搜索: a212196-编号:a21296
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1, -1, -4, -1, -8, -1, -8, -3, -8, 1, 104, -41, -920, 1767, 20168, -8317, -2022392, 869807, 291391192, -129169263, -2759924456, 250158593, 146772324808, -67632514765, -10164962436952
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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数组B(m,n)开始于:
1, -1, -4/3, -1, -8/15, -1/5, -8/105,...
-2, -1/3, 1/3, 7/15, 1/3, 13/105,...
5/3, 2/3, 2/15, -2/15, -22/105,...
-1, -8/15, -4/15, -8/105,...
7/15, 4/15, 4/21,...
-1/5, -8/105,...
13/105,...
等。
B(0,n)=1,-1,-4/3,-1,-8/15,-1/5,-8/105,-3/35,-8/10,1/35,104/1155,…=a(n)/b(n)。
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链接
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数学
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最大值=12;t[0]=表[BernoulliB[n],{n,0,2*max}];t[n_]:=t[n]=差异[t[0],n];B1[1,1]=-1/3;B1[n_,n]:=t[n][[n+1]];B1【m,n】/;n==m+1:=B1[m,n]=-B1[m,m];B1[m_非负,n_非负]:=B1[m,n]=B1[m,n-1]+B1[m+1,n-1];B1[_,_]=0;表[B1[0,n]//分子,{n,0,2*max}](*Jean-François Alcover公司2014年4月14日*)
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关键词
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签名,压裂
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A181131号
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| n>0时积分{x=0..+oo}多项式(-n,-x)^2的分母,其中a(0)=1。 |
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+10 21
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1, 3, 15, 105, 105, 231, 15015, 2145, 36465, 969969, 4849845, 10140585, 10140585, 22287, 3231615, 7713865005, 7713865005, 90751353, 218257003965, 1641030105, 67282234305, 368217318651, 1841086593255, 3762220429695, 63957747304815, 1546231253523
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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链接
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配方奶粉
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a(n)=分母((-1)^n/Pi^(2*n)*积分((log(t/(1-t))*log(1-1/t))^n dt,t=0.1))[格里·马滕斯2011年5月25日]
a(n)=分母(Sum_{k=0..n}C(n,k)*Bern(n+k))-弗拉基米尔·克鲁奇宁2015年4月6日
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MAPLE公司
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seq(denom(加法(二项式(n,k)*bernoulli(n+k),k=0..n)),n=0..100)#罗伯特·伊斯雷尔2015年6月2日
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数学
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表[分母[Integrate[PolyLog[-n,-x]^2,{x,0,Infinity}]],{n,1,18}]
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黄体脂酮素
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(鼠尾草)#使用来自的[BernoulliMedian_listA212196型]
return[伯努利中值列表(n)中q的分母(q)]
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交叉参考
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关键词
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非n,压裂
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作者
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扩展
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偏移设置为0、a(0)和a(19)。。a(25)由添加彼得·卢什尼2012年5月4日
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状态
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经核准的
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1, 2, 2, 6, 3, 6, 1, 6, 6, 1, 30, 30, 15, 30, 30, 1, 30, 15, 15, 30, 1, 42, 42, 105, 105, 105, 42, 42, 1, 42, 21, 105, 105, 21, 42, 1, 30, 30, 105, 105, 105, 105, 105, 30, 30, 1, 30, 15, 105, 105, 105, 105, 15, 30, 1, 66, 66, 165, 165, 1155, 231, 1155, 165, 165, 66, 66
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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三角形由规则0)确定,最高数字为1;1) 每个数字都是下面两个数字的总和;2) 它是左右对称的;3) 在前3之后,每个边界行中的数字交替为0。
截至符号,这是伯努利数的差异表(参见A212196型). 下面的Sage脚本基于L.Seidel的算法,没有使用贝努利数的库函数;事实上,它会动态生成伯努利数-彼得·卢什尼2012年5月4日
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链接
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路德维希·塞德尔,在伯努利的谢恩·扎伦和埃尼格尔与赖亨之间《Sitzungberichte der mathematisch-physicalischen Classe der königlich bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München》第7卷(1877年),第157-187页。[彼得·卢什尼2012年5月4日]
