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n*a（n）=2*（2*n-1）*a（n-1）+4*（n-1。
（原名M1849）
+10
42
1, 2, 8, 32, 136, 592, 2624, 11776, 53344, 243392, 1116928, 5149696, 23835904, 110690816, 515483648, 2406449152, 11258054144, 52767312896, 247736643584, 1164829376512, 5484233814016, 25852072517632, 121997903495168
评论
a（n）=Delannoy路径数(A001850号)从（0,0）到（n，n），其中每个东北台阶前面都紧接着一个东台阶-大卫·卡伦2004年3月14日
一般来说，1/sqrt（1-4*r*x-4*r**x^2）具有例如f.exp（2rx）BesselI（0,2r*sqrt）（（r+1）/r）x），a（n）=Sum_{k=0..n}C（2k，k）*C（k，n-k）*r^k，给出了（1+（2r）x+r（r+1，x^2-保罗·巴里2005年4月28日
此外，使用步骤U=（1,1）、H=（1,0）和D=（1，-1）从（0,0）到（n，0）的路径数，H和U步骤可以有两种颜色-N-E.法西2008年2月5日
这个序列给出了Pi积分近似值的整数部分，也出现在Frits Beukers的《Pi的理性方法》（参见链接，示例）中。尽管Beukers报告的质量为M~0.9058……，但在n=10000到30000之间的测量结果导致了有争议的质量估计值M~0.79……，置信度为99%。在《寻找Apéry风格的奇迹》一书中，Doron Zeilberger引用了M=0.79119792…，并给出了一个闭合形式。Pi的同样有理近似也来自四次哈密顿曲面上的时间积分，2*H=（q^2+p^2）*（1-4*q*（q-p））-Bradley Klee公司，2018年7月19日，2019年3月17日更新
参考文献
N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。
链接
Frits Beukers，圆周率的理性探讨，Nieuw archief voor wiskunde 5/1第4号，2000年12月，第377页。
配方奶粉
a（n）=和{k=0..n}C（2*k，k）*C（k，n-k）.-Detlef Pauly（dettodet（AT）yahoo.de），2001年11月8日
通用：1/（1-4x-4x^2）^（1/2）；此外，a（n）是（1+2x+2x^2）^n的中心系数-保罗·D·汉纳2003年6月1日
例如：exp（2*x）*BesselI（0，2*sqrt（2）*x）-弗拉德塔·乔沃维奇2004年3月21日
a（n）=和{k=0..层（n/2）}C（n，2k）*C（2k，k）*2^（n-k）-保罗·巴里2006年9月19日
a（n）~2^（n-3/4）*（1+sqrt（2））^（n+1/2）/sqrt（Pi*n）-瓦茨拉夫·科特索维奇，2012年10月5日，简化为2023年1月31日
一般公式：1/（1-2*x*（1+x）*Q（0）），其中Q（k）=1+（4*k+1）*x*；（续分数）-谢尔盖·格拉德科夫斯基2013年5月14日
a（n）=2^n*超深层（[-n/2，1/2-n/2]，[1]，2）-彼得·卢什尼2014年9月18日
对于Z中的所有n，0=a（n）*（+16*a（n+1）+24*a（n+2）-8*a-迈克尔·索莫斯2016年10月13日
似乎Pi/2=Sum_{n>=1}（-1）^（n-1）*4^n/（n*a（n-1）*a（n））-彼得·巴拉2017年2月20日
G.f.:G（x）=（1/（2*Pi））*Integral_{y=0..2*Pi}1/（1-x*（4*（sin（y）-cos（y））*sin（y）））*dy，也满足：（2+4*x）*G（x）-（1-4*x-4*x^2）*G'（x）=0-Bradley Klee公司2018年7月19日
例子
G.f.=1+2*x+8*x^2+32*x^3+136*x^4+592*x^5+2624*x^6+11776*x^7+。。。
J_3=积分{y=0..Pi/4}4*（4*（sin（y）-cos（y））*sin（y））^3*dy=32*Pi-（304/3），|J_3|<1-Bradley Klee公司2018年7月19日
MAPLE公司
seq（加（二项式（2*k，k）*二项式，k，n-k），k=0..n），n=0..30）；#Detlef Pauly（dettodet（AT）yahoo.de），2001年11月8日
A006139号：=n->2^n*超深层（[-n/2，1/2-n/2]，[1]，2）：
数学
表[系列系数[1/（1-4x-4x^2）^（1/2），｛x，0，n｝]，｛n，0，20｝](*瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月5日*）
表[Abs[LegendreP[n，I]]2^n，{n，0，20}](*弗拉基米尔·雷舍特尼科夫2015年10月22日*）
表[Sum[二项式[2*k，k]*二项式[k，n-k]，{k，0，n}]，{n，0，50}](*G.C.格鲁贝尔2017年2月28日*）
a[n_]：=如果[n==0，1，系数[（1+2x+2x^2）^n，x^n]](*伊曼纽尔·穆纳里尼，2017年8月4日*）
系数列表[系列[1/Sqrt[（-4 x ^2-4 x+1）]，{x，0，24}]，x](*罗伯特·威尔逊v2018年7月28日*）
黄体脂酮素
（PARI）对于（n=0，30，t=polceoff（（1+2*x+2*x^2）^n，n，x）；打印1（t“，”）
（PARI）针对（n=0，25，print1（总和（k=0，n，二项式（2*k，k）*二项式），“，”）\\G.C.格鲁贝尔2017年2月28日
