搜索: a008282-编号:a008283
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1, 1, 1, 2, 1, 2, 5, 2, 5, 4, 16, 5, 16, 10, 14, 61, 16, 61, 32, 56, 46, 272, 61, 272, 122, 256, 178, 224, 1385, 272, 1385, 544, 1324, 800, 1202, 1024, 7936, 1385, 7936, 2770, 7664, 4094, 7120, 5296, 6320, 50521, 7936, 50521, 15872, 49136, 23536, 46366, 30656, 42272, 36976
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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该三角形出现在链接参考的第24页上,由命题5.6定义。
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例子
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1;
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2, 1, 2;
5, 2, 5, 4;
16, 5, 16, 10, 14;
61、16、61、32、56、46;
272, 61, 272, 122, 256, 178, 224;
1385, 272, 1385, 544, 1324, 800, 1202, 1024;
...
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交叉参考
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作者
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A000111号
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| Euler或上/下数字:例如f.秒(x)+tan(x)。同样对于n>=2,n个字母上交替排列数的一半(A001250号). (原名M1492 N0587)
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+10 327
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1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, 370371188237525, 4951498053124096, 69348874393137901, 1015423886506852352, 15514534163557086905, 246921480190207983616, 4087072509293123892361
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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“之字形”偏序集的线性扩展数。见第3章,问题。斯坦利23岁-米奇·哈里斯2005年12月27日
n个顶点上增加的0-1-2棵树的数量-大卫·卡伦2006年12月22日
还有分区细化的数量Heinz-Richard Halder(Halder.bichl(AT)t-online.de),2008年3月7日
比率a(n)/n!也是n个数x1,x2,…的概率,。。。,在[0,1]中均匀独立随机选择的xn满足x1>x2<x3>x4<。。。x个-彼得罗·马杰,2009年7月13日
对于n>=2,a(n-2)=具有以下性质的有序n集{x_1<…x_n}的置换数w:w(1)=x_n,w(n)=x_{n-1},w。如果将第三个条件替换为w(2)<w(n-1),则计数不变-杰里米·马丁2010年3月26日
n+1级之字形排列被最小的或最大的(以后面的为准)分割。该划分与增加1-2棵n阶树具有相同的递归关系,通过归纳,双射如下-文锦Woan2011年5月6日
M.Josuat-Verges、J.-C.Novelli和J.-Y.Thibon(2011)对欧拉数和交替排列之间的双射进行了深远的推广-N.J.A.斯隆2015年7月9日
避开模式T321的树架数量。树架是有序的二进制(0-1-2)递增树,其中每个子级都通过左链接或右链接连接到其父级,请参见A278678型更多定义和示例-谢尔盖·柯吉佐夫2016年12月24日
序列数(e(1)。。。,e(n-1)),0<=e(i)<i,这样三项都不相等。[Corteel、Martinez、Savage和Weselcouch]的定理7-埃里克·施密特2017年7月17日
“心身”二象性下具有n个顶点的自对偶边标记树的数目。还有具有n个顶点的自对偶根边标记树的数量。请参阅下面链接的我的论文-尼科斯·阿波斯托拉基斯,2018年8月1日
比率a(n)/n!是凸多面体的体积,定义为[0,1]^n中的(x_1,…,x_n)集,其中x_i+x_{i+1}<=1表示每1<=i<=n-1;查看麦克唐纳和内尔森对艾默尔的解决方案。数学。以下提到的每月问题-桑杰·拉马萨米2018年11月2日
{0,1,…,n}上的总循环次数,使得三元组(i-1,i,i+1)每1<=i<=n-1为正方向;请参阅下面链接的我关于循环订单的论文-桑杰·拉马萨米2018年11月2日
具有n+1叶的二进制、根、未标记历史的数量(遵循Rosenberg 2006的定义)。也被称为Tajima树、Tajima系谱,或二元、有根、未标记排名树(Palacios等人,2015年)。有关证据,请参见Disanto&Wiehe(2013)-诺亚·A·罗森博格2019年3月10日
此外,具有n+1个不同原子和最大深度的非同构平衡约化多系统的数量。平衡约化多系统或者是有限多集,或者是具有平衡约化多重系统的至少两个部分(并非所有部分都是单子)的多集划分。标记的版本为A006472号例如,a(0)=1到a(4)=5多系统的非同构表示为(逗号省略):
