搜索： a212196-编号：a21296
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1, -1, -4, -1, -8, -1, -8, -3, -8, 1, 104, -41, -920, 1767, 20168, -8317, -2022392, 869807, 291391192, -129169263, -2759924456, 250158593, 146772324808, -67632514765, -10164962436952
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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数组B（m，n）开始于：
1，-1，-4/3，-1，-8/15，-1/5，-8/105，。。。
-2, -1/3, 1/3, 7/15, 1/3, 13/105,...
5/3, 2/3, 2/15, -2/15, -22/105,...
-1, -8/15, -4/15, -8/105,...
7/15, 4/15, 4/21,...
-1/5, -8/105,...
13/105,...
等。
B（0，n）=1，-1，-4/3，-1，-8/15，-1/5，-8/105，-3/35，-8/10，1/35，104/1155，…=a（n）/b（n）。
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链接
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数学
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最大值=12；t[0]=表[BernoulliB[n]，{n，0，2*max}]；t[n_]：=t[n]=差异[t[0]，n]；B1[1,1]=-1/3；B1[n_，n]：=t[n][[n+1]]；B1【m，n】/；n==m+1：=B1[m，n]=-B1[m，m]；B1[m_？非负性，n_？非负性]：=B1[m，n]=B1[m，n-1]+B1[m+1，n-1]；B1[_，_]=0；表[B1[0，n]//分子，{n，0，2*max}](*Jean-François Alcover公司2014年4月14日*）
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关键词
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签名，压裂
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A181131号
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| n>0时积分{x=0..+oo}多项式（-n，-x）^2的分母，其中a（0）=1。 |
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+10
21
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1、3、15、105、105、231、15015、2145、36465、969969、4849845、10140585、10140585、22287、3231615、7713865005、7713865005、90751353、218257003965、1641030105、67282234305、368217318651、1841086593255、3762220429695、639577473048155466231253523
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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a（n）=分母（（-1）^n/Pi^（2*n）*积分（（log（t/（1-t））*log（1-1/t））^n dt，t=0.1））[格里·马滕斯2011年5月25日]
a（n）=分母（和{k=0..n}C（n，k）*Bern（n+k））-弗拉基米尔·克鲁奇宁2015年4月6日
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MAPLE公司
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seq（denom（加法（二项式（n，k）*bernoulli（n+k），k=0..n）），n=0..100）#罗伯特·伊斯雷尔2015年6月2日
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数学
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表[分母[Integrate[PolyLog[-n，-x]^2，{x，0，Infinity}]]，{n，1，18}]
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黄体脂酮素
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（鼠尾草）#使用来自的[BernoulliMedian_listA212196型]
return[伯努利中值列表（n）中q的分母（q）]
（PARI）a（n）=分母（-subst（intformal（polylog（-n，-x）^2），'x，0））\\查尔斯·格里特豪斯四世2014年7月21日
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交叉参考
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关键词
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非n，压裂
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作者
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扩展
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偏移设置为0、a（0）和a（19）。。a（25）由添加彼得·卢什尼2012年5月4日
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状态
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经核准的
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1、2、2、6、3、6、1、6、6、1、30、30、15、30、30、1、30、15、30、1、42、42、105、105、42、42、21、105、105、21、42、30、30、105、105、105、105、105、105、105、105、105、105、105、105、105、30、30、1、30、15、105、30、1、66、66、165、165、1155、231、1155、165、66、66
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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三角形由规则0）确定，最高数字为1；1） 每个数字是它下面两个数字的总和；2） 它是左右对称的；3） 在前3之后，每个边界行中的数字交替为0。
截至符号，这是伯努利数的差异表（参见A212196型). 下面的Sage脚本基于L.Seidel的算法，没有使用贝努利数的库函数；事实上，它会动态生成伯努利数-彼得·卢什尼2012年5月4日
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链接
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路德维希·塞德尔，在伯努利的谢恩·扎伦和埃尼格尔与赖亨之间《Sitzungberichte der mathematisch-physicalischen Classe der königlich bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München》第7卷（1877年），第157-187页。[彼得·卢什尼2012年5月4日]
