显示找到的17个结果中的1-10个。
1, 1, 4, 9, 29, 82, 255, 773, 2410, 7499, 23575, 74298, 235325, 747407, 2381126, 7603433, 24332595, 78013192, 250540055, 805803691, 2595158718, 8368026845, 27012184877, 87283372610, 282294378071, 913775677281, 2960160734818
评论
右半平面中从（0,0）到（n，0）的路径数，包括步骤U=（1,1），D=（1，-1），h=（1,0）和h=（2,0）。例如：a（3）=9，因为我们有hhh、hH、hH、hUD、hDU、UhD、DhU、UDh和DUh。限制在第一象限的此类路径的数量如下所示A128720号. -Emeric Deutsch公司2007年9月3日
使用步骤（1,0）、（1,1）、（1.2）、（2,2）从（0,0）到（n，n）的晶格路径数-乔格·阿恩特，2011年6月30日
参考文献
杨林林，杨雪莲，参数帕斯卡菱形。小谎。问，57:4（2019），337-346。
链接
J.Goldwasser等人。，帕斯卡菱形中的密度，离散数学。，204 (1999), 231-236.
Paul K.Stockmeyer，帕斯卡·伦布和隐身构型，arXiv:1504.04404[math.CO]，2015年。
配方奶粉
带递归的D-有限：（n+1）*a（n+1）=（2*n+1）*a（n）+5*n*a（n-1）-（2*n-1）*a-Emeric Deutsch公司2007年9月3日
G.f.:A（x）=和{n>=0}（2*n）/（n！）^2*x^（2n）/（1-x-x^2）^（2 n+1）-保罗·D·汉纳2010年10月29日
a（n）~sqrt（（3+11/sqrt（13））/8）*（（3+sqrt）/2）^n/sqrt-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年8月11日
MAPLE公司
r： =proc（i，j），如果i=0，则0 elif i=1，abs（j）>0，然后0 elif i=1，j=0，然后1 elif i>=1，然后r（i-1，j）+r非常慢；Emeric Deutsch公司2004年6月6日
G： =1/sqrt（（1+z-z^2）*（1-3*z-z*2））：Gser:=系列（G，z=0，30）：seq（系数（Gser，z，n），n=0..27）#Emeric Deutsch公司2007年9月3日
a[0]：=1:a[1]：=1:1:a[2]：=4:a[3]：=9:对于n从3到26，做a[n+1]：=（（2*n+1）*a[n]+5*n*a[n-1]-（2*n-1）*a[2]-（n-1）*1[n-3]）/（n+1）end-do:seq（a[n]，n=0..27）#Emeric Deutsch公司2007年9月3日
数学
系数列表[系列[1/Sqrt[（1+x-x^2）（1-3x-x^ 2）]，{x，0，40}]，x](*哈维·P·戴尔2011年6月4日*）
a[n_]：=和[二项式[n-k，k]*超几何2F1[（2*k-n）/2，（2*k-n+1）/2，1，4]，{k，0，Floor[n/2]}]；表[a[n]，{n，0，30}](*Jean-François Alcover公司2015年11月26日*）
黄体脂酮素
（PARI）{a（n）=polcoeff（和（m=0，n，x^（2*m）/（1-x-x^2+x*O（x^n））^（2*m+1）*（2*m）！/（m！）^2），n）}\\保罗·D·汉纳2010年10月29日
步骤=[1,0]，[1,1]，[1,2]，[2,2]；
扩展
Larry Reeves（larryr（AT）acm.org）提供的更多术语，2001年1月30日
0, 0, 1, 2, 8, 22, 72, 218, 691, 2158, 6833, 21612, 68726, 218892, 699197, 2237450, 7174018, 23038582, 74097134, 238625222, 769407486, 2483532218, 8024499657, 25951580444, 83999410292, 272098963300, 882045339733, 2861184745710, 9286923094550, 30161343633746