{1} {12} {{1}{23}} {{{1}}{{2}{34}}} {{{{1}}}{{{2}}{{3}{45}}}}
{{{12}}{{3}{4}}} {{{{1}}}{{{23}}{{4}{5}}}}
{{{{1}{2}}}{{{3}}{{45}}}}
{{{{1}{23}}}{{{4}}{{5}}}}
{{{{12}}}{{{3}}{{4}{5}}}}
{1} {11} {{1}{11}} {{{1}}{{1}{11}}} {{{{1}}}{{{1}}{{1}{11}}}}
{{{11}}{{1}{1}}} {{{{1}}}{{{11}}{{1}{1}}}}
{{{{1}{1}}}{{{1}}{{11}}}}
{{{{1}{11}}}{{{1}}{{1}}}}
{{{{11}}}{{{1}}{{1}{1}}}}
(结束)
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参考文献
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钱德勒·戴维斯,问题4755:排列问题阿默尔。数学。月刊,64(1957)596;W.J.Blundon的解决方案,65(1958),533-534。[由解决方案中的P_n表示。][带注释的扫描副本]
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S.T.Thompson,问题E754:顺序偏斜阿默尔。数学。月刊,54(1947),416-417。[带注释的扫描副本]
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配方奶粉
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例如:(1+正弦(x))/余弦(x)=tan(x)+秒(x)。
例如,对于a(n+1),是1/(cos(x/2)-sin(x/2。
例如,对于A(n+1),A(x)=-log(1-sin(x))-弗拉基米尔·克鲁奇宁2010年8月9日
O.g.f.:A(x)=1+x/(1-x-x^2/(1-2*x-3*x^2/(1-3*x-6*x^3/(1-4*x-10*x^2/(1-…-n*x-(n*(n+1)/2))))(续分数)-保罗·D·汉纳2006年1月17日
例如,A(x)=y满足2y'=1+y^2-迈克尔·索莫斯2004年2月3日
2*a(n+1)=Sum_{k=0..n}二项式(n,k)*a(k)*a(n-k)。
渐近:a(n)~2^(n+2)*n/Pi^(n+1)。有关证明,请参见示例Flajolet和Sedgewick。
a(n)=(n-1)*a(n-1”)-Sum_{i=2..n-2}(i-1)*E(n-2,n-1-i),其中E是Entringer数A008281号. -乔恩·佩里2003年6月9日
a(2*k)=(-1)^k欧拉(2k)和a(2k-1)=(-1)^(k-1)2^(2kC.罗纳尔多(aga_new_ac(AT)hotmail.com),2005年1月17日
a(n)=2^n|E(n,1/2)+E(n、1)|其中E(n和x)是欧拉多项式-彼得·卢什尼2009年1月25日
a(n)=2^(n+2)*n*S(n+1)/(Pi)^(n+1),其中S(n)=Sum_{k=-inf.inf}1/(4k+1)^n(参见Elkies参考)-Emeric Deutsch公司2009年8月17日
a(n)=i^(n+1)和{k=1..n+1}和{j=0..k}二项式(k,j)(-1)^j(k-2j)^(n+1)(2i)^Ross Tang(ph.tchaa(AT)gmail.com),2010年7月28日
a(n)=总和(如果是evenp(n+k),则为(-1)^((n+k)/2)*总和(j!*Stirling2(n,j)*2^(1-j)*(-1)*(n+j-k)*二项式(j-1,k-1),j,k,n),否则为0),k,1,n)-弗拉基米尔·克鲁奇宁2010年8月19日
如果n==1(mod 4)是素数,则a(n)==1;如果n==3(mod 4)是素数,则a(n)==-1(mod n)-弗拉基米尔·舍维列夫2010年8月31日
对于m>=0,a(2^m)==1(mod 2^ m);如果p是素数,那么a(2*p)==1(mod 2*p-弗拉基米尔·舍维列夫2010年9月3日
a(n)=a(n,i)/(1+i)^(n-1),其中i=sqrt(-1)和{a(n、x)}n>=1=[1,1+x,1+4*x+x^2,1+11*x+11*x2+x^3,…]表示欧拉多项式的序列。
等价地,a(n)=i^(n+1)*Sum_{k=1..n}(-1)^k*k*箍筋2(n,k)*((1+i)/2)^(k-1)=i^(n+1)*Sum_{k=1..n}。
a(n)的这个显式公式可以用来获得同余结果。例如,对于奇素数p,a(p)=(-1)^((p-1)/2)(mod p),如下所示弗拉基米尔·舍维列夫以上。
(结束)
对于n>0,a(n)=I^(n+1)*2*Li_{-n}(-I)。Li_{s}(z)是多对数-彼得·卢什尼2011年7月29日
a(n)=2*和{m=0..(n-2)/2}4^m*(和{i=m-弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年8月9日
a(n)=D^(n-1)(1/(1-x)),在x=0时计算,其中D是运算符sqrt(1-x^2)*D/dx。囊性纤维变性。A006154号a(n)等于A196776号这导致了对a(n)的组合解释;例如,a(4*n+2)将4*n+1的有序集分区的数量给定为k个奇数大小的块,k=1(mod 4),减去4*n+1的有序集分区的数量给定为k个奇数大小的块,k=3(mod 4)。囊性纤维变性A002017号. -彼得·巴拉2011年12月6日
连续分数:
例如:tan(x)+sec(x”)=1+x/U(0);U(k)=4k+1-x/(2-x/(4k+3+x/(2+x/U(k+1)))。
例如:对于a(n+1),E(x)=1/(1-sin(x))=1+x/(1-x+x^2/g(0));G(k)=(2*k+2)*(2*k+3)-x^2+(2*k+2)*2*k+3)*x^2/G(k+1)。
