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公制张量


大致来说,度量张量g(ij)是一个功能这说明如何计算给定中任意两点之间的距离空间.它的组成部分可以看作是乘法因子,必须放在前面差分位移的dx_i在广义上毕达哥拉斯语定理以下为:

 ds^2=g_(11)dx_1^2+g_(12)dx_1dx_2+g_(22)dx_2^2+。。。。
(1)

欧几里德空间,g(ij)=增量哪里三角洲克罗内克三角洲(0表示我=j个和1用于i=j),复制的通常形式毕达哥拉斯语定理

 ds^2=dx_1^2+dx_2^2+。。。。
(2)

这样,度量张量可以被认为是一种工具,通过引入一种广义的张量,可以将空间的几何特征“算术化”坐标系(鲍里森科和塔拉波夫,1979年)。

在上述简化中,所讨论的空间通常是光滑歧管 M(M),由此,度量张量本质上是一个几何对象g=克(·,·)取两个矢量输入并计算平方长度 克(v,v)单个矢量的v(v)或a标量 产品 g(u,v)两个不同矢量的u=v(v)(米斯纳等。1978). 在这个类比中,输入有疑问的是最常见的切线向量撒谎在中切线空间 T_pM(_pM)在某些方面p(单位:M),这一事实有助于更常见的定义度量张量的赋值可微分的 内部产品到所有切线空间的集合关于可微流形M(M)(奥尼尔1967)。因此,一些文献定义了可微流形上的度量张量M(M)只不过是一个对称的非退化双线性形式(Dodson和Poston 1991)。

可以使用张量场及其指数的语言来表述等效定义。沿着这些思路,一些文献将度量张量定义为对称张量(0,2)张量场克在光滑流形上M(M)所以,对所有人来说x(单位:M),盖克斯是非退化的,并且指数(gx)=I对于一些非负整数我(Sachs和Wu,1977年)。在这里,我被称为指数属于克和表达式指数(·)指的是指数这一定义似乎不太常见上述内容。

度量张量在文献中有许多同义词。尤其是,度量张量有时被称为基本张量(Fleisch 2012)或几何结构(奥尼尔1967)。具有度量张量的流形有时称为几何流形流形(O'Neill 1967),而一对(X,G)由实向量空间组成X和度量张量G: X×X->R称为度量向量空间(Dodson和Poston 1991)。符号上,度量张量通常表示为克g(ij),尽管有符号数字^2(奥尼尔1967),g^->^->(Fleisch 2012),以及G公司(Dodson和Poston 1991)有时也会被使用。

当定义为可微时内积每个的切线空间可微的歧管 M(M),的内部的产品与度量张量相关的通常被假定为对称的,非退化,以及双线性的也就是说假设需要两个向量 v、 w个作为参数并生成真实的 <v,w>这样的话

 <kv,w>=k<v,w>=<v,kw>
(3)
 <v+w,x>=<v,x>+<w,x>
(4)
 <v,w+x>=
(5)
 <v,w>=<w,v>。
(6)

然而,请注意,内积不需要积极的一定的即条件

 <v,v>>=0
(7)

等式当且仅当v=0不必总是满足。当度量张量 正定的,它被称为黎曼的米制的或者,更准确地说弱黎曼米制的; 否则,它被称为非黎曼,(弱)伪黎曼,或半黎曼,尽管后两个术语有时在不同的上下文中使用不同。黎曼度量的最简单示例是欧几里得的米制的 ds^2=dx_1^2+dx_2^2+。。。如上所述;非黎曼度量的最简单示例是闵可夫斯基米制的狭义相对论的四维版本公制签名 (1,n-1)这导致了标准洛伦兹内部产品n个-维度的洛伦兹空间在一些文献中非简并的变化包括弱非简并或强非简并(马斯登等。2002); 也可以考虑度量张量,其相关的二次形式不能是对称的,尽管这种情况不太常见。

在坐标中符号(相对于选定的基),度量张量g(αβ)和它的逆g^(αβ)满足多个基本身份。,

 g^(αβ)=e^->^α·e^->β,
(8)
 g_(alphabeta)=e^->_alpha·e^->_beta,
(9)

 g(munu)=(partialxi^alpha)/(partial x^mu)(partial-xi^beta)/(pertialx^nu)eta(alphabeta),
(10)

哪里eta(αβ)是度量系数矩阵。身份的一个例子(0)来自狭义相对论eta(αβ)是公制系数矩阵闵可夫斯基公制签名的(1,3)即。,

 eta_(alphabeta)=[-1 0 0;0 1 0 0;00 0 1 0;0 0 0 1]。
(11)

一般来说,身份(), (2),以及(1)可以简洁地写成

 g=D^(T)etaD,
(12)

