显示发现的18个结果中的1-10个。
1, -1, -4, -1, -8, -1, -8, -3, -8, 1, 104, -41, -920, 1767, 20168, -8317, -2022392, 869807, 291391192, -129169263, -2759924456, 250158593, 146772324808, -67632514765, -10164962436952
评论
数组B(m,n)开始于:
1, -1, -4/3, -1, -8/15, -1/5, -8/105,...
-2, -1/3, 1/3, 7/15, 1/3, 13/105,...
5/3, 2/3, 2/15, -2/15, -22/105,...
-1, -8/15, -4/15, -8/105,...
7/15, 4/15, 4/21,...
-1/5, -8/105,...
13/105,...
等。
B(0,n)=1,-1,-4/3,-1,-8/15,-1/5,-8/105,-3/35,-8/10,1/35,104/1155,…=a(n)/b(n)。
数学
最大值=12;t[0]=表[BernoulliB[n],{n,0,2*max}];t[n_]:=t[n]=差异[t[0],n];B1[1,1]=-1/3;B1[n_,n]:=t[n][[n+1]];B1【m,n】/;n==m+1:=B1[m,n]=-B1[m,m];B1[m_非负,n_非负]:=B1[m,n]=B1[m,n-1]+B1[m+1,n-1];B1[_,_]=0;表[B1[0,n]//分子,{n,0,2*max}](*Jean-François Alcover公司2014年4月14日*)
n>0时积分{x=0..+oo}多项式(-n,-x)^2的分母,其中a(0)=1。
+10 21
1, 3, 15, 105, 105, 231, 15015, 2145, 36465, 969969, 4849845, 10140585, 10140585, 22287, 3231615, 7713865005, 7713865005, 90751353, 218257003965, 1641030105, 67282234305, 368217318651, 1841086593255, 3762220429695, 63957747304815, 1546231253523
配方奶粉
a(n)=分母((-1)^n/Pi^(2*n)*积分((log(t/(1-t))*log(1-1/t))^n dt,t=0.1))[格里·马滕斯2011年5月25日]
a(n)=分母(和{k=0..n}C(n,k)*Bern(n+k))-弗拉基米尔·克鲁奇宁2015年4月6日
MAPLE公司
seq(denom(加法(二项式(n,k)*bernoulli(n+k),k=0..n)),n=0..100)#罗伯特·伊斯雷尔2015年6月2日
数学
表[分母[Integrate[PolyLog[-n,-x]^2,{x,0,Infinity}]],{n,1,18}]
黄体脂酮素
(鼠尾草)#使用来自的[BernoulliMedian_listA212196型]
return[伯努利中值列表(n)中q的分母(q)]
(PARI)a(n)=分母(-subst(intformal(polylog(-n,-x)^2),'x,0))\\查尔斯·格里特豪斯四世,2014年7月21日
扩展
偏移设置为0、a(0)和a(19)。。a(25)由添加彼得·卢什尼2012年5月4日
1, 2, 2, 6, 3, 6, 1, 6, 6, 1, 30, 30, 15, 30, 30, 1, 30, 15, 15, 30, 1, 42, 42, 105, 105, 105, 42, 42, 1, 42, 21, 105, 105, 21, 42, 1, 30, 30, 105, 105, 105, 105, 105, 30, 30, 1, 30, 15, 105, 105, 105, 105, 15, 30, 1, 66, 66, 165, 165, 1155, 231, 1155, 165, 165, 66, 66
评论
三角形由规则0)确定,最高数字为1;1) 每个数字是它下面两个数字的总和;2) 它是左右对称的;3) 在前3之后,每个边界行中的数字交替为0。
截至符号,这是伯努利数的差异表(参见A212196型). 下面的Sage脚本基于L.Seidel的算法,没有使用贝努利数的库函数;事实上,它会动态生成伯努利数-彼得·卢什尼2012年5月4日
配方奶粉
T(n,0)=(-1)^n*Bernoulli(n);T(n,k)=T(n-1,k-1)-T(n,k-1R.J.马塔尔2010年6月2日]
例子
三角形开始
1
1/2, 1/2
1/6, 1/3, 1/6
0, 1/6, 1/6, 0
-1/30, 1/30, 2/15, 1/30, -1/30
0, -1/30, 1/15, 1/15, -1/30, 0
1/42, -1/42, -1/105, 8/105, -1/105, -1/42, 1/42
0, 1/42, -1/21, 4/105, 4/105, -1/21, 1/42, 0
-1/30, 1/30, -1/105, -4/105, 8/105, -4/105, -1/105, 1/30, -1/30
数学
t[n_,0]:=(-1)^n贝努利B[n];
t[n,k]:=t[n、k]=t[n-1,k-1]-t[n,k-1];
黄体脂酮素
(Sage)#使用来自的[BernoulliDifferenceTableA085737美元]
定义A085738号_list(n):返回[q.denominator()for Bernoulli差异表(n)中的q]