例如:对于a(n+1),E(x)=1/(1-sin(x))=1/1(1-x/(1+x^2/g(0)));G(k)=8*k+6-x^2/(1+(2*k+2)*(2*k+3)/G(k+1))。
例如:对于a(n+1),E(x)=1/(1-sin(x))=1/1(1-x*g(0));G(k)=1-x^2/(2*(2*k+1)*(4*k+3)-2*x^2*(2%k+1)+(4*k+3)/(x^2-4*(k+1)x(4*k+5)/G(k+1))))。
例如:对于a(n+1),E(x)=1/(1-sin(x))=1/1(1-x*g(0)),其中g(k)=1-x^2/((2*k+1)*(2*k+3)-(2*k+1)*。
例如:tan(x)+秒(x)=1+2*x/(U(0)-x),其中U(k)=4k+2-x^2/U(k+1)。
例如:tan(x)+秒(x)=1+2*x/(2*U(0)-x),其中U(k)=4*k+1-x^2/(16*k+12-x^2/U(k+1))。
例如:tan(x)+sec(x)=4/(2-x*g(0))-1,其中g(k)=1-x^2/(x^2-4*(2*k+1)*(2*k+3)/g(k+1))。
G.f.:1+x/Q(0),m=+4,u=x/2,其中Q(k)=1-2*u*(2*k+1)-m*u^2*(k+1)*(2*k+1)/(1-2*u*(2*k+2)-m*u^2*(k+1)*(2*k+3)/Q(k+1))。
G.f.:猜想:1+T(0)*x/(1-x),其中T(k)=1-x^2*(k+1)*。
例如:1+4*x/(T(0)-2*x),其中T(k)=4*(2*k+1)-4*x^2/T(k+1):
例如:T(0)-1,其中T(k)=2+x/(4*k+1-x/(2-x/(4*k+3+x/T(k+1)))。(结束)
渐近展开:4*(2*n/(Pi*e))^(n+1/2)*exp(1/2+1/(12*n)-1/(360*n^3)+1/(1260*n^5)-…)。(请参阅Luschny链接。)-彼得·卢什尼2015年7月14日
例如,f.A(x)=tan(x)+sec(x)满足A''(x)=A(x”)*A'(x),因此递归A(0)=1,A(1)=1;否则A(n)=和{i=0..n-2}二项式(n-2,i)*A(i)*A(n-1-i)。
注意,相同的递归,但初始条件a(0)=0和a(1)=1,产生序列[0,1,0,1,0,4,0,34,0496,…],一个充气版本的A002105号.(结束)
a(n)=abs(2*4^n*(H((-1)^n-3)/8,-n)-H((-1。
a(n)=(-1)^二项式(n+1,2)*2^(2*n+1)*(zeta(-n,1+(1/8)*(-7+(-1)*n))-zeta。(结束)
a(n)=i*(i^n*Li_{-n}(-i)-(-i-彼得·卢什尼2020年8月28日
a(n)=n*回复([x^n](1+I^(n^2-n)*(2-2*I)/(exp(x)+I)))-彼得·卢什尼2021年8月9日
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例子
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G.f.=1+x+x^2+2*x^3+5*x^4+16*x^5+61*x^6+272*x^7+1385*x^8+。。。
序列开始1,1,2,5,16,。。。因为可能性是{}、{A}、}AB}、[2]ACB、BCA},{ACBD、ADBC、BCAD、BDAC、CDAB},}ACBED、ADBEC、ADCEB、AEBDC、AECDB、BCAED、BDAEC、BDCEA、BEADC、BECDA、CDAEB、CDBEA、CEADB、CEBDA、DECB、DEBCA},等等-亨利·博托姆利2001年1月17日
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MAPLE公司
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A000111号:=n->n*系数(级数(秒(x)+tan(x),x,n+1),x、n);
s:=系列(秒(x)+tan(x),x,100):A000111号:=n->n*系数(s,x,n);
A000111号:=n->分段(n mod 2=1,(-1)^((n-1)/2)*2^(n+1)*(A000111号(n) ,n=0..30);A000111号:=proc(n)local k:k:=floor((n+1)/2):如果n mod 2=1,则返回((-1)^(k-1)*2^(2*k)*(2^(A000111号(n) ,n=0..30);(C·罗纳尔多)
T:=n->2^n*abs(欧拉(n,1/2)+euler(n,1)):#彼得·卢什尼2009年1月25日
S:=proc(n,k)选项记忆;如果k=0,则返回(`if`(n=0,1,0))fi;S(n,k-1)+S(n-1,n-k)端:
a:=n->2^(n+2)*n*(总和(1/(4*k+1)^(n+1),k=-无穷大。。无穷大)/Pi^(n+1):
#备选Maple计划:
b: =proc(u,o)选项记忆;
`如果`(u+o=0,1,加上(b(o-1+j,u-j),j=1..u)
结束时间:
a: =n->b(n,0):
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数学
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a[n_]:=如果[n<0,0,(2I)^n如果[EvenQ[n],EulerE[n,1/2],EulereE[n,0]I]];(*迈克尔·索莫斯2015年8月15日*)
a[n_]:=如果[n<1,Boole[n==0],具有[{m=n-1},m!级数系数[1/(1-Sin[x]),{x,0,m}]];(*迈克尔·索莫斯2015年8月15日*)
s[0]=1;s[_]=0;t[n,0]:=s[n];t[n,k]:=t[n、k]=t[n,k-1]+t[n-1,n-k];a[n]:=t[n,n];数组[a,30,0](*Jean-François Alcover公司2016年2月12日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){a(n)=如果(n<1,n==0,n---;n!*polceoff(1/(1-sin(x+x*O(x^n))),n))}\\迈克尔·索莫斯2004年2月3日
