最小曲面

最小曲面定义为零曲面平均曲率最小曲面参数化为因此满足拉格朗日方程式,

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（格雷1997年，第399页）。

在中查找具有指定约束的边界的最小曲面是一个问题变分法有时称为高原问题.最小表面也可以被描述为最小曲面表面地区对于给定的边界条件。A类飞机是微不足道的最小曲面，以及第一个非平凡示例（悬链线和螺旋面)1776年被默斯尼尔发现（默斯尼尔1785). 求最小边界曲面的问题倾斜四边形的1890年由施瓦兹解决（施瓦兹1972）。

请注意，虽然球是“最小表面”，即表面面积与体积之比最小，不合格作为数学家使用的意义上的最小曲面。

欧拉证明了极小曲面是平面的若（iff）它的高斯曲率每个点都为零，因此它是本地的鞍-形状。这个存在道格拉斯（1931）和Radó（1933），尽管他们的分析不能排除奇点。Osserman（1970）和Gulliver（1973）表明，最小化解决方案不能具有奇点。

200年来已知的有限拓扑的唯一完整（无边界）嵌入（无自交）最小曲面是悬链线,螺旋面、和飞机.霍夫曼发现了一个三端属1个最小嵌入表面，并证明了无限多这样的曲面的存在。一个四端的还发现了嵌入的最小曲面。L.Bers证明了隔离的，孤立的奇点单值参数化最小表面是可移动的。

可以使用等温参数化。如果坐标函数是谐波,即。，是分析的因此，最小曲面可以由三元组定义解析函数这样的话

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这个真实的然后将参数化为

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但是，对于解析函数 和a亚纯函数 ，三重功能

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是分析的只要有零级每极属于订单的这就提供了最小的表面恩内佩·维尔斯特拉斯参数化

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1999年6月/7月发行的美国数学注意事项社会（Karcher和Palais，1999年）。