哪里

D_(字母)=(partialxi^alpha)/(partial x ^mu)
(13)
D_(字母)^(T)=D_(mualpha)。
(14)

另外,

 部分/(partialx^m)g(il)g^(lk)=部分
(15)

给予

 g(il)(部分g^(lk))/(部分x^m)=-g^
(16)

从而得出度量张量与其逆张量之间的定量关系。

如果度量是正定的,的度量鉴别积极的.对于两个空间中的度量,这个事实可以用不等式定量表示

 g=g_(11)g_(22)-g_(12)^2>0。
(17)

这个正交性属于反变体协变的由规定的指标

 g_(ik)g^(ij)=增量
(18)

对于i=1,2,3,。。。,n个给予n个线性方程组2个g_(ij)g^(ij)因此,如果n个度量是已知的,其他的可以确定,事实是总结的通过说度量张量的存在给出了改变的几何方式从逆变张量到协变张量,反之亦然(Dodson和Poston 1991)。

在两个空间中,

克(11)=(g_(22))/克
(19)
克(12)=g^(21)=-(g_(12))/g
(20)
克(22)=(g(11))/g。
(21)

因此,如果克对称,

g(αβ)=g(贝塔尔法)
(22)
g^(αβ)=g^(贝塔尔法)。
(23)

在任何对称空间(例如,in欧几里得的空间),

 g_alpha^beta=g^beta_alpha=delta_alpha ^beta,
(24)

等等

 g_(alphaalpha)=1/(g^(alphaalpha))。
(25)

这个 φ两条参数曲线之间的关系如下所示

 cosphi=r1^^·r2^^=(r1)/(g1)·(r2)/(G2)=(g12)/(G1g2),
(26)

所以

 sinphi=(sqrt(g))/(g1g2)
(27)

 |r_1xr_2 |=g_1g_2sinphi=平方(g)。
(28)

在任意(有限)维中线条元素可以写入

 ds^2=dx_idx_i=g_(ij)dq_idq_j
(29)

哪里爱因斯坦总和已使用。三维,这就产生了

 dx_i=(部分x_i)/(部分q_1)dq_1+(部分x_i)/(部分q_2)dq_2+(部分x_i)/(部分q_3)dq_3=(部分x_i)/(部分q_j)dq_j,
(30)

因此,度量张量g(ij)在三个空格中可以写成

 g(ij)=总和(k)(部分x k)/(部分q i)(部分X k)/。
(31)

此外,因为g_(ij)=0对于我=j个工作时正交的坐标系统线条元素对于三个空格

数字^2=g(11)dq_1^2+g(22)dq_2^2+g(33)dq_3^2
(32)
=(h1dq_1)^2+(h2dq_2)^2+(h3dq_3)^2,
(33)

哪里hi=平方(g(ii))被称为比例因子.其中许多概念可以推广到更高的维度和更一般的上下文。


另请参见

反变张量,协变张量,曲线坐标,Lichnerowicz条件,Line元素,洛伦兹歧管,洛伦兹空间,公制,公制识别器,公制等价性问题,指标签名,公制张量指数,闵可夫斯基空间,正定张量,伪黎曼流形,二次方表单索引,黎曼度量,比例因子,半黎曼流形,半黎曼度量,平滑歧管,空间,强大伪黎曼度量,强黎曼公制,切线空间,切线矢量,弱伪黎曼度量,弱黎曼度量

本条目的部分内容由克里斯托弗斯托弗

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工具书类

A.I.鲍里森科。和塔拉波夫,I.E。向量和张量分析及其应用。纽约:多佛出版公司。,1979多德森,C.T。J。和Poston,T。张索尔几何:几何观点及其应用,第2版。纽约:Springer-Verlag,1991弗利什,D。A类向量和张量学生指南。纽约:剑桥大学出版社,2012Marsden,J.E。;比率,T。;和R·亚伯拉罕。歧管,张量分析与应用,第3版。Springer-Verlag出版社公司,2002年。米斯纳,C.W。;Thorne,K.S。;和J.A.Wheeler。“公制张量”§2.4引力。加利福尼亚州旧金山:W.H。弗里曼,第51-53页,1973年。奥尼尔,B。初级微分几何,第2版。马萨诸塞州伯灵顿:学术出版社,2006年。拉特克利夫,J·G·。基础双曲流形。纽约:施普林格出版社,2006年。萨克斯,R.K。和Wu,H。概述数学家的相对论。纽约:Springer-Verlag出版社,1977年。Snygg,J。A类使用Clifford几何代数的微分几何新方法。纽约:Springer Science+Business Media,2012年。

参考Wolfram | Alpha

公制张量

引用如下:

克里斯托弗·斯托弗埃里克·魏斯坦(Eric W.Weisstein)。“公制张量。”来自数学世界--A类Wolfram Web资源。https://mathworld.wolfram.com/MetricTensor.html

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