评论
使用步长U=（1,1）、D=（1，-1）、h=（1,0）和h=（2,0），第一象限中从（0,0）到（n-1,0）的所有路径中的h步长数。示例：a（4）=8，因为在6中(=A128720号（3） ）路径hhh、hH、hH、hUD、UhD和UDh共有8个h步。a（n）=和{k=0..n-1}k*A132277号（n-1，k）-Emeric Deutsch公司，2007年9月3日
右半平面中从（0,0）到（n-1,1）的路径数，包括步骤U=（1,1），D=（1，-1），h=（1,0）和h=（2,0）。例如：a（4）=8，因为我们有hhU、HU、hUh、Uhh、UH、DUU、UDU和UUD。使用步长U=（1,1）、D=（1，-1）、h=（1,0）和h=（2,0），第一象限中从（0,0）到（n-1,0）的所有路径中的h步长数。示例：a（4）=8，因为在6中(=A128720号（3） ）从（0,0）到（3,0）的路径，即hhh、hH、hH、hUD、UhD和UDh，我们总共有8个h步。a（n）=和{k=0..n-1}k*A132277号（n-1，k）-Emeric Deutsch公司2007年9月3日
链接
W.F.Klostermeyer、M.E.Mays、L.Soltes和G.Trapp，帕斯卡菱形《斐波纳契季刊》，35（1997），318-328。
MAPLE公司
g： =（（1-zz^2-sqrt（（1+zz^2）*（1-3*zz^ 2）））*1/2）/sqrt（1+Zz^2；seq（系数（gser，z，n），n=0..29）#Emeric Deutsch公司2007年9月3日
g： =（（1-z-z^2）*1/2）/sqrt（（1+z-z*2）*（1-3*z-z|2））-1/2:gser：=系列（g，z=0，33）：seq（系数（gser，z，n），n=0..30）#Emeric Deutsch公司2007年9月3日
数学
t[0,0]=t[1,0]=t[1，1]=t[1]，2]=1；
t[n/；n>=0，k_/；k>=0]/；k<=2n：=t[n，k]=t[n-1，k]+t[n-1，k-1]+t[1，k-2]+t[n 2，k-2]；
t[n，k]/；n<0|k<0|k>2n=0；
a[n]：=t[n-1，n-2]；
行读取的三角形：T（n，k）是第一象限中从（0,0）到（n，k）的路径数，由步骤U=（1,1）、D=（1，-1）、h=（1,0）和h=（2,0）（0<=k<=n）组成。
+10
6
1, 1, 1, 3, 2, 1, 6, 7, 3, 1, 16, 18, 12, 4, 1, 40, 53, 37, 18, 5, 1, 109, 148, 120, 64, 25, 6, 1, 297, 430, 369, 227, 100, 33, 7, 1, 836, 1244, 1146, 760, 385, 146, 42, 8, 1, 2377, 3656, 3519, 2518, 1391, 606, 203, 52, 9, 1, 6869, 10796, 10839, 8188, 4900, 2346, 903, 272
参考文献
杨林林，杨雪莲，参数帕斯卡菱形。小谎。问，57:4（2019），337-346。
链接
W.F.Klostermeyer、M.E.Mays、L.Soltes和G.Trapp，帕斯卡菱形《斐波纳契季刊》，35（1997），318-328。
配方奶粉
G.f.：G（t，z）=G/（1-t*z*G），其中G=1+z*G+z^2*G+z ^2*G ^2或G=c（z^2/（1-zz^2）^2）/（1-zz ^2），其中c=（（1-sqrt（1-4*z））/（2*z）是加泰罗尼亚函数。
列k具有g.f.z^k*g^（k+1），其中g=1+z*g+z^2*g+z ^2*g ^2=（1-zz^2-sqrt（（1+zz^2）*（1-3*zz^1））/（2*z^2”）。
T（n，k）=和{i=0..（n-k）/2}（二项式（2*i+k，i）*（k+1）/（i+k+1）*和{j=0-伊曼纽尔·穆纳里尼2011年5月5日
例子
T（3,2）=3，因为我们有UUh，UhU和hUU。
三角形开始：
1;
1, 1;
3, 2, 1;
6, 7, 3, 1;
16, 18, 12, 4, 1;
40, 53, 37, 18, 5, 1;
109, 148, 120, 64, 25, 6, 1;
...