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配方奶粉
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T(n,0)=(-1)^n*伯努利(n);T(n,k)=T(n-1,k-1)-T(n,k-1R.J.马塔尔2010年6月2日]
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例子
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三角形开始
1
1/2, 1/2
1/6, 1/3, 1/6
0, 1/6, 1/6, 0
-1/30, 1/30, 2/15, 1/30, -1/30
0, -1/30, 1/15, 1/15, -1/30, 0
1/42, -1/42, -1/105, 8/105, -1/105, -1/42, 1/42
0, 1/42, -1/21, 4/105, 4/105, -1/21, 1/42, 0
-1/30, 1/30, -1/105, -4/105, 8/105, -4/105, -1/105, 1/30, -1/30
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数学
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t[n_,0]:=(-1)^n贝努利B[n];
t[n,k]:=t[n、k]=t[n-1,k-1]-t[n,k-1];
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黄体脂酮素
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(Sage)#使用来自的[BernoulliDifferenceTableA085737号]
定义A085738号_list(n):返回[q.denominator()for Bernoulli差异表(n)中的q]
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交叉参考
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关键词
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, -1, 1, 2, 1, -1, 0, -1, 1, 1, -1, 0, 1, -1, -1, 8, -1, -1, 1, 0, 1, -1, 4, 4, -1, 1, 0, -1, 1, -1, -4, 8, -4, -1, 1, -1, 0, -1, 1, -8, 4, 4, -8, 1, -1, 0, 5, -5, 7, 4, -116, 32, -116, 4, 7, -5, 5, 0, 5, -5, 32, -28, 16, 16, -28, 32, -5, 5, 0
(列表;桌子;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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三角形由规则0)确定,最高数字为1;1) 每个数字都是下面两个数字的总和;2) 它是左右对称的;3) 在前3之后,每个边界行中的数字交替为0。
截至符号,这是伯努利数的差异表(参见A212196型). 下面的Sage脚本基于L.Seidel的算法,没有使用贝努利数的库函数;事实上,它会动态生成伯努利数-彼得·卢什尼2012年5月4日
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链接
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路德维希·塞德尔,在伯努利的谢恩·扎伦和埃尼格尔与赖亨之间《Sitzungberichte der mathematisch-physicalischen Classe der königlich bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München》第7卷(1877年),第157-187页。[彼得·卢什尼2012年5月4日]
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配方奶粉
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T(n,0)=(-1)^n*伯努利(n),T(n、k)=T(n-1,k-1)-T(n,k-1。
T(n,k)=和{j=0..k}二项式(k,j)*Bernoulli(n-j)。[Lange and Grabisch]
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例子
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分数三角形开始
1;
1/2, 1/2;
1/6, 1/3, 1/6;
0, 1/6, 1/6, 0;
-1/30, 1/30, 2/15, 1/30, -1/30;
0, -1/30, 1/15, 1/15, -1/30, 0;
1/42, -1/42, -1/105, 8/105, -1/105, -1/42, 1/42;
0, 1/42, -1/21, 4/105, 4/105, -1/21, 1/42, 0;
-1/30, 1/30, -1/105, -4/105, 8/105, -4/105, -1/105, 1/30, -1/30;
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MAPLE公司
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nmax:=11;对于n从0到nmax do T(n,0):=(-1)^n*bernoulli(n)od:对于n从1到nmax-do k从1到n do T#约翰内斯·W·梅耶尔2011年6月29日,2012年11月25日修订
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数学
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t[n_,0]:=(-1)^n*伯努利B[n];t[n,k]:=t[n、k]=t[n-1,k-1]-t[n,k-1];表[t[n,k]//分子,{n,0,11},{k,0,n}]//展平(*Jean-François Alcover公司2014年1月7日*)
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黄体脂酮素
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(鼠尾草)
def Bernoulli差异表(n):
定义T(S,a):
R=【a】
对于s中的s:
a-=秒
R.附录(a)
返回R
定义M(A,p):
R=T(A,0)
S=加(r代表r中的r)
返回-S/(2*p+3)
R=[1/1]
A=[1/2,-1/2];R.延伸(A)
对于k in(0..n-2):
A=T(A,M(A,k));R.延伸(A)
A=T(A,0);R.延伸(A)
返回R
定义A085737号_list(n):return[伯努利差异表(n)中q的分子(q)]
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A291447型
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| 按行读取的三角形,有理多项式P(n,x)的系数的分子(以升幂表示),使得Integral_{x=0..1}P'(n,x)=BernoulliMedian(n)。 |
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+10 7
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0, 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, -1, 4, 0, 0, 0, 1, -3, 48, -12, 36, 0, 0, 0, 1, -7, 268, -176, 1968, -216, 64, 0, 0, 0, 1, -15, 240, -1580, 37140, -9900, 10400, -5760, 14400, 0, 0, 0, 1, -31, 4924, -11680, 488640, -238680, 496320, -639360, 5486400, -216000, 518400