1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, -1, 1, 2, 1, -1, 0, -1, 1, 1, -1, 0, 1, -1, -1, 8, -1, -1, 1, 0, 1, -1, 4, 4, -1, 1, 0, -1, 1, -1, -4, 8, -4, -1, 1, -1, 0, -1, 1, -8, 4, 4, -8, 1, -1, 0, 5, -5, 7, 4, -116, 32, -116, 4, 7, -5, 5, 0, 5, -5, 32, -28, 16, 16, -28, 32, -5, 5, 0
评论
三角形由规则0)确定,最高数字为1;1) 每个数字是它下面两个数字的总和;2) 它是左右对称的;3) 在第一个3之后,每个边界行中的数字交替地为0。
截至符号,这是伯努利数的差异表(参见A212196型). 下面的Sage脚本基于L.Seidel的算法,没有使用贝努利数的库函数;事实上,它会动态生成伯努利数-彼得·卢什尼2012年5月4日
链接
路德维希·塞德尔,在伯努利的谢恩·扎伦和埃尼格尔与赖亨之间《Sitzungberichte der mathematisch-physicalischen Classe der königlich bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München》第7卷(1877年),第157-187页。[彼得·卢什尼2012年5月4日]
配方奶粉
T(n,0)=(-1)^n*伯努利(n),T(n、k)=T(n-1,k-1)-T(n,k-1。
T(n,k)=和{j=0..k}二项式(k,j)*Bernoulli(n-j)。[Lange and Grabisch]
例子
分数三角形开始
1;
1/2, 1/2;
1/6, 1/3, 1/6;
0, 1/6, 1/6, 0;
-1/30, 1/30, 2/15, 1/30, -1/30;
0, -1/30, 1/15, 1/15, -1/30, 0;
1/42, -1/42, -1/105, 8/105, -1/105, -1/42, 1/42;
0, 1/42, -1/21, 4/105, 4/105, -1/21, 1/42, 0;
-1/30, 1/30, -1/105, -4/105, 8/105, -4/105, -1/105, 1/30, -1/30;
MAPLE公司
n最大值:=11;对于n从0到nmax do T(n,0):=(-1)^n*bernoulli(n)od:对于n从1到nmax-do k从1到n do T#约翰内斯·梅耶尔2011年6月29日,2012年11月25日修订
数学
t[n_,0]:=(-1)^n*BernoulliB[n];t[n,k]:=t[n、k]=t[n-1,k-1]-t[n,k-1];表[t[n,k]//分子,{n,0,11},{k,0,n}]//展平(*Jean-François Alcover公司2014年1月7日*)
黄体脂酮素
(鼠尾草)
def Bernoulli差异表(n):
定义T(S,a):
R=【a】
对于s中的s:
a-=秒
R附加(a)
返回R
定义M(A,p):
R=T(A,0)
S=加(r代表r中的r)
返回-S/(2*p+3)
R=[1/1]
A=[1/2,-1/2];R.延伸(A)
对于k in(0..n-2):
A=T(A,M(A,k));R.延伸(A)
A=T(A,0);R.延伸(A)
返回R
定义A085737美元_list(n):return[伯努利差异表(n)中q的分子(q)]
按行读取的三角形,有理多项式P(n,x)的系数的分子(以升幂表示),使得Integral_{x=0..1}P'(n,x)=BernoulliMedian(n)。
+10 7
0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, -1, 4, 0, 0, 0, 1, -3, 48, -12, 36, 0, 0, 0, 1, -7, 268, -176, 1968, -216, 64, 0, 0, 0, 1, -15, 240, -1580, 37140, -9900, 10400, -5760, 14400, 0, 0, 0, 1, -31, 4924, -11680, 488640, -238680, 496320, -639360, 5486400, -216000, 518400
配方奶粉
T(n,k)=分子([x^k]积分(Sum_{j=0..n}(-1)^(n-j)*Stirling2(n,j)*j*x^j)^m)对于m=2,n>=0和k=0..m*n+1。
例子
三角形开始:
[0, 1]
[0, 0, 0, 1]
[0, 0, 0, 1, -1, 4]
[0, 0, 0, 1, -3, 48, -12, 36]
[0, 0, 0, 1, -7, 268, -176, 1968, -216, 64]
[0, 0, 0, 1, -15, 240, -1580, 37140, -9900, 10400, -5760, 14400]
前几个多项式是:
P_0(x)=x。
P_1(x)=(1/3)*x^3。
P_2(x)=(4/5)*x^5-x^4+(1/3)*x*3。
P_3(x)=(36/7)*x^7-12*x^6+(48/5)*x^5-3*x^4+(1/3)*x*3。
P_4(x)=64*x^9-216*x^8+(1968/7)*x^7-176*x^6+(268/5)*x^5-7*x^4+(1/3)*x^3。