MAPLE公司
g： =（（1-zz^2-sqrt（（1+zz^2）*（1-3*zz^ 2））*1/2）/z^2:g:=简化（g/（1-t*z*g））：Gser:=简化。。n） 结束do；#三角形形式的屈服序列
数学
扁平[表[Sum[二项式[2i+k，i（k+1）/（i+k+1）*Sum[二项式[i+j+k，i+k]*二项式[j，n-k-2i-j]，{j，0，n-k-2A}]，{i，0，（n-k）/2}](*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年5月5日*）
c[x_]：=（1-平方[1-4*x]）/（2*x）；g[z_]：=c[z^2/（1-z-z^2）^2]/（1-zz-z*2）；G[t，z_]：=G[z]/（1-t*z*G[z]）；CoefficientList[系数列表[系列[G[t，x]，{x，0，49}，{t，0，49}]，x](*G.C.格鲁贝尔2017年12月2日*）
黄体脂酮素
（极大值）create_list（sum（二项式（2*i+k，i）*（k+1）/（i+k+1）*sum（二项式（i+j+k，i+k）*二项式（j，n-k-2*i-j），j，0，n-k-2*i），i，0，（n-k）/2），n，0，15，k，0，n）/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年5月5日*/
（PARI）对于（n=0，10，对于（k=0，n，print1（总和（i=0，（n-k）/2，（二项式（2*i+k，i）*（k+1）/（i+k+1）*总和（j=0\\G.C.格鲁贝尔2017年11月29日
1, 2, 6, 17, 51, 154, 473, 1464, 4568, 14332, 45187, 143024, 454217, 1446604, 4618576, 14777451, 47371177, 152110326, 489165277, 1575211177, 5078690936, 16392526502, 52963765321, 171282782902, 554393341371, 1795821017014
链接
W.Klostermeyer等人。，帕斯卡菱形《斐波纳契季刊》，35（1976），318-328。
配方奶粉
总面积：（sqrt（（1+x-x^2）/（1-3*x-x^ 2））-1）/x/2-弗拉德塔·乔沃维奇2004年1月20日
a（n）=（1/2）*和（二项式（2*k，k）*（-1）^（n-k+1）*和-伊曼纽尔·穆纳里尼2011年5月5日
MAPLE公司
g： =（1/2）*（平方（（1+x-x^2）/（1-3*x-x^ 2））-1）/x:gser：=系列（g，x=0，30）：seq（系数（gser，x，n），n=0..25）#Emeric Deutsch公司2007年9月3日
数学
表[Sum[二项式[2k，k]（-1）^（n-k+1）Sum[二项式[i+k-1，i]二项式[i，n-k-i+1]，{i，0，n-k+1}]，{k，0，n+1}]/2，{n，0，28}](*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年5月5日*）
具有[{nn=50}，系数列表[Series[（Sqrt[（1+x-x^2）/（1-3*x-x^ 2）]-1）/x/2，{x，0，nn}]，x]](*G.C.格鲁贝尔2018年1月29日*）
黄体脂酮素
（极大值）makelist（sum（二项式（2*k，k）*（-1）^（n-k+1）*sum（二项式（i+k-1，i）*二项式/*伊曼纽尔·穆纳里尼2011年5月5日*/
（PARI）x='x+O（'x^30）；Vec（（平方（（1+x-x^2）/（1-3*x-x^ 2））-1）/x/2）\\G.C.格鲁贝尔2018年1月29日
（岩浆）Q:=原理（）；R<x>：=PowerSeriesRing（Q，40）；系数（R！（Sqrt（（1+x-x^2）/（1-3*x-x^ 2））-1）/（2*x））//G.C.格鲁贝尔2018年1月29日
扩展
拉里·里夫斯的更多术语（larryr（AT）acm.org），2001年1月31日
1, 1, 1, 1, 2, 3, 1, 3, 7, 6, 1, 4, 12, 18, 16, 1, 5, 18, 37, 53, 40, 1, 6, 25, 64, 120, 148, 109, 1, 7, 33, 100, 227, 369, 430, 297, 1, 8, 42, 146, 385, 760, 1146, 1244, 836, 1, 9, 52, 203, 606, 1391, 2518, 3519, 3656, 2377, 1, 10, 63, 272, 903, 2346, 4900, 8188
链接
W.Klostermeyer等人。，帕斯卡菱形《斐波纳契季刊》，35（1976），318-328。
配方奶粉