(PARI){a(n)=局部(v=[1],t);如果(n<0,0,对于(k=2,n+2,t=0;v=向量(k,i,如果(i>1,t+=v[k+1-i]));v[2])}\\迈克尔·索莫斯2004年2月3日
(PARI){a(n)=局部(an);如果(n<1,n>=0,an=向量(n+1,m,1);对于(m=2,n,an[m+1]=和(k=0,m-1,二项式(m-1,k)*an[k+1]*an[m-k])/2);an[n+1)}\\迈克尔·索莫斯2004年2月3日
(PARI)z='z+O('z^66);egf=(1+sin(z))/cos(z);Vec(塞拉普拉斯(egf))\\乔格·阿恩特2011年4月30日
(PARI)A000111号(n) ={my(k);和(m=0,n\2,(-1)^m*和(j=0,k=n+1-2*m,二项式(k,j)*(-1)*j*(k-2*j)^(n+1))/k>>k)}\\M.F.哈斯勒2012年5月19日
(极大值)a(n):=和(如果evenp(n+k),则(-1)^((n+k)/2)*和(j!*stirling2(n,j)*2^(1-j)*(-1)*(n+j-k)*二项式(j-1,k-1),j,k,n),其他为0),k,1,n)/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2010年8月19日*/
(最大值)
a(n):=如果n<2,则1其他2*和(4^m*(和((i-(n-1)/2)^(n-1)*二项式(n-2*m-1,i-m)*(-1)^/*弗拉基米尔·克鲁奇宁2011年8月9日*/
(Sage)#L.Seidel的算法(1877)
R=[];A={-1:0,0:1};k=0;e=1
对于(0..n)中的i:
Am=0;A[k+e]=0;e=-e
对于(0..i)中的j:Am+=A[k];A[k]=美国;k+=e
R.append(美国)
返回R
(哈斯克尔)
a000111 0=1
a000111 n=总额$a008280_低(n-1)
(Python)
#需要python 3.2或更高版本
从itertools导入累加
对于范围(10**2)内的n:
blist=列表(反向(列表(累加(反向(blist))))+[0]如果n为%2,则为[0]
(Python)
从mpmath导入*
mp.dps=150
l=斩波(泰勒(λx:秒(x)+褐色(x),0,26))
[int(fac(i)*li)for i,li in enumerate(l)]#因德拉尼尔·戈什,2017年7月6日
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交叉参考
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关键词
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非n,核心,特征,美好的,容易的,改变
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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A010094号
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| Euler-Bernoulli或Entringer数三角形。 |
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+10 9
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1, 1, 1, 2, 2, 1, 5, 5, 4, 2, 16, 16, 14, 10, 5, 61, 61, 56, 46, 32, 16, 272, 272, 256, 224, 178, 122, 61, 1385, 1385, 1324, 1202, 1024, 800, 544, 272, 7936, 7936, 7664, 7120, 6320, 5296, 4094, 2770, 1385, 50521, 50521, 49136, 46366, 42272, 36976, 30656, 23536, 15872, 7936, 353792
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,4
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评论
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T(n,k)是n从k开始的上下排列数,其中1<=k<=n-迈克尔·索莫斯2020年1月20日
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参考文献
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R.C.Entringer,Euler和Bernoulli数的组合解释,Nieuw Archief voor Wiskunde,14(1966),241-246。
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链接
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B.Bauslaugh和F.Ruskey,按字典顺序生成交替排列,Nordisk Tidskr。信息行为(BIT)30 16-26 1990。
D.Foata和G.-N.Han,割线树微积分,arXiv预印本arXiv:1304.2485[math.CO],2013。
M.Josuat-Verges、J.-C.Novelli和J.-Y.Thibon,蛇的代数组合学,arXiv预印本arXiv:1110.5272[math.CO],2011。
J.Millar、N.J.A.Sloane和N.E.Young,《序列的新操作:Boutrophedon变换》,J.Combina.理论,17A(1996)44-54(摘要,pdf格式,秒).
