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谐波函数

任何实函数 u（x，y）以连续秒部分衍生物这满足了拉普拉斯方程,

del^2u（x，y）=0，
(1)

称为调和函数。谐波函数称为势能函数在物理和工程中。势函数非常有用，例如，在电磁学中，他们减少了对三分量的研究矢量场到1分量标量功能标量调和函数称为标量潜在的，向量调和函数称为矢量潜在的.

要在飞机，编写拉普拉斯方程在里面极地的坐标

u（rr）+1/ru_r+1/（r^2）u（θ）=0，
(2)

只考虑径向解

u（rr）+1/rur=0。
(3)

这是可以通过求积积分的，所以定义v=du/dr,

（dv）/（dr）+1/rv=0
(4)
（dv）/v=-（dr）/r
(5)
ln（v/A）=-lnr
(6)
v/A=1/r
(7)
v=（du）/（dr）=A/r
(8)
du＝A（dr）/r，
(9)

所以解决方案是

u=铝。
(10)

忽略平凡的加法和乘法常数，一般的纯径向解就变成

u个=ln[（x-a）^2+（y-b）^2]^（1/2）
(11)
=1/2英寸[（x-a）^2+（y-b）^2]。
(12)

其他解决方案可以通过微分获得，例如

u个=（x-a）/（（x-a）^2+（y-b）^2）
(13)
v（v）=（y-b）/（（x-a）^2+（y-b）^2），
(14)
u个=e ^ x最小
（15）
v（v）=e ^xcosy公司，
（16）

和

tan（-1）（（y-b）/（x-a））。
(17)

包含方位相关性的调和函数包括

u个=r^ncos（ntheta）
(18)
v（v）=r ^ nsin（ntheta）。
（19）

这个泊松核

u（r，r，θ，φ）=（r^2-r^2）/（r^2-2rRcos（θ-phi）+r^2
(20)

是另一个调和函数。

另请参见

保角映射,Dirichlet问题,谐波分析,谐波分解,哈纳克不等式,哈纳克原理,开尔文转型,拉普拉斯方程,泊松完整的,泊松核,标量潜力,施瓦兹反射原理,次谐波函数,矢量潜力

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阿什，J.M。（编辑）。谐波分析研究。华盛顿特区：数学。美国协会。，1976阿克斯勒，美国。；波登，P。；和W.Ramey。谐波功能理论。Springer-Verlag，1992年。J.J.贝内代托。谐波分析与应用。佛罗里达州博卡拉顿：CRC出版社，1996年。科恩，H。保角的黎曼曲面上的映射。纽约：多佛，1980年。S.G.将军。《谐波函数》第1.4.1节和第7章手册复杂变量的。马萨诸塞州波士顿：Birkhäuser，第16页和第89-101页，1999魏斯坦，E.W。“关于潜力理论的书籍。”http://www.ericweisstein.com/encyclopedias/books/PotentialTheory.html.

引用关于Wolfram | Alpha

谐波函数

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“谐波函数。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/HarmonicFunction.html

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