每个条目是前一行中位于其上方的3个条目和后两行正上方的条目的总和（前提是条目正确对齐）。
G.f.=G（t，z）=G（tz）/（1-zg（tx）），其中G（z）=（1-zz^2-sqrt（（1+zz^2）（1-3zz^1））/（2z^2-Emeric Deutsch公司2007年9月3日
例子
如果三角形反映在垂直轴上，则如下所示：
1
1 1
3 2 1
6 7 3 1
16 18 12 4 1
现在菱形规则清晰可见（例如18=6+7+3+2）。
MAPLE公司
g： =proc（z）options操作符，箭头：（1/2-（1/2）*z-（1/2 seq（系数（P[n]，t，j），j=0..n）结束do；#以三角形形式生成序列-Emeric Deutsch公司2007年9月3日
数学
最大值=10；g[z_]：=（1-z-z^2-Sqrt[（1+z-z*2）*（1-3*z-z|2）]）/（2z^2）；s=序列[g[t*z]/（1-z*g[t*z]），{z，0，max}，{t，0，max}]//正常；t[n_，k_]：=级数系数[s，{z，0，n}，{t，0，k}]；t[0,0]=1；表[t[n，k]，{n，0，max}，{k，0，n}]//展平(*Jean-François Alcover公司2014年1月16日之后Emeric Deutsch公司*)
扩展
来自Larry Reeves（larryr（AT）acm.org）的更多术语，2001年1月31日
1, 2, 5, 17, 109, 706, 9529, 149057, 3464585, 141172802, 5987285341, 540281496721, 53055650250901, 8453268527614082, 2173247123169247025, 610193552206250342657, 364280506115937098013649, 225791960727416355391439746
配方奶粉
对于Z中的所有n，a（n）=a（-2-n），a-迈克尔·索莫斯，2020年4月30日
MAPLE公司
如果n<=4，则
op（n+1，[1，2，5，17，109]）；
其他的
（进程名（n-1）*procname（n-3）+3*procnname（n-2）^2）/procname（n-4）；
结束条件：；
数学
递归表[｛a[0]==1，a[1]==2，a[2]==5，a[3]==17，a[n]=（a[n-1]a[n-3]+3a[n-2]^2）/a[n-4]}，a[n]，｛n，20｝](*哈维·P·戴尔，2011年10月25日*）
a[n]：=其中[n<-1，a[-2-n]，n<2，{1，1，2}[[n+2]]，真，（a[n-1]a[n-3]+3a[n-2]^2）/a[n-4]；(*迈克尔·索莫斯2020年4月30日*）
黄体脂酮素
（哈斯克尔）
a174168 n=a174168_列表！！n个
a174168_list=[1，2，5，17]++zipWith div（zipWise（+）
（zipWith（*）（尾部a174168_list）（删除3个a174168_ list））
（地图（（*3））。（^2））（删除2 a174168_list））a174168_列表
（PARI）m=20；v=concat（[1,2,5,17]，向量（m-4）；对于（n=5，m，v[n]=（v[n-1]*v[n-3]+3*v[n-2]^2）/v[n-4]）；v（v）\\G.C.格鲁贝尔2018年9月25日
（岩浆）I:=[1,2,5,17]；[n le 4选择I[n]else（自我（n-1）*自我（n-3）+3*Self（n-2）^2）/自我（n-4）：[1..20]]中的n//G.C.格鲁贝尔2018年9月25日
按行读取的三角形：T（n，k）是半长为n且具有k个UUU（三重线）的斜交Dyck路径数（n>=0；对于n>=2，0<=k<=n-2）。
+10
2
1, 1, 3, 6, 4, 16, 12, 8, 40, 53, 28, 16, 109, 176, 162, 64, 32, 297, 625, 633, 456, 144, 64, 836, 2084, 2677, 2024, 1216, 320, 128, 2377, 7016, 10257, 9849, 6008, 3120, 704, 256, 6869, 23218, 39378, 42222, 32930, 16928, 7776, 1536, 512, 20042, 76811, 146191
评论
斜交Dyck路径是第一象限中的一条路径，它从原点开始，在x轴结束，由步骤U=（1,1）（向上）、D=（1，-1）（向下）和L=（-1，-1）。路径的长度定义为其步数。
第n行有n-1个项（n>=2）。
链接
E.Deutsch、E.Munarini、S.Rinaldi、，倾斜Dyck路径，J.Stat.Plann。推断。140 (8) (2010) 2191-2203
配方奶粉