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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配方奶粉
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T(n,k)=分子([x^k]积分(和{j=0..n}(-1)^(n-j)*Stirling2(n,j)*j*x^j)^m)对于m=2,n>=0和k=0..m*n+1。
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例子
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三角形开始:
[0, 1]
[0, 0, 0, 1]
[0, 0, 0, 1, -1, 4]
[0, 0, 0, 1, -3, 48, -12, 36]
[0, 0, 0, 1, -7, 268, -176, 1968, -216, 64]
[0, 0, 0, 1, -15, 240, -1580, 37140, -9900, 10400, -5760, 14400]
前几个多项式是:
P_0(x)=x。
P_1(x)=(1/3)*x^3。
P_2(x)=(4/5)*x^5-x^4+(1/3)*x*3。
P_3(x)=(36/7)*x^7-12*x^6+(48/5)*x^5-3*x^4+(1/3)*x*3。
P_4(x)=64*x^9-216*x^8+(1968/7)*x^7-176*x^6+(268/5)*x^5-7*x^4+(1/3)*x^3。
在x=1时计算,这给出了伯努利中值的分解:
BM(0)=1=1。
BM(1)=1/3=1/3。
BM(2)=2/15=4/5-1+1/3。
BM(3)=8/105=36/7-12+48/5-3+1/3。
BM(4)=8/105=64-216+1968/7-176+268/5-7+1/3。
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MAPLE公司
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seq(BG_row(2,n,“num”,“val”),n=0..12)#A212196型
seq(BG_row(2,n,“den”,“val”),n=0..12)#A181131号
seq(打印(BG_row(2,n,“num”,“poly”)),n=0..7)#A291447型(以下)
seq(打印(BG_row(2,n,“den”,“poly”)),n=0..9)#A291448型
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数学
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T[n_]:=积分[Sum[(-1)^(n-j+1)StirlingS2[n,j]j!x^j,{j,0,n}]^2,x];
Trow[n_]:=系数列表[T[n],x]//分子;
表[Trow[r],{r,0,6}]//展平
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交叉参考
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关键词
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签名,标签,压裂
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作者
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状态
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经核准的
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A291448型
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| 按行读取的三角形,有理多项式P(n,x)的系数的分母(以升幂表示),使得Integral_{x=0..1}P'(n,x)=伯努利中值(n)。 |
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+10 7
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1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 11, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 1, 1, 11, 1, 13, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 11, 1, 13, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 11, 1, 13, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,6
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评论
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链接
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配方奶粉
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T(n,k)=分母([x^k]积分(和{j=0..n}(-1)^(n-j)*Stirling2(n,j)*j*x^j)^m)对于m=2,n>=0和k=0..m*n+1。
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例子
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三角形开始:
[1, 1]
[1, 1, 1, 3]
[1, 1, 1, 3, 1, 5]
[1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7]
[1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 1]
[1, 1, 1, 3, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 1, 11]
[1, 1, 1, 3, 1, 5, 1, 7, 1, 1, 1, 11, 1, 13]
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MAPLE公司
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数学
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T[n_]:=积分[Sum[(-1)^(n-j+1)StirlingS2[n,j]j!x^j,{j,0,n}]^2,x];
Trow[n_]:=系数列表[T[n],x]//分母;
表[Trow[r],{r,0,7}]//展平
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交叉参考
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关键词
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非n,标签,压裂
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作者
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状态
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经核准的
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A290694型