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配方奶粉
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T（n，0）=（-1）^n*Bernoulli（n）；T（n，k）=T（n-1，k-1）-T（n，k-1R.J.马塔尔2010年6月2日]
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例子
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三角形开始
1
1/2, 1/2
1/6, 1/3, 1/6
0、1/6、1/6、0
-1/30, 1/30, 2/15, 1/30, -1/30
0, -1/30, 1/15, 1/15, -1/30, 0
1/42, -1/42, -1/105, 8/105, -1/105, -1/42, 1/42
0, 1/42, -1/21, 4/105, 4/105, -1/21, 1/42, 0
-1/30, 1/30, -1/105, -4/105, 8/105, -4/105, -1/105, 1/30, -1/30
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数学
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t[n_，0]：=（-1）^n贝努利B[n]；
t[n，k]：=t[n、k]=t[n-1，k-1]-t[n，k-1]；
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黄体脂酮素
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（Sage）#使用来自的[BernoulliDifferenceTableA085737号]
定义A085738号_list（n）：返回[q.denominator（）for Bernoulli差异表（n）中的q]
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, -1, 1, 2, 1, -1, 0, -1, 1, 1, -1, 0, 1, -1, -1, 8, -1, -1, 1, 0, 1, -1, 4, 4, -1, 1, 0, -1, 1, -1, -4, 8, -4, -1, 1, -1, 0, -1, 1, -8, 4, 4, -8, 1, -1, 0, 5, -5, 7, 4, -116, 32, -116, 4, 7, -5, 5, 0, 5, -5, 32, -28, 16, 16, -28, 32, -5, 5, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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三角形由规则0）确定，最高数字为1；1） 每个数字是它下面两个数字的总和；2） 它是左右对称的；3） 在前3之后，每个边界行中的数字交替为0。
到符号为止，这是伯努利数的差值表（参见A212196型). 下面的Sage脚本基于L.Seidel的算法，没有使用贝努利数的库函数；事实上，它会动态生成伯努利数-彼得·卢什尼2012年5月4日
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链接
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路德维希·塞德尔，在伯努利的谢恩·扎伦和埃尼格尔与赖亨之间《Sitzungberichte der mathematisch-physicalischen Classe der königlich bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München》第7卷（1877年），第157-187页。[彼得·卢什尼2012年5月4日]
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配方奶粉
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T（n，0）=（-1）^n*伯努利（n），T（n、k）=T（n-1，k-1）-T（n，k-1。
T（n，k）=和{j=0..k}二项式（k，j）*Bernoulli（n-j）。[Lange and Grabisch]
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例子
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分数三角形开始
1;
1/2, 1/2;
1/6, 1/3, 1/6;
0, 1/6, 1/6, 0;
-1/30, 1/30, 2/15, 1/30, -1/30;
0, -1/30, 1/15, 1/15, -1/30, 0;
1/42, -1/42, -1/105, 8/105, -1/105, -1/42, 1/42;
0, 1/42, -1/21, 4/105, 4/105, -1/21, 1/42, 0;
-1/30, 1/30, -1/105, -4/105, 8/105, -4/105, -1/105, 1/30, -1/30;
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MAPLE公司
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n最大值：=11；对于n从0到nmax do T（n，0）：=（-1）^n*bernoulli（n）od：对于n从1到nmax-do k从1到n do T#约翰内斯·梅耶尔2011年6月29日，2012年11月25日修订
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数学
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t[n_，0]：=（-1）^n*BernoulliB[n]；t[n，k]：=t[n、k]=t[n-1，k-1]-t[n，k-1]；表[t[n，k]//分子，{n，0，11}，{k，0，n}]//展平(*Jean-François Alcover公司2014年1月7日*）
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黄体脂酮素
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（圣人）
def Bernoulli差异表（n）：
定义T（S，a）：
R=[a]
对于s中的s：
a-=秒
R.附录（a）
返回R
定义M（A，p）：
R=T（A，0）
S=加（r代表r中的r）
返回-S/（2*p+3）
R=[1/1]
A=[1/2，-1/2]；R.延伸（A）
对于k in（0..n-2）：
A=T（A，M（A，k））；R.延伸（A）
A=T（A，0）；R.延伸（A）
返回R
定义A085737号_list（n）：return[伯努利差异表（n）中q的分子（q）]
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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A291447型
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| 按行读取的三角形，有理多项式P（n，x）的系数的分子（以升幂表示），使得Integral_{x=0..1}P'（n，x）=BernoulliMedian（n）。 |
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+10
7
