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最小曲面


最小曲面定义为零曲面平均曲率最小曲面参数化为x=(u,v,h(u,v))因此满足拉格朗日方程式,

 (1+hv^2)h(uu)-2huhvh(uv)+(1+h2)h(vv)=0
(1)

(格雷1997年,第399页)。

在中查找具有指定约束的边界的最小曲面是一个问题变分法有时称为高原问题.最小表面也可以被描述为最小曲面表面地区对于给定的边界条件。A类飞机是微不足道的最小曲面,以及第一个非平凡示例(悬链线螺旋面)1776年被默斯尼尔发现(默斯尼尔1785). 求最小边界曲面的问题倾斜四边形的1890年由施瓦兹解决(施瓦兹1972)。

请注意,虽然是“最小表面”,即表面面积与体积之比最小,不合格作为数学家使用的最小曲面。

欧拉证明了极小曲面是平面的若(iff)它的高斯曲率每个点都为零,因此它是本地的-成形。这个存在道格拉斯(1931)和Radó(1933),尽管他们的分析不能排除奇点。Osserman(1970)和Gulliver(1973)表明,最小化解决方案不能有奇点。

200年来已知的有限拓扑的唯一完整(无边界)嵌入(无自交)最小曲面是悬链线,螺旋面、和飞机.霍夫曼发现了一个三端1个最小嵌入表面,并证明了无限多这样的曲面的存在。一个四端的还发现了嵌入的最小曲面。L.Bers证明了隔离的,孤立的奇点单值参数化最小表面是可移动的。

可以使用等温参数化。如果坐标函数x(_k)谐波,即。,phi_k(泽塔)分析的因此,最小曲面可以由三元组定义解析函数这样的话

 phi_1^2+phi_2^2+ph_3^2=0。
(2)

这个真实的然后将参数化为

 x_k=Rintphi_k(zeta)dzeta。
(3)

但是,对于解析函数 (f)和a亚纯函数 克,三重功能

φ1(ζ)=f(1-g^2)
(4)
φ2(ζ)=如果(1+g^2)
(5)
phi3(zeta)=第二组
(6)

分析的只要(f)有零级>=米属于克订单的米这就提供了最小的表面Enneper-Weierstrass公司参数化

 Rint[f(1-g^2);if(1+g^ 2);2fg]dzeta。
(7)

1999年6月/7月发行的美国数学注意事项社会(Karcher和Palais,1999年)。


另请参见

伯恩斯坦极小曲面定理,布尔极小曲面,气泡,微积分变更,加泰罗尼亚表面,类儿茶素,Chen-逆止器表面,完成最小曲面,Costa最小曲面,可开发表面,双精度气泡,Enneper最小曲面,Enneper-Weierstrass参数化,小旋翼机,螺旋体,Henneberg的最小曲面,霍夫曼极小曲面,Lichtenfels最小曲面,洛佩兹最小曲面,平均曲率,最小旋转表面,尼伦伯格猜想,奥利维拉最小曲面,参数化,平面,高原定律,高原问题,Scherk的最小曲面,施瓦兹极小曲面,表面积,三位一体

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工具书类

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参考Wolfram | Alpha

最小曲面

引用如下:

埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“最小曲面。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/MinimalSurface.html

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