, 3686171162253824, 49763143319190016, 752594181757712384, 11118629668610842624 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,4
评论
发件人彼得·卢什尼2012年7月9日:(开始)
也是塞德尔-恩廷格三角形的中心柱A008281号A008282号.
a(n)交替取塞德尔-恩特里格三角形中心柱的值A008281号(1,1,4,46,…)和A008282号(1,2,14,224,..).
在Gelineau、Shin和Zeng(第6.1节)中可以找到对数字的十二种解释。(结束)
此序列是下表中数字的中心序列:
答_0 1
B_1 10
答2 0 1 1
B_3 2 1 0
答40 2 4 5 5
B_5 16 16 14 10 5 0
答6 0 16 32 46 56 61 61
B_7 272 272 256 224 178 122 61 0
其中,行A_k是通过序列0,B_1,B_1+B_2,…,从行B_(k-1)获得的。。。,b_1+b_2++b_k和b_k行是通过序列A_1+A_2+…从行A_(k-1)中获得的+k,…,(_k)。。。,a(k-1)+a k,a k,0-肖恩·欧文2016年6月25日
以英美数学家奥布里·约翰·坎普纳(1880-1973)的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月23日
参考文献
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
阿洛伊斯·海因茨,n=0..485的n,a(n)表
尤恩·格利诺、许欣、蒋曾,Entringer家族的Bijections,hal-004721872010年。
尤恩·格利诺、许欣、蒋曾,Entringer族的双射,arXiv:1004.2179[math.CO],2010年。
杰拉德·维诺,Euler et de Genocchi名词解释组合《法国国家标准》,1980/1981年,第11号实验,第41页,波尔多大学,塔伦斯分校,1982年。
MAPLE公司
A005437号:=程序(n)局部S;S:=proc(n,k)选项记忆;如果k=0,则`if`(n=0,1,0)else S(n,k-1)+S(n-1,n-k)fi结束:S(n、iquo(n+1,2))结束;序列号(A005437号(i) ,i=0..24)#彼得·卢什尼2012年7月9日
数学
a[n_]:=模[{S},S[m_,k_]:=S[m,k]=如果[k==0,如果[m==0、1、0],S[m、k-1]+S[m-1,m-k]];S[n,商[n+1,2]];
表[a[n],{n,0,24}](*Jean-François Alcover公司2018年11月12日,之后彼得·卢什尼*)
交叉参考
的主对角线A064192号.
关键词
非n
作者
扩展
更多术语来自肖恩·欧文2016年6月25日
偏移设置为0彼得·卢什尼2018年10月15日
状态
已批准
A099964号 按行读取三角形:第n行由前一行的部分和构成,从右边读取,如果n是重复最后一项的三角形数。 +10
4
1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 6, 8, 8, 14, 17, 17, 31, 39, 39, 39, 78, 109, 126, 126, 235, 313, 352, 352, 665, 900, 1026, 1026, 1926, 2591, 2943, 2943, 2943, 5886, 8477, 10403, 11429, 11429, 21832, 30309, 36195, 39138, 39138, 75333, 105642, 127474, 138903 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,5
评论
...
链接
莱因哈德·祖姆凯勒(Reinhard Zumkeller),行n=0..500的三角形,展平
例子
三角形开始
1;
1, 1;
1, 2,
2, 3, 3;
3, 6, 8,
8, 14, 17,
17、31、39、39;
39, 78, 109, 126,
126, 235, 313, 352,
352, 665, 900, 1026,
1026, 1926, 2591, 2943, 2943;
MAPLE公司
带有(linalg):rev:=proc(a)局部n,p;n: =vectdim(a):p:=i->a[n+1-i]:向量(n,p)结束:ps:=proc(a)局部n,q;n: =vectdim(a):q:=i->和(a[j],j=1..i):向量(n,q)结束:pss:=proc(a)局部n,q;n: =vectdim(a):q:=proc(i)如果i<=n,则求和(a[j],j=1..i)else和(a[j],j=1..n)fi-end:vector(n+1,q)end:tr:={seq(n*(n+1)/2,n=1.30)}:R[0]:=向量(1,1):对于n从1到15 do,如果成员(n,tr)=false,则R[n]:=ps(rev(R[n-1]))))else R[n]:=pss(rev R[n-1])fiod:对于从0到15的n,进行evalm(R[n])od#Emeric Deutsch公司2004年11月16日
数学
triQ[n_]:=减少[n==k(k+1)/2,k,整数]=!=错误;行[0]={1};行[1]={1,1};行[n_]:=行[n]=(ro=累加[Reverse[row[n-1]];如果[triQ[n],追加[ro,Last[ro]],ro]);扁平[表格[行[n],{n,0,13}]](*Jean-François Alcover公司2011年11月24日*)
黄体脂酮素
(哈斯克尔)
a099964 n k=a099964_tabf!!不!!k个
a099964_row n=a099964_tabf!!n个
a099964_tabf=扫描f[1]$tail a010054_list,其中
f行t=如果t==1,则行'++[最后一行']else行'
其中,行'=扫描1(+)$reverse行
交叉参考
第一列(和行总和)给出A099965美元.参见。A099966号,A099968号.