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| 按行读取的三角形,有理多项式P(n,x)系数的分子(以升幂表示),使得Integral_{x=0..1}P'(n,x)=Bernoulli(n,1)。 |
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+10 6
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0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, -1, 2, 0, 0, 1, -2, 3, 0, 0, -1, 14, -9, 24, 0, 0, 1, -10, 75, -48, 20, 0, 0, -1, 62, -135, 312, -300, 720, 0, 0, 1, -42, 903, -1680, 2800, -2160, 630, 0, 0, -1, 254, -1449, 40824, -21000, 27360, -17640, 4480
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0, 9
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评论
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考虑一类积分I_m(n)=Integral_{x=0..1}P'(n,x)^m与P'(n,x)=Sum_{k=0..n}(-1)^(n-k)*Stirling2(n,k)*k*x^k(参见A278075型对于系数)。
设C_k(n)=[x^k]P_n(x),k>0,n偶数。推测:k是Clausen(n)的素因子<=>k=分母(C_k(n))<=>k不除以Stirling2(n,k-1)*(k-1)!。(请注意,通过中的注释A019538年搅拌2(n,k-1)*(k-1)!是具有k个开集的n个集上的链拓扑数。)
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链接
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配方奶粉
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T(n,k)=分子(斯特林2(n,k-1)*(k-1)/k) 如果k>0,则为0;对于n>=0和0<=k<=n+1。
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例子
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三角形开始:
[0, 1]
[0, 0, 1]
[0, 0, -1, 2]
[0, 0, 1, -2, 3]
[0, 0, -1, 14, -9, 24]
[0, 0, 1, -10, 75, -48, 20]
[0, 0, -1, 62, -135, 312, -300, 720]
前几个多项式是:
P_0(x)=x。
P_1(x)=(1/2)*x^2。
P_2(x)=-(1/2)*x^2+(2/3)*x*3。
P_3(x)=(1/2)*x^2-2*x^3+(3/2)*x*4。
P_4(x)=-(1/2)*x^2+(14/3)*x|3-9*x^4+(24/5)*x*5。
P_5(x)=(1/2)*x^2-10*x^3+(75/2)*x^4-48*x^5+20*x^6。
P_6(x)=-(1/2)*x^2+(62/3)*x*3-135*x^4+312*x^5-300*x^6+(720/7)*x^7。
在x=1时进行评估,这给出了伯努利数的加法分解:
B(0)=1=1。
B(1)=1/2=1/2。
B(2)=1/6=-1/2+2/3。
B(3)=0=1/2-2+3/2。
B(4)=-1/30=-1/2+14/3-9+24/5。
B(5)=0=1/2-10+75/2-48+20。
B(6)=1/42=-1/2+62/3-135+312-300+720/7。
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MAPLE公司
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BG_row:=过程(m,n,frac,val)局部F,g,v;
F:=(n,x)->加((-1)^(n-k)*Stirling2(n,k)*k*x^k,k=0..n):
g:=x->int(F(n,x)^m,x):
`如果`(val=“val”,sub(x=1,g(x)),[seq(系数(g(x,x,j),j=0..m*n+1)]):
`如果`(frac=“num”,number(%),denom(%))结束:
序列(BG_row(1,n,“num”,“val”),n=0..16)#A164555号
seq(BG_row(1,n,“den”,“val”),n=0..16)#A027642号
seq(打印(BG_row(1,n,“num”,“poly”)),n=0..12)#A290694型(以下)
seq(打印(BG_row(1,n,“den”,“poly”)),n=0..12)#A290695型
#或者:
T_row:=n->number(多项式工具:-系数列表(添加((-1)^(n-j+1)*Stirling2(n,j-1)*(j-1)*x^j/j,j=1..n+1),x)):对于从0到6的n,执行T_row(n)od;
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数学
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T[n_,k_]:=如果[k>0,分子[StirlingS2[n,k-1]*(k-1)!/k] ,0];表[T[n,k],{n,0,8},{k,0,n+1}]//展平
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交叉参考
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关键词
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签名,标签,压裂
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作者
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状态
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经核准的
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A290695型
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| 按行读取的三角形,有理多项式P(n,x)系数的分母(以升幂表示),使得Integral_{x=0..1}P'(n,x)=Bernoulli(n,1)。 |
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+10 6
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1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 1, 5, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 7, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 5, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 11, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,5
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评论
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链接
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配方奶粉
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T(n,k)=分母([x^k]积分(和{j=0..n}(-1)^(n-j)*Stirling2(n,j)*j!*x^j)^m),对于m=1和k=0..n+1。