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0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, -1, 4, 0, 0, 0, 1, -3, 48, -12, 36, 0, 0, 0, 1, -7, 268, -176, 1968, -216, 64, 0, 0, 0, 1, -15, 240, -1580, 37140, -9900, 10400, -5760, 14400, 0, 0, 0, 1, -31, 4924, -11680, 488640, -238680, 496320, -639360, 5486400, -216000, 518400
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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T（n，k）=分子（[x^k]积分（Sum_{j=0..n}（-1）^（n-j）*Stirling2（n，j）*j*x^j）^m）对于m=2，n>=0和k=0..m*n+1。
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例子
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三角形开始：
[0, 1]
[0，0，0，1]
[0, 0, 0, 1, -1, 4]
[0, 0, 0, 1, -3, 48, -12, 36]
[0, 0, 0, 1, -7, 268, -176, 1968, -216, 64]
[0, 0, 0, 1, -15, 240, -1580, 37140, -9900, 10400, -5760, 14400]
前几个多项式是：
P_0（x）=x。
P_1（x）=（1/3）*x^3。
P_2（x）=（4/5）*x^5-x^4+（1/3）*x*3。
P_3（x）=（36/7）*x^7-12*x^6+（48/5）*x^5-3*x^4+（1/3）*x*3。
P_4（x）=64*x^9-216*x^8+（1968/7）*x^7-176*x^6+（268/5）*x^5-7*x^4+（1/3）*x^3。
在x=1时计算，这给出了伯努利中值的分解：
BM（0）=1=1。
BM（1）=1/3=1/3。
BM（2）=2/15=4/5-1+1/3。
BM（3）=8/105=36/7-12+48/5-3+1/3。
BM（4）=8/105=64-216+1968/7-176+268/5-7+1/3。
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MAPLE公司
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序列（BG_row（2，n，“num”，“val”），n=0..12）#A212196型
seq（BG_row（2，n，“den”，“val”），n=0..12）#A181131号
seq（打印（BG_row（2，n，“num”，“poly”）），n=0..7）#A291447型（以下）
seq（打印（BG_row（2，n，“den”，“poly”）），n=0..9）#A291448型
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数学
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T[n_]：=积分[Sum[（-1）^（n-j+1）StirlingS2[n，j]j！x^j，{j，0，n}]^2，x]；
Trow[n_]：=系数列表[T[n]，x]//分子；
表[Trow[r]，{r，0，6}]//展平
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交叉参考
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关键词
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签名，标签，压裂
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作者
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状态
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经核准的
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A291448型
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| 按行读取的三角形，有理多项式P（n，x）的系数（以升幂表示）的分母，使得Integral_{x=0..1}P'（n，x）=BernoulliMedian（n）。 |
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7
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1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 11, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 1, 1, 11, 1, 13, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 11, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 11, 1, 13, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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配方奶粉
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T（n，k）=分母（[x^k]积分（和{j=0..n}（-1）^（n-j）*Stirling2（n，j）*j*x^j）^m）对于m=2，n>=0和k=0..m*n+1。
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例子
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三角形开始：
[1, 1]
[1, 1, 1, 3]
[1, 1, 1, 3, 1, 5]
[1,1,1,3,1,5,1,7]
[1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 1]
[1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 11]
[1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 1, 1, 11, 1, 13]
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MAPLE公司
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数学
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T[n_]：=积分[Sum[（-1）^（n-j+1）StirlingS2[n，j]j！x^j，{j，0，n}]^2，x]；
Trow[n_]：=系数列表[T[n]，x]//分母；
表[Trow[r]，{r，0，7}]//展平
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交叉参考
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关键词
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非n，标签，压裂
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作者
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状态
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经核准的