如果在/每/行中添加一个额外的项,我们将得到A008282号.参见。A099959号,A099961号.
囊性纤维变性。A010054号.
关键词
非n,标签,美好的,容易的
作者
N.J.A.斯隆2004年11月13日
扩展
更多术语来自Emeric Deutsch公司2004年11月16日
状态
已批准
A006212号 从n+1开始的n+3的向下向上排列数。
(原名M3485)
+10
0, 1, 4, 14, 56, 256, 1324, 7664, 49136, 345856, 2652244, 22014464, 196658216, 1881389056, 19192151164, 207961585664, 2385488163296, 28879019769856, 367966308562084, 4922409168011264, 68978503204900376, 1010472388453728256, 15445185289163949004 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,3
评论
入口编号。
参考文献
R.C.Entringer,Euler和Bernoulli数的组合解释,Nieuw Archief voor Wiskunde,14(1966),241-246。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
链接
阿洛伊斯·海因茨,n=0..483时的n,a(n)表
B.Bauslaugh和F.Ruskey,按字典顺序生成交替排列,Nordisk Tidskr。信息行为(BIT)30(1990),16-26。
J.Millar、N.J.A.Sloane和N.E.Young,《序列的新操作:Boutrophedon变换》,J.Combina.理论,17A(1996),44-54(摘要,pdf格式,).
C.Poupard,新义的含义e nombres d’Entringer的数字,离散数学。,38 (1982), 265-271.
配方奶粉
发件人Emeric Deutsch公司2004年5月15日:(开始)
a(n)=和{i=0..1+楼层((n+1)/2)}(-1)^i*二项式(n,2*i+1)*E[n+1-2i],其中E[j]=A000111号(j) =j*[x^j](秒(x)+tan(x))是向上/向下或Euler数字。
a(n)=T(n+2,n),其中T是A008282号.(结束)
a(n)=E[n+2]-E[n],其中E[n]=A000111号(n) -杰拉尔德·麦卡维2006年10月9日
例如:(秒(x)+tan(x))^2/cos(x)-(秒(x)+tan(x))-谢尔盖·格拉德科夫斯基2015年6月29日
a(n)~n!*2^(n+4)*n^2/Pi^(n+3)-瓦茨拉夫·科特索维奇,2020年5月7日
例子
a(2)=4,因为我们有31425、31524、32415和32514。
MAPLE公司
f: =秒(x)+tan(x):fser:=系列(f,x=0,30):E[0]:=1:对于从1到25的n,执行E[n]:=n*系数(fser,x^n)od:a:=n->和((-1)^i*二项式(n,2*i+1)*E[n+1-2*i],i=0..1+楼层((n+1)/2):seq(a(n),n=0..18);
#或者在之后阿洛伊斯·海因茨在里面A000111号:
b:=proc(u,o)选项记忆;
`如果`(u+o=0,1,加(b(o-1+j,u-j),j=1..u))结束:
a:=n->b(n,2):序列(a(n),n=0..21)#彼得·卢什尼2017年10月27日
数学
t[n_,0]:=如果[n==0,1,0];t[n,k]:=t[n、k]=t[n,k-1]+t[n-1,n-k];a[n]:=t[n+2,n];数组[a,30,0](*Jean-François Alcover公司2016年2月12日*)
交叉参考
囊性纤维变性。A000111号,A008282号.
第k列=第3列,共列A010094美元.
关键词
非n,容易的
作者
扩展
更多术语来自Emeric Deutsch公司2004年5月24日
状态
已批准
A241209型 a(n)=E(n)-E(n+1),其中E(nA122045型(n) ●●●●。 +10
1, 1, -1, -5, 5, 61, -61, -1385, 1385, 50521, -50521, -2702765, 2702765, 199360981, -199360981, -19391512145, 19391512145, 2404879675441, -2404879675441, -370371188237525, 370371188237525, 69348874393137901, -69348874393137901, -15514534163557086905 (列表;图表;参考;;历史;文本;内部格式)
抵消
0,4
评论
整数欧拉数的赛德尔三角形(1877)的一个版本是
1
1 1
2 2 1
2 4 5 5
16 16 14 10 5
16 32 46 56 61 61
等等。
它不在OEIS中。请参见A008282号.