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例子
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三角形开始:
[1, 1]
[1, 1, 2]
[1, 1, 2, 3]
[1, 1, 2, 1, 2]
[1, 1, 2, 3, 1, 5]
[1, 1, 2, 1, 2, 1, 1]
[1, 1, 2, 3, 1, 1, 1, 7]
[1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 1, 1]
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MAPLE公司
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T_row:=n->denom(多项式工具:-系数列表(添加((-1)^(n-j+1)*Stirling2(n,j-1)*(j-1)*x^j/j,j=1..n+1),x)):对于从0到7的n,执行T_row(n)od;
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数学
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T[n]:=分母[系数表[总和[(-1)^(n-j+1)箍筋S2[n,j-1](j-1)!x^j/j,{j,1,n+1}],x]];
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交叉参考
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关键词
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非n,标签,压裂
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作者
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状态
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经核准的
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A291449型
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| P(n,x)=Sum_{k=0..1}(-1)^(n-k)*Stirling2(n,k)*k*x ^k。 |
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+10 6
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1, 1, 13, 1, 43, -61, 728877, 81739, -1779449713, -2112052153, 730622680308569, 113221320488699, -3660430816956396309, -3021604582205161, 21842539561810574341396283, 66747470298418575790593659, -124586733960451680357554181608419, -28471605423890788373026535240299
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0, 3
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评论
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链接
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MAPLE公司
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序列(BG_row(3,n,“num”,“val”),n=0..17);
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数学
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P[n_,x_]:=总和[(-1)^(n-k)*StirlingS2[n,k]*k*x^k,{k,0,n}];
a[n_]:=积分[P[n,x]^3,{x,0,1}]//分子;
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交叉参考
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关键词
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签名,压裂
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作者
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状态
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经核准的
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A291450型
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| P(n,x)=Sum_{k=0..n}(-1)^(n-k)*Stirling2(n,k)*k*x ^k。 |
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+10 6
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1, 4, 140, 28, 20020, 4004, 6466460, 184756, 148728580, 29745716, 133706993420, 2431036244, 449741705140, 31885268, 670910837521540, 134182167504308, 409926521725660940, 4822664961478364, 1278006214791766460, 1921813856829724, 242081282475556183660, 4401477863191930612
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,2
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评论
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链接
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MAPLE公司
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seq(BG_row(3,n,“den”,“val”),n=0..20);
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数学
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P[n_,x_]:=总和[(-1)^(n-k)*StirlingS2[n,k]*k*x^k,{k,0,n}];
a[n_]:=积分[P[n,x]^3,{x,0,1}]//分母;
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交叉参考
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关键词
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非n,压裂
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作者
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状态
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经核准的
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