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配方奶粉
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T(1,1)=1;如果n>1,T(n,n)=0;如果1<=k<n,T(n,k)=T(n、k+1)+T(n-1、n-k)-迈克尔·索莫斯2020年1月20日
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例子
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三角形开始:
1;
1, 1;
2, 2, 1;
5, 5, 4, 2;
16, 16, 14, 10, 5;
61, 61, 56, 46, 32, 16;
272, 272, 256, 224, 178, 122, 61;
1385, 1385, 1324, 1202, 1024, 800, 544, 272;
7936, 7936, 7664, 7120, 6320, 5296, 4094, 2770, 1385;
…(结束)
n=4的上下排列为k=1:13241423;k=2:23142413;k=3:3411;k=4:无-迈克尔·索莫斯,2020年1月20日
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MAPLE公司
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b: =proc(u,o)选项记忆`如果`(u+o=0,1,
加(b(o-1+j,u-j),j=1..u))
结束时间:
T: =(n,k)->b(n-k+1,k-1):
seq(seq(T(n,k),k=1..n),n=1..12)#阿洛伊斯·海因茨2020年6月3日
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数学
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e[0,0]=1;e[_,0]=0;e[n,k]:=e[n、k]=e[n,k-1]+e[n-1,n-k];联接[{1},表[e[n,k],{n,0,11},{k,n,1,-1}]//平展](*Jean-François Alcover公司2013年8月13日*)
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黄体脂酮素
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(PARI){T(n,k)=如果(n<1||k>=n,k==1&&n==1,T(n、k+1)+T(n-1,n-k))}/*迈克尔·索莫斯,2020年1月20日*/
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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来自Will Root(侧风(AT)bright.net)的更多术语,2001年10月8日
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状态
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已批准
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1、1、3、1、5、15、21、15、5、61、183、285、327、285、183、61、1385、4155、6681、8475、9129、8475、6681、4155、1385、50521、151563、247065、325947、378105、396363、378105、325947、247065、151563、50521、2702765、8108295、13311741、17908935
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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Foata和Han将其称为Poupard数h_n(k)的三角形-N.J.A.斯隆2014年2月17日
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链接
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配方奶粉
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Sum_{k=0..2n}(-1)^n*C(2n,k)*T(n,k)=(-4)^n。
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例子
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如果我们这样写三角形:
......................... ...1;
................... ...1, ...3, ...1;
............. ...5, ..15。。21, ..15, ...5;
....... ..61, .183, .285, .327, .285, .183, ..61;
. 1385, 4155, 6681, 8475, 9129, 8475, 6681, 4155, 1385;
则第一个非零项是前一行的总和:
1385 = 61 + 183 + 285 + 327 + 285 + 183 + 61,
下一学期是第一学期的3倍:
4155 = 3*1385,
每行中的其余项通过以下所示的规则获得:
6681 = 2*4155 - 1385 - 4*61;
8475 = 2*6681 - 4155 - 4*183;
9129=2*8475-6681-4*285;
8475 = 2*9129 - 8475 - 4*327;
6681 = 2*8475 - 9129 - 4*285;
4155 = 2*6681 - 8475 - 4*183;
1385 = 2*4155 - 6681 - 4*61.
另一种重复出现方式如下所示:
4155 = 1385 + 2*(61 + 183 + 285 + 327 + 285 + 183 + 61);
6681 = 4155 + 2*(183 + 285 + 327 + 285 + 183);
8475 = 6681 + 2*(285 + 327 + 285);
9129 = 8475 + 2*(327);
然后对于k>n,T(n,k)=T(n、2*n-k)。
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MAPLE公司
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T:=proc(n,k)选项记忆;局部j;
如果n=1,则为1
elif k=1,然后加上(T(n-1,j),j=1..2*n-3)
elif k=2,然后3*T(n,1)
elif k>n,然后T(n,2*n-k)
其他2*T(n,k-1)-T(n,k-2)-4*T(n-1,k-2)
fi端:
seq(打印(seq(T(n,k),k=1..2*n-1)),n=1..5)#彼得·卢什尼2014年5月11日
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数学
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t[n_,k_]:=t[n,k]=如果[2*n<k|k<0,0,如果[n==0&k==0,1,如果[k==0,总和[t[n-1,j],{j,0,2*n-2}],如果[k<=n,t[n、k-1]+2*Sum[t[n-1,j]、{j、k-1、2*n-1-k}],t[n,2*n-k]]];表[t[n,k],{n,0,6},{k,0,2*n}]//扁平(*Jean-François Alcover公司,2012年12月6日,译自巴黎*)
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黄体脂酮素
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(PARI)T(n,k)=如果(2*n<k||k<0,0,如果(n==0&k==0,1,如果(k==0,总和(j=0,2*n-2,T(n-1,j
(哈斯克尔)
a125053 n k=a125053_tabf!!不!!k个
a125053_当前n=a125053_tabf!!n个
a125053_tabf=迭代f[1],其中
f zs=zs'++反向(init zs'),其中
zs’=(sum zs):g(map(*2)zs)(sum zs)
g[x]y=[x+y]
g xs y=y':g(tail$init xs)y'其中y'=总和xs+y
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交叉参考
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关键词
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非n,标签,美好的
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作者
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状态
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已批准
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A099959号
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| 按行读取三角形:每行由前一行的部分和构成,从右侧读取,每隔一行重复最后一项。 |
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+10 6
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1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 6, 8, 8, 14, 17, 17, 17, 34, 48, 56, 56, 104, 138, 155, 155, 155, 310, 448, 552, 608, 608, 1160, 1608, 1918, 2073, 2073, 2073, 4146, 6064, 7672, 8832, 9440, 9440, 18272, 25944, 32008, 36154, 38227, 38227, 38227, 76454, 112608
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,6
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评论
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...