在x=1时计算,这给出了伯努利中值的分解:
BM(0)=1=1。
BM(1)=1/3=1/3。
BM(2)=2/15=4/5-1+1/3。
BM(3)=8/105=36/7-12+48/5-3+1/3。
BM(4)=8/105=64-216+1968/7-176+268/5-7+1/3。
MAPLE公司
序列(BG_row(2,n,“num”,“val”),n=0..12)#A212196型
seq(BG_row(2,n,“den”,“val”),n=0..12)#A181131号
seq(打印(BG_row(2,n,“num”,“poly”)),n=0..7)#A291447型(以下)
seq(打印(BG_row(2,n,“den”,“poly”)),n=0..9)#A291448型
数学
T[n_]:=积分[Sum[(-1)^(n-j+1)StirlingS2[n,j]j!x^j,{j,0,n}]^2,x];
Trow[n_]:=系数列表[T[n],x]//分子;
表[Trow[r],{r,0,6}]//展平
按行读取的三角形,有理多项式P(n,x)的系数(以升幂表示)的分母,使得Integral_{x=0..1}P'(n,x)=BernoulliMedian(n)。
+10 7
1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 11, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 1, 1, 11, 1, 13, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 11, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 11, 1, 13, 1, 1
配方奶粉
T(n,k)=分母([x^k]积分(和{j=0..n}(-1)^(n-j)*Stirling2(n,j)*j*x^j)^m)对于m=2,n>=0和k=0..m*n+1。
例子
三角形开始:
[1, 1]
[1, 1, 1, 3]
[1, 1, 1, 3, 1, 5]
[1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7]
[1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 1]
[1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 11]
[1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 1, 1, 11, 1, 13]
数学
T[n_]:=积分[Sum[(-1)^(n-j+1)StirlingS2[n,j]j!x^j,{j,0,n}]^2,x];
Trow[n_]:=系数列表[T[n],x]//分母;
表[Trow[r],{r,0,7}]//压扁
按行读取的三角形,有理多项式P(n,x)系数的分子(以升幂表示),使得Integral_{x=0..1}P'(n,x)=Bernoulli(n,1)。
+10 6
0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, -1, 2, 0, 0, 1, -2, 3, 0, 0, -1, 14, -9, 24, 0, 0, 1, -10, 75, -48, 20, 0, 0, -1, 62, -135, 312, -300, 720, 0, 0, 1, -42, 903, -1680, 2800, -2160, 630, 0, 0, -1, 254, -1449, 40824, -21000, 27360, -17640, 4480
评论
考虑一类积分I_m(n)=Integral_{x=0..1}P'(n,x)^m与P'(n,x)=Sum_{k=0..n}(-1)^(n-k)*Stirling2(n,k)*k*x^k(参见A278075型对于系数)。
设C_k(n)=[x^k]P_n(x),k>0,n偶数。推测:k是Clausen(n)的素因子<=>k=分母(C_k(n))<=>k不除以Stirling2(n,k-1)*(k-1)!。(请注意,通过中的注释A019538年搅拌2(n,k-1)*(k-1)!是具有k个开集的n个集上的链拓扑数。)
配方奶粉
T(n,k)=分子(斯特林2(n,k-1)*(k-1)/k) 如果k>0,则为0;对于n>=0和0<=k<=n+1。
例子
三角形开始:
[0, 1]
[0, 0, 1]
[0, 0, -1, 2]
[0, 0, 1, -2, 3]
[0, 0, -1, 14, -9, 24]
[0, 0, 1, -10, 75, -48, 20]
[0, 0, -1, 62, -135, 312, -300, 720]
前几个多项式是:
P_0(x)=x。
P_1(x)=(1/2)*x^2。
P_2(x)=-(1/2)*x^2+(2/3)*x*3。
P_3(x)=(1/2)*x^2-2*x^3+(3/2)*x*4。
P_4(x)=-(1/2)*x^2+(14/3)*x|3-9*x^4+(24/5)*x*5。
P_5(x)=(1/2)*x^2-10*x^3+(75/2)*x^4-48*x^5+20*x^6。
P_6(x)=-(1/2)*x^2+(62/3)*x^3-135*x^4+312*x^5-300*x^6+(720/7)*x^7。
在x=1时进行计算,得出伯努利数的加性分解:
B(0)=1=1。
B(1)=1/2=1/2。
B(2)=1/6=-1/2+2/3。