G.f.：G=G（t，z）满足z（t+z-tz）G^2-（1-z-z^2+tz^2）G+1-tz=0。
例子
T（3,1）=4，因为我们有UUUDDD、UUUDLD、UU UDDL和UUUDLL。
三角形起点：
1;
1;
三；
6, 4;
16, 12, 8;
40, 53, 28, 16;
MAPLE公司
eq:=z*（t+z-t*z）*G^2-（1-z-z^2+t*z^2）*G+1-t*z=0:G:=RootOf（eq，G）：Gser:=简化（级数（G，z=0，14））：对于从0到12的n，执行P[n]：=排序（系数（Gser，z，n））od:1；1; 对于从2到11的n，做seq（系数（P[n]，t，j），j=0..n-2）od；#三角形形式的屈服序列
按行读取的三角形：T（n，k）是第一象限中从（0,0）到（n，0）的路径数，使用步骤U=（1,1），D=（1，-1），h=（1,0）和h=（2,0），正好有k个h步。
+10
2
1, 0, 1, 2, 0, 1, 0, 5, 0, 1, 6, 0, 9, 0, 1, 0, 25, 0, 14, 0, 1, 22, 0, 66, 0, 20, 0, 1, 0, 129, 0, 140, 0, 27, 0, 1, 90, 0, 450, 0, 260, 0, 35, 0, 1, 0, 681, 0, 1210, 0, 441, 0, 44, 0, 1, 394, 0, 2955, 0, 2765, 0, 700, 0, 54, 0, 1, 0, 3653, 0, 9625, 0, 5642, 0, 1056, 0, 65, 0, 1
配方奶粉
G.f.G=G（t，z）满足G=1+tzG+z^2*G+z*G^2（见Maple程序的显式表达式）。
例子
T（4,2）=9，因为我们有hhH，hhUD，hhH，hUDh，hhH，UDhh，hUhD，UhDh和UhhD。
MAPLE公司
G： =（（1-t*z-z^2-sqrt（（1-2*z-t*z-z ^2）*（1+2*z-t*z-zz^2））*1/2）/z^2:Gser:=简化（级数（G，z=0，15））：对于从0到11的n do P[n]：=排序（系数（Gser，z，n））end do：对于从0~11的n，do seq（系数（P[n]t，j），j=0..n）end do；#三角形形式的屈服序列
1, 1, 3, 10, 28, 93, 317, 1090, 3876, 13995, 51182, 189606, 709218, 2675230, 10166639, 38883721, 149559230, 578153160, 2245017535, 8752828951, 34250020397, 134465596581, 529509173245, 2090920335200, 8277633788511, 32846871639751, 130624556118075, 520512049658200
评论
k元平面多树是一种边具有多重性且任意节点的出度不超过k的平面树。具有n条边（不限制出度）的平面多树的数量由下式给出A002212年（n） ●●●●-安德鲁·霍罗伊德2020年2月24日
配方奶粉
a（n）=求和{k=1..n+1}求和{i=1..k-1}求和和{j=0..floor（（n-i）/3）}（-1）^j*二项式（k，i）*二项法（i，j）*二项（n-i，k-i-1）*二项式（n-3*j-1，i-1）/k，对于n>0-安德鲁·霍罗伊德2020年2月24日
黄体脂酮素
（PARI）a（n）={my（m=3）；如果（n<1，n==0，和（k=1，n+1，和（i=1，k-1，和（j=0，（n-i）\m，（-1）^j*二项（k，i）*二项\\安德鲁·霍罗伊德2020年2月24日
1, 1, 3, 10, 36, 121, 447, 1699, 6589, 25914, 103633, 419421, 1714463, 7068285, 29361629, 122764876, 516245009, 2181957489, 9264275600, 39495666700, 169000837410, 725574719515, 3124648750706, 13493792787415, 58422790497226, 253547380435914, 1102776319943605
配方奶粉
a（n）=求和{k=1..n+1}求和{i=1..k-1}求和和{j=0..floor（（n-i）/4）}（-1）^j*二项式（k，i）*二项法（i，j）*二项（n-i，k-i-1）*二项式（n-4*j-1，i-1）/k，对于n>0-安德鲁·霍罗伊德2020年2月24日
黄体脂酮素
（PARI）a（n）={my（m=4）；如果（n<1，n==0，和（k=1，n+1，和（i=1，k-1，和（j=0，（n-i）\m，（-1）^j*二项（k，i）*二项\\安德鲁·霍罗伊德2020年2月24日
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