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链接
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例子
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三角形开始
1;
1,
1, 1;
1, 2,
2, 3, 3;
3, 6, 8,
8, 14, 17, 17;
17, 34, 48, 56,
56, 104, 138, 155, 155;
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MAPLE公司
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with(linalg):rev:=proc(a)局部n,p;n: =vectdim(a):p:=i->a[n+1-i]:向量(n,p)结束:ps:=proc(a)局部n,q;n: =vectdim(a):q:=i->和(a[j],j=1..i):向量(n,q)结束:pss:=proc(a)局部n,q;n: =vectdim(a):q:=proc(i)如果i<=n,则求和(a[j],j=1..i)其他求和(a[j]、j=1..n)fi end:矢量(n+1,q)end:R[0]:=矢量(1,1):对于n从1到18 do,如果n mod 2=1,则R[n]:=ps(rev(R[n-1])))其他R[n]:=pss(rew(R[n-1]))fi od:对于n从0到18,执行evalm(R[n])od;#程序生成连续的行#Emeric Deutsch公司2004年11月16日
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数学
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行[0]=行[1]={1};row[n_?OddQ]:=累加[Reverse[row[n-1]];row[n_?EvenQ]:=(r=累加[Reverse[row[n-1]];追加到[r,Last[r]]);压扁[Table[row[n],{n,0,13}]](*Jean-François Alcover公司2011年12月16日*)
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
a099959 n k=a099959_tabl!!不!!k个
a099959_row n=a099959 _ tabl!!n个
a099959_tabl=映射snd$iterate f(False,[1]),其中
f(s,xs)=(不是s,如果s那么zs++[lastzs]else zs)
其中zs=扫描1(+)(反向xs)
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交叉参考
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关键词
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非n,标签,美好的,容易的
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作者
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扩展
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状态
|
已批准
|
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A099961号
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| 按行读取三角形:每行由前一行的部分和构成,从右侧读取,每隔三行重复最后一项。 |
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+10 6
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1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 5, 10, 13, 13, 23, 28, 28, 51, 64, 64, 64, 128, 179, 207, 207, 386, 514, 578, 578, 1092, 1478, 1685, 1685, 1685, 3370, 4848, 5940, 6518, 6518, 12458, 17306, 20676, 22361, 22361, 43037, 60343, 72801, 79319, 79319, 79319
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,6
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评论
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...
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链接
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例子
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三角形开始
1;
1,
1, 1;
1, 2,
2, 3,
3, 5, 5;
5、10、13,
13, 23, 28,
28, 51, 64, 64;
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MAPLE公司
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带有(linalg):rev:=proc(a)局部n,p;n: =vectdim(a):p:=i->a[n+1-i]:向量(n,p)结束:ps:=proc(a)局部n,q;n: =vectdim(a):q:=i->和(a[j],j=1..i):向量(n,q)结束:pss:=proc(a)局部n,q;n: =vectdim(a):q:=proc[n])od;#号程序生成连续的行#Emeric Deutsch公司2004年11月16日
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数学
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r[0]={1};r[n_]:=r[n]=Join[a=累加[r[n-1]],如果[Mod[n,3]==2,{Last[a]},{}]];扁平[表[r[n],{n,0,15}]](*Jean-François Alcover公司2012年3月13日*)
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黄体脂酮素
|
(哈斯克尔)
a099961 n k=a099961_tabl!!不!!k个
a099961_row n=a099961_tabl!!n个
a099961_tabl=映射snd$迭代f(0,[1]),其中
f(s,xs)=(s+1,如果s`mod`3==1,则zs++[最后一个zs]为zs)
其中zs=扫描1(+)(反向xs)
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交叉参考
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关键词
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非n,标签,美好的,容易的
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作者
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扩展
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状态
|
已批准
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1, 1, 1, 2, 4, 14, 46, 224, 1024, 6320, 36976, 275792, 1965664, 17180144, 144361456, 1446351104, 13997185024, 158116017920, 1731678144256, 21771730437632, 266182076161024, 3686171162253824, 49763143319190016, 752594181757712384, 11118629668610842624
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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在Gelineau、Shin和Zeng(第6.1节)中可以找到对数字的十二种解释。(结束)
此序列是下表中数字的中心序列:
答_0 1
B_1 10
答2 0 1 1
B_3 2 1 0
答40 2 4 5 5
B_5 16 16 14 10 5 0
答6 0 16 32 46 56 61 61
B_7 272 272 256 224 178 122 61 0