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A290694型
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| 按行读取的三角形，有理多项式P（n，x）系数的分子（以升幂表示），使得Integral_{x=0..1}P'（n，x）=Bernoulli（n，1）。 |
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+10
6
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0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, -1, 2, 0, 0, 1, -2, 3, 0, 0, -1, 14, -9, 24, 0, 0, 1, -10, 75, -48, 20, 0, 0, -1, 62, -135, 312, -300, 720, 0, 0, 1, -42, 903, -1680, 2800, -2160, 630, 0, 0, -1, 254, -1449, 40824, -21000, 27360, -17640, 4480
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,9
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评论
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考虑一类积分I_m（n）=Integral_{x=0..1}P'（n，x）^m与P'（n，x）=Sum_{k=0..n}（-1）^（n-k）*Stirling2（n，k）*k*x^k（参见A278075型对于系数）。
设C_k（n）=[x^k]P_n（x），k>0，n偶数。推测：k是Clausen（n）的素因子<=>k=分母（C_k（n））<=>k不除以Stirling2（n，k-1）*（k-1）！。（请注意，通过中的注释A019538年搅拌2（n，k-1）*（k-1）！是具有k个开集的n个集上的链拓扑数。）
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=分子（斯特林2（n，k-1）*（k-1）/k） 如果k>0，则为0；对于n>=0和0<=k<=n+1。
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例子
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三角形开始：
[0, 1]
[0, 0, 1]
[0, 0, -1, 2]
[0, 0, 1, -2, 3]
[0, 0, -1, 14, -9, 24]
[0，0，1，-10，75，-48，20]
[0, 0, -1, 62, -135, 312, -300, 720]
前几个多项式是：
P_0（x）=x。
P_1（x）=（1/2）*x^2。
P_2（x）=-（1/2）*x^2+（2/3）*x*3。
P_3（x）=（1/2）*x^2-2*x^3+（3/2）*x*4。
P_4（x）=-（1/2）*x^2+（14/3）*x|3-9*x^4+（24/5）*x*5。
P_5（x）=（1/2）*x^2-10*x^3+（75/2）*x^4-48*x^5+20*x^6。
P_6（x）=-（1/2）*x^2+（62/3）*x*3-135*x^4+312*x^5-300*x^6+（720/7）*x^7。
在x=1时进行计算，得出伯努利数的加性分解：
B（0）＝1＝1。
B（1）=1/2=1/2。
B（2）=1/6=-1/2+2/3。
B（3）=0=1/2-2+3/2。
B（4）=-1/30=-1/2+14/3-9+24/5。
B（5）=0=1/2-10+75/2-48+20。
B（6）=1/42=-1/2+62/3-135+312-300+720/7。
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MAPLE公司
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BG_row：=过程（m，n，frac，val）局部F，g，v；
F:=（n，x）->添加（（-1）^（n-k）*搅拌2（n，k）*k*x^k，k=0..n）：
g:=x->int（F（n，x）^m，x）：
`如果`（val=“val”，sub（x=1，g（x）），[seq（系数（g（x，x，j），j=0..m*n+1）]）：
`如果`（frac=“num”，number（%），denom（%））结束：
序列（BG_row（1，n，“num”，“val”），n=0..16）#A164555号
seq（BG_row（1，n，“den”，“val”），n=0..16）#A027642号
seq（打印（BG_row（1，n，“num”，“poly”）），n=0..12）#A290694型（以下）
seq（打印（BG_row（1，n，“den”，“poly”）），n=0..12）#A290695型
#或者：
T_row:=n->number（多项式工具：-系数列表（添加（（-1）^（n-j+1）*Stirling2（n，j-1）*（j-1）*x^j/j，j=1..n+1），x））：对于从0到6的n，执行T_row（n）od；
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数学
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T[n_，k_]：=如果[k>0，分子[StirlingS2[n，k-1]*（k-1）！/k] ，0]；表[T[n，k]，{n，0，8}，{k，0，n+1}]//展平
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交叉参考
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关键词
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签名，标签，压裂
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作者
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状态
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经核准的
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A290695型
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| 按行读取的三角形，有理多项式P（n，x）系数的分母（以升幂表示），使得Integral_{x=0..1}P'（n，x）=Bernoulli（n，1）。 |
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+10
6
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1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 5, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 11, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,5
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链接
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配方奶粉
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T（n，k）=分母（[x^k]积分（和{j=0..n}（-1）^（n-j）*Stirling2（n，j）*j！*x^j）^m），对于m=1和k=0..n+1。
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例子
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三角形开始：
