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Enneper最小曲面

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Ennepers最小曲面

自我-交叉 最小曲面可以使用Enneper-Weierstrass公司参数化具有

f（z）=1
（1）
克（z）=泽塔。
（2）

出租z=re^（iphi）并采取实部给

x个=R[re^（iphi）-1/3r^3e^（3iphin）]
(3)
=rcospi-1/3r^3cos（3phi）
(4)
年=R[ire^（iphi）+1/3ir^3e^（3iphin）]
(5)
=-1/3r[3sinphi+r^2sin（3phi）]
(6)
z（z）=R[R^2e^（2iphi）]
(7)
=r^2cos（2phi），
(8)

哪里[0,1]中的r和φin[-pi，pi）.消除第页和φ然后给出隐式形式

（（y^2-x^2）/（2z）+2/9z^2+2/3）^3-6[（y^2-x^2））/（4z）-1/4（x^2+y^2+8/9z^2）+2/9]^2=0，
(9)

所以Enneper的最小曲面是9阶代数曲面。

The coefficients of the第一基本形式是

E类=-2cos（2φ）
(10)
F类=4r磷辛基
(11)
G公司=2r^2cos（2phi），
(12)

这个第二基本形式系数是

e（电子）=（1+r^2）^2
(13)
（f）=0
(14)
克=r^2（1+r^2）^2，
(15)

和高斯和意思是曲率是

K（K）=-4/（（1+r^2）^4）
（16）
H（H）=0
(17)

出租z=u+iv给出了上图，并进行了参数化

x个=u-1/3u^3+uv^2
(18)
年=-v-u^2v+1/3v^3
(19)
z（z）=u^2-v^2
(20)

（卡莫1986，格雷1997）。在此参数化中第一基本形式是

E类=（1+u^2+v^2）^2
(21)
F类=0
(22)
G公司=（1+u^2+v^2）^2，
(23)

这个第二基本形式系数是

e（电子）=-2
(24)
（f）=0
(25)
克=2,
（26）

这个面积元素是

dA=（1+u^2+v^2）du^dv，
(27)

和高斯和意思是曲率是

K（K）=-4/（（1+u^2+v^2）^4）
(28)
H（H）=0
(29)

另请参阅

Chen-逆止器表面,Enneper-Weierstrass参数化

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Dickson，S.“最小曲面”数学杂志。 1, 38-40, 1990.做Carmo，M.P。“Enneper的表面。”§3.5C英寸数学大学和博物馆藏品中的模型（编辑G.Fischer）。德国布伦瑞克：Vieweg，第43页，1986年。Enneper，A.“分析几何Untersuchungen公司。"Z.数学。物理。 9, 96-125, 1864.葡萄。“Enneper的表面。”http://www-sfb256.iam.uni-bonn.de/grape/EXPLES/AMANDUS/enneper.html.灰色，A.“最小曲面示例”，“Enneper的相关家族”曲面，“和”Enneper的度曲面n个”§30.2和31.7现代曲线和曲面的微分几何与Mathematica，第二版。博卡佛罗里达州Raton：CRC出版社，第358、684-685和726-7321997页。Java视图。“微分几何中的经典曲面：Enneper。”http://www-sfb288.math.tu-berlin.de/vgp/javaview/demo/surface/common/PaSurface_Enneper.html.梅德，R。这个Mathematica程序员。加利福尼亚州圣地亚哥：学术出版社，第150-151页，1994Nordstrand，T.“Enneper的最小曲面”http://jalape.no/math/enntxt.奥斯曼，R。A类最小曲面测量。纽约：多佛，第65、87和143页，1986年。Wolfram Research，Inc.“Mathematica 2.0版图形库”http://library.wolfram.com/infocenter/Demos/4664/.

引用如下：

埃里克·魏斯坦（Eric W.Weisstein）。“Enneper的最小曲面。”发件人数学世界--Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/EnnepersMinimalSurface.html

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