B(3)=0=1/2-2+3/2。
B(4)=-1/30=-1/2+14/3-9+24/5。
B(5)=0=1/2-10+75/2-48+20。
B(6)=1/42=-1/2+62/3-135+312-300+720/7。
MAPLE公司
BG_row:=过程(m,n,frac,val)局部F,g,v;
F:=(n,x)->添加((-1)^(n-k)*搅拌2(n,k)*k*x^k,k=0..n):
g:=x->int(F(n,x)^m,x):
`如果`(val=“val”,sub(x=1,g(x)),[seq(系数(g(x,x,j),j=0..m*n+1)]):
`如果`(frac=“num”,number(%),denom(%))结束:
序列(BG_row(1,n,“num”,“val”),n=0..16)#A164555号
seq(BG_row(1,n,“den”,“val”),n=0..16)#A027642美元
seq(打印(BG_row(1,n,“num”,“poly”)),n=0..12)#A290694型(以下)
seq(打印(BG_row(1,n,“den”,“poly”)),n=0..12)#A290695型
#或者:
T_row:=n->number(多项式工具:-系数列表(添加((-1)^(n-j+1)*Stirling2(n,j-1)*(j-1)*x^j/j,j=1..n+1),x)):对于从0到6的n,执行T_row(n)od;
数学
T[n_,k_]:=如果[k>0,分子[StirlingS2[n,k-1]*(k-1)!/k] ,0];表[T[n,k],{n,0,8},{k,0,n+1}]//展平
按行读取的三角形,有理多项式P(n,x)系数的分母(以升幂表示),使得Integral_{x=0..1}P'(n,x)=Bernoulli(n,1)。
+10 6
1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 5, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 11, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
配方奶粉
T(n,k)=分母([x^k]积分(和{j=0..n}(-1)^(n-j)*Stirling2(n,j)*j!*x^j)^m),对于m=1和k=0..n+1。
例子
三角形开始:
[1, 1]
[1, 1, 2]
[1, 1, 2, 3]
[1, 1, 2, 1, 2]
[1, 1, 2, 3, 1, 5]
[1, 1, 2, 1, 2, 1, 1]
[1, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 7]
[1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1]
MAPLE公司
T_row:=n->denom(多项式工具:-系数列表(添加((-1)^(n-j+1)*Stirling2(n,j-1)*(j-1)*x^j/j,j=1..n+1),x)):对于从0到7的n,执行T_row(n)od;
数学
T[n]:=分母[系数表[总和[(-1)^(n-j+1)箍筋S2[n,j-1](j-1)!x^j/j,{j,1,n+1}],x]];
积分_{x=0..1}P(n,x)^3与P(n,x)=Sum_{k=0..n}(-1)^(n-k)*Stirling2(n,k)*k的分子*x ^k。
+10 6
1, 1, 13, 1, 43, -61, 728877, 81739, -1779449713, -2112052153, 730622680308569, 113221320488699, -3660430816956396309, -3021604582205161, 21842539561810574341396283, 66747470298418575790593659, -124586733960451680357554181608419, -28471605423890788373026535240299
MAPLE公司
序列(BG_row(3,n,“num”,“val”),n=0..17);
数学
P[n_,x_]:=总和[(-1)^(n-k)*StirlingS2[n,k]*k*x^k,{k,0,n}];
a[n_]:=积分[P[n,x]^3,{x,0,1}]//分子;
P(n,x)=Sum_{k=0..n}(-1)^(n-k)*Stirling2(n,k)*k*x ^k。
+10 6
1, 4, 140, 28, 20020, 4004, 6466460, 184756, 148728580, 29745716, 133706993420, 2431036244, 449741705140, 31885268, 670910837521540, 134182167504308, 409926521725660940, 4822664961478364, 1278006214791766460, 1921813856829724, 242081282475556183660, 4401477863191930612
MAPLE公司
seq(BG_row(3,n,“den”,“val”),n=0..20);
数学
P[n_,x_]:=总和[(-1)^(n-k)*StirlingS2[n,k]*k*x^k,{k,0,n}];
a[n_]:=积分[P[n,x]^3,{x,0,1}]//分母;
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