[1, 1]
[1, 1, 2]
[1, 1, 2, 3]
[1, 1, 2, 1, 2]
[1, 1, 2, 3, 1, 5]
[1, 1, 2, 1, 2, 1, 1]
[1, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 7]
[1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1]
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MAPLE公司
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T_row:=n->denom（多项式工具：-系数列表（添加（（-1）^（n-j+1）*Stirling2（n，j-1）*（j-1）*x^j/j，j=1..n+1），x））：对于从0到7的n，执行T_row（n）od；
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数学
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T[n_]：=分母[系数列表[和[（-1）^（n-j+1）StirlingS2[n，j-1]（j-1）！x^j/j，{j，1，n+1}]，x]]；
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交叉参考
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关键词
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非n，标签，压裂
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作者
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状态
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经核准的
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A291449型
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| 积分_{x=0..1}P（n，x）^3与P（n，x）=Sum_{k=0..n}（-1）^（n-k）*Stirling2（n，k）*k的分子*x ^k。 |
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+10
6
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1, 1, 13, 1, 43, -61, 728877, 81739, -1779449713, -2112052153, 730622680308569, 113221320488699, -3660430816956396309, -3021604582205161, 21842539561810574341396283, 66747470298418575790593659, -124586733960451680357554181608419, -28471605423890788373026535240299
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0.3
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评论
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链接
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MAPLE公司
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序列（BG_row（3，n，“num”，“val”），n=0..17）；
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数学
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P[n_，x_]：=和[（-1）^（n-k）*StirlingS2[n，k]*k*x^k，{k，0，n}]；
a[n_]：=积分[P[n，x]^3，{x，0，1}]//分子；
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交叉参考
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关键词
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签名，压裂
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作者
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状态
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经核准的
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A291450型
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| P（n，x）=Sum_{k=0..n}（-1）^（n-k）*Stirling2（n，k）*k*x ^k。 |
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1, 4, 140, 28, 20020, 4004, 6466460, 184756, 148728580, 29745716, 133706993420, 2431036244, 449741705140, 31885268, 670910837521540, 134182167504308, 409926521725660940, 4822664961478364, 1278006214791766460, 1921813856829724, 242081282475556183660, 4401477863191930612
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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链接
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MAPLE公司
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seq（BG_row（3，n，“den”，“val”），n=0..20）；
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数学
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P[n_，x_]：=总和[（-1）^（n-k）*StirlingS2[n，k]*k*x^k，{k，0，n}]；
a[n]：=积分[P[n，x]^3，{x，0，1}]//分母；
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交叉参考
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关键词
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非n，压裂
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作者
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状态
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经核准的
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