其中,行A_k是通过序列0,B_1,B_1+B_2,…,从行B_(k-1)获得的。。。,b_1+b_2++b_k和b_k行是通过序列A_1+A_2+…从行A_(k-1)中获得的+k,…,(_k)。。。,a(k-1)+a k,a k,0-肖恩·欧文2016年6月25日
以英美数学家奥布里·约翰·坎普纳(1880-1973)的名字命名-阿米拉姆·埃尔达尔2021年6月23日
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参考文献
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N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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MAPLE公司
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A005437号:=程序(n)局部S;S:=proc(n,k)选项记忆;如果k=0,则`if`(n=0,1,0)else S(n,k-1)+S(n-1,n-k)fi结束:S(n、iquo(n+1,2))结束;序列号(A005437号(i) ,i=0..24)#彼得·卢什尼2012年7月9日
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数学
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a[n_]:=模[{S},S[m_,k_]:=S[m,k]=如果[k==0,如果[m==0、1、0],S[m、k-1]+S[m-1,m-k]];S[n,商[n+1,2]];
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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A099964号
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| 按行读取三角形:第n行由前一行的部分和构成,从右边读取,如果n是重复最后一项的三角形数。 |
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1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3, 6, 8, 8, 14, 17, 17, 31, 39, 39, 39, 78, 109, 126, 126, 235, 313, 352, 352, 665, 900, 1026, 1026, 1926, 2591, 2943, 2943, 2943, 5886, 8477, 10403, 11429, 11429, 21832, 30309, 36195, 39138, 39138, 75333, 105642, 127474, 138903
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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...
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链接
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例子
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三角形开始
1;
1, 1;
1, 2,
2, 3, 3;
3, 6, 8,
8, 14, 17,
17、31、39、39;
39, 78, 109, 126,
126, 235, 313, 352,
352, 665, 900, 1026,
1026, 1926, 2591, 2943, 2943;
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MAPLE公司
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带有(linalg):rev:=proc(a)局部n,p;n: =vectdim(a):p:=i->a[n+1-i]:向量(n,p)结束:ps:=proc(a)局部n,q;n: =vectdim(a):q:=i->和(a[j],j=1..i):向量(n,q)结束:pss:=proc(a)局部n,q;n: =vectdim(a):q:=proc(i)如果i<=n,则求和(a[j],j=1..i)else和(a[j],j=1..n)fi-end:vector(n+1,q)end:tr:={seq(n*(n+1)/2,n=1.30)}:R[0]:=向量(1,1):对于n从1到15 do,如果成员(n,tr)=false,则R[n]:=ps(rev(R[n-1]))))else R[n]:=pss(rev R[n-1])fiod:对于从0到15的n,进行evalm(R[n])od#Emeric Deutsch公司2004年11月16日
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数学
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triQ[n_]:=减少[n==k(k+1)/2,k,整数]=!=错误;行[0]={1};行[1]={1,1};行[n_]:=行[n]=(ro=累加[Reverse[row[n-1]];如果[triQ[n],追加[ro,Last[ro]],ro]);扁平[表格[行[n],{n,0,13}]](*Jean-François Alcover公司2011年11月24日*)
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黄体脂酮素
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(哈斯克尔)
a099964 n k=a099964_tabf!!不!!k个
a099964_row n=a099964_tabf!!n个
a099964_tabf=扫描f[1]$tail a010054_list,其中
f行t=如果t==1,则行'++[最后一行']else行'
其中,行'=扫描1(+)$reverse行
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交叉参考
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关键词
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非n,标签,美好的,容易的
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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A006212号
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| 从n+1开始的n+3的向下向上排列数。 (原名M3485)
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+10 三
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0, 1, 4, 14, 56, 256, 1324, 7664, 49136, 345856, 2652244, 22014464, 196658216, 1881389056, 19192151164, 207961585664, 2385488163296, 28879019769856, 367966308562084, 4922409168011264, 68978503204900376, 1010472388453728256, 15445185289163949004
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,3
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评论
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入口编号。
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参考文献
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R.C.Entringer,Euler和Bernoulli数的组合解释,Nieuw Archief voor Wiskunde,14(1966),241-246。
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe,《整数序列百科全书》,学术出版社,1995年(包括该序列)。
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链接
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B.Bauslaugh和F.Ruskey,按字典顺序生成交替排列,Nordisk Tidskr。信息行为(BIT)30(1990),16-26。
J.Millar、N.J.A.Sloane和N.E.Young,《序列的新操作:Boutrophedon变换》,J.Combina.理论,17A(1996),44-54(摘要,pdf格式,秒).