第一条对角线,Es(n)=1,1,1,5,5,61,61,13851385。。。,本质上来自A000364号(n) 重复。
a(n)是Es(n),由两人签署。
a(n)的差异表:
1, 1, -1, -5, 5, 61, -61, -1385, ...
0, -2, -4, 10, 56, -122, -1324, ...
-2, -2, 14, 46, -178, -1202, ...
0, 16, 32, -224, -1024, ...
16、16、-256、-800。。。
0, -272, -544, ...
-272, -272, ...
0, ...
等等。
反对偶数之和:1,1,-5,-11,61,211,-385=A239322型(n+1)。
主对角线与第一条上对角线交错:1,1,-2,-4,14,46,…=签署A214267型(n+1)。
二项式逆变换(第一列):A155585型(n+1)。
Akiyama-Tanigawa变换应用于A046978号(n+1)/A016116号(n) 给予
1, 1, 1/2, 0, -1/4, -1/4, -1/8, 0, ...
0, 1, 3/2, 1, 0, -3/4, -7/8, ...
-1, -1, 3/2, 4, 15/4, 3/4, ...
0, -5, -15/2, 1, 15, ...
5, 5, -51/2, -56, ...
0, 61, 183/2, ...
-61, -61, ...
0, ...
等等。
122045英镑(n) 和A239005型(n) 通过二项逆变换得到倒数序列。在各自的差异表中A214247型(n) 出现:1)交错主对角线和第一条下对角线(1,-1,-1,2,4,-14,…)和2)交错主对角和第一条上对角线。
链接
配方奶粉
a(n)=A119880号(n+1)-A119880号(n) ●●●●。
a(n)是分数数组的第二列。
a(n)=(-1)^n*中数组的第二列A239005型(n) ●●●●。
a(n)=skp(n,0)-skp(n+1,0),其中skp(n,x)是瑞士刀多项式A153641号. -彼得·卢什尼2014年4月17日
例如:exp(x)/cosh(x)^2-谢尔盖·格拉德科夫斯基2016年1月23日
G.f.T(0)/x-1/x,其中T(k)=1-x*(k+1)/(x*(k+1)-(1-x)/(1-x*(k+1)/(x*(k+1)+(1-x)/T(k+1)))-谢尔盖·格拉德科夫斯基2016年1月23日
MAPLE公司
A241209型:=程序(n)局部v,k,h,m;m:=`if`(n mod 2=0,n,n+1);
h:=k->`if`(k mod 4=0,0,(-1)^iqoo(k,4));
(-1)^n*加法(2^iquo(-k,2)*h(k+1)*add((-1)*v*二项式(k,v)*(v+1)^m,v=0..k)
,k=0..m)结束:seq(A241209型(n) ,n=0..24)#彼得·卢什尼2014年4月17日
数学
skp[n_,x_]:=和[二项式[n,k]*EulerE[k]*x^(n-k),{k,0,n}];
a[n]:=skp[n,x]-skp[n+1,x]/。x->0;表[a[n],{n,0,24}](*Jean-François Alcover公司,2014年4月17日,之后彼得·卢什尼*)
表[EulerE[n]-EulerE[n+1],{n,0,30}](*文森佐·利班迪2016年1月24日*)
-差异/@Partition[EulerE[范围[0,30]],2,1]//平坦(*哈维·P·戴尔2019年4月16日*)
黄体脂酮素
(岩浆)
EulerPoly:=func<n,x|(&+[(-1)^j*二项式(k,j)*(x+j)^n:j in[0..k]])/2^k:k in[0..n]])>;
欧拉:=func<n|2^n*EulerPoly(n,1/2)>//A122045型
[欧拉(n)-欧拉(n+1):[0..40]]中的n//G.C.格鲁贝尔2023年6月7日
(SageMath)[范围(41)中n的euler_number(n)-euler_number(n+1)]#G.C.格鲁贝尔,2023年6月7日
交叉参考
关键词
签名
作者
保罗·柯茨2014年4月17日
状态
已批准
第页12

搜索在0.032秒内完成

查找|欢迎|维基|寄存器|音乐|地块2|Demos公司|索引|浏览|更多|网络摄像头
贡献新序列。或评论|格式|样式表|变换|超级搜索|最近
OEIS社区|维护人OEIS基金会。

许可协议、使用条款、隐私政策。.

上次修改时间:美国东部夏令时2024年3月29日00:26。包含371264个序列。(在oeis4上运行。)