（PARI）{a（n）=（-2*I）^n*pollegendre（n，I）}/*迈克尔·索莫斯，2018年8月4日*/
（极大值）a（n）：=系数（展开（（1+2*x+2*x^2）^n），x，n）；
（间隙）a:=[1,2]；；对于[3..25]中的n，做a[n]：=1/（n-1）*（2*（2*n-3）*a[n-1]+4*（n-2）*a[2]）；od；a#穆尼鲁·A·阿西鲁，2018年8月6日
1, 6, 60, 648, 7344, 85536, 1014336, 12182400, 147702528, 1803907584, 22159733760, 273508669440, 3389106769920, 42134712606720, 525323149885440, 6565657319866368, 82235651779657728, 1031956779869798400
评论
（1+6x+12x^2）^n的中心系数。1/sqrt（1-48x^2）的第六次二项式变换。一般来说，1/sqrt（1-4*r*x-4*rx^2）具有例如f.exp（2rx）BesselI（0,2r*sqrt，（r+1）/r）x），a（n）=和{k=0..n，C（2k，k）C（k，n-k）r^k}，给出了（1+（2r）x+r（r+1。
配方奶粉
例如：exp（6*x）*BesselI（0,6*sqrt（4/3）*x）；a（n）=和{k=0..n，C（2k，k）C（k，n-k）3^k}。
递归D-有限：n*a（n）=6*（2*n-1）*a（n-1）+12*（n-1-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月17日
数学
系数列表[系列[1/Sqrt[1-12*x-12*x^2]，{x，0，20}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月17日*）
1, 8, 104, 1472, 21856, 333568, 5183744, 81590272, 1296426496, 20750839808, 334081306624, 5404163080192, 87763693060096, 1430025994108928, 23367175920287744, 382767375745810432, 6283401962864377856
评论
（1+8x+20x^2）^n的中心系数。1/sqrt的第八个二项式变换。一般来说，1/sqrt（1-4*r*x-4*rx^2）具有例如f.exp（2rx）BesselI（0,2r*sqrt，（r+1）/r）x），a（n）=和{k=0..n，C（2k，k）C（k，n-k）r^k}，给出了（1+（2r）x+r（r+1。
链接
Hacène Belbachir、Abdelghani Mehdaoui、LászlóSzalay、，Pascal金字塔中的对角和，II：应用，J.国际顺序。，第22卷（2019年），第19.3.5条。
配方奶粉
例如：exp（8*x）*BesselI（0,8*sqrt（5/4）*x）；a（n）=和{k=0..n，C（2k，k）C（k，n-k）4^k}。
带递归的D-有限：n*a（n）=8*（2*n-1）*a（n-1）+16*（n-1-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月17日
a（n）~平方（50+20*sqrt（5））*（8+4*sqert（5），^n/（10*sqort（Pi*n））-瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月17日
数学
系数列表[系列[1/Sqrt[1-16*x-16*x^2]，{x，0，20}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇2012年10月17日*）
1, 10, 160, 2800, 51400, 970000, 18640000, 362800000, 7128700000, 141103000000, 2809273600000, 56197096000000, 1128614356000000, 22741607080000000, 459548117440000000, 9309106936000000000, 188980474087000000000
评论
（1+10x+30x^2）^n的中心系数。1/sqrt的第十个二项式变换。一般来说，1/sqrt（1-4*r*x-4*r**x^2）有f.exp（2rx）*BesselI（0,2r*sqrt，（r+1）/r）x），a（n）=和{k=0..n}C（2k，k）*C（k，n-k）*r^k给出了（1+（2r）*x+r（r+1）x ^2）。
配方奶粉
例如：exp（10*x）*BesselI（0，10*sqrt（6/5）*x）。
a（n）=和{k=0..n}C（2k，k）*C（k，n-k）*5^k。
递归D-有限：n*a（n）+10*（-2*n+1）*a（n-1）+20*（-n+1）*a（n-2）=0-R.J.马塔尔2012年11月26日
a（n）~平方（1+平方（5/6））/2）*（10+2*sqrt（30））^n/sqrt（Pi*n）-瓦茨拉夫·科特索维奇2013年10月19日
数学
系数列表[系列[1/Sqrt[1-20*x-20*x^2]，{x，0，20}]，x](*瓦茨拉夫·科特索维奇，2013年10月19日*）
黄体脂酮素
（PARI）对于（n=0，25，print1（总和（k=0，n，二项式（2*k，k）*二项式，（k，n-k）*5^k），“，”）\\G.C.格鲁贝尔2017年1月31日
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