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配方奶粉
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a(n)=和{i=0..1+楼层((n+1)/2)}(-1)^i*二项式(n,2*i+1)*E[n+1-2i],其中E[j]=A000111号(j) =j*[x^j](秒(x)+tan(x))是向上/向下或Euler数字。
例如:(秒(x)+tan(x))^2/cos(x)-(秒(x)+tan(x))-谢尔盖·格拉德科夫斯基2015年6月29日
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例子
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a(2)=4,因为我们有31425、31524、32415和32514。
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MAPLE公司
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f: =秒(x)+tan(x):fser:=系列(f,x=0,30):E[0]:=1:对于从1到25的n,执行E[n]:=n*系数(fser,x^n)od:a:=n->和((-1)^i*二项式(n,2*i+1)*E[n+1-2*i],i=0..1+楼层((n+1)/2):seq(a(n),n=0..18);
b:=proc(u,o)选项记忆;
`如果`(u+o=0,1,加(b(o-1+j,u-j),j=1..u))结束:
a:=n->b(n,2):序列(a(n),n=0..21)#彼得·卢什尼2017年10月27日
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数学
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t[n_,0]:=如果[n==0,1,0];t[n,k]:=t[n、k]=t[n,k-1]+t[n-1,n-k];a[n]:=t[n+2,n];数组[a,30,0](*Jean-François Alcover公司2016年2月12日*)
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交叉参考
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关键词
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非n,容易的
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作者
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扩展
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状态
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已批准
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1, 1, -1, -5, 5, 61, -61, -1385, 1385, 50521, -50521, -2702765, 2702765, 199360981, -199360981, -19391512145, 19391512145, 2404879675441, -2404879675441, -370371188237525, 370371188237525, 69348874393137901, -69348874393137901, -15514534163557086905
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,4
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评论
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整数欧拉数的赛德尔三角形(1877)的一个版本是
1
1 1
2 2 1
2 4 5 5
16 16 14 10 5
16 32 46 56 61 61
等等。
第一条对角线,Es(n)=1,1,1,5,5,61,61,13851385。。。,本质上来自A000364号(n) 重复。
a(n)是Es(n),由两人签署。
a(n)的差异表:
1, 1, -1, -5, 5, 61, -61, -1385, ...
0, -2, -4, 10, 56, -122, -1324, ...
-2, -2, 14, 46, -178, -1202, ...
0, 16, 32, -224, -1024, ...
16、16、-256、-800。。。
0, -272, -544, ...
-272, -272, ...
0, ...
等等。
反对偶数之和:1,1,-5,-11,61,211,-385=A239322型(n+1)。
主对角线与第一条上对角线交错:1,1,-2,-4,14,46,…=签署A214267型(n+1)。
1, 1, 1/2, 0, -1/4, -1/4, -1/8, 0, ...
0, 1, 3/2, 1, 0, -3/4, -7/8, ...
-1, -1, 3/2, 4, 15/4, 3/4, ...
0, -5, -15/2, 1, 15, ...
5, 5, -51/2, -56, ...
0, 61, 183/2, ...
-61, -61, ...
0, ...
等等。
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链接
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配方奶粉
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a(n)是分数数组的第二列。
G.f.T(0)/x-1/x,其中T(k)=1-x*(k+1)/(x*(k+1)-(1-x)/(1-x*(k+1)/(x*(k+1)+(1-x)/T(k+1)))-谢尔盖·格拉德科夫斯基2016年1月23日
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MAPLE公司
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A241209型:=程序(n)局部v,k,h,m;m:=`if`(n mod 2=0,n,n+1);
h:=k->`if`(k mod 4=0,0,(-1)^iqoo(k,4));
(-1)^n*加法(2^iquo(-k,2)*h(k+1)*add((-1)*v*二项式(k,v)*(v+1)^m,v=0..k)
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数学
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skp[n_,x_]:=和[二项式[n,k]*EulerE[k]*x^(n-k),{k,0,n}];
表[EulerE[n]-EulerE[n+1],{n,0,30}](*文森佐·利班迪2016年1月24日*)
-差异/@Partition[EulerE[范围[0,30]],2,1]//平坦(*哈维·P·戴尔2019年4月16日*)
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黄体脂酮素
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(岩浆)
EulerPoly:=func<n,x|(&+[(-1)^j*二项式(k,j)*(x+j)^n:j in[0..k]])/2^k:k in[0..n]])>;
欧拉:=func<n|2^n*EulerPoly(n,1/2)>//A122045型
[欧拉(n)-欧拉(n+1):[0..40]]中的n//G.C.格鲁贝尔2023年6月7日
(SageMath)[范围(41)中n的euler_number(n)-euler_number(n+1)]#G.C.格鲁贝尔,2023年6月7日
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交叉参考
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囊性纤维变性。A000364号,A000657号,A008282号,A016116号,A046978美元,A119880号,A122045型,A153641号,A155585型,A214247型,A214267型,A239005型,A239322型.
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关键词
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签名
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作者
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