A049033-编号：A049033-OEIS

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A001820号

中心阶乘数。
（原名M4952 N2121）

+10
12

1, 14, 273, 7645, 296296, 15291640, 1017067024, 84865562640, 8689315795776, 1071814846360896, 156823829909121024, 26862299458337581056, 5325923338791614078976, 1210310405427816646041600, 312542036038910895995289600, 91018216923341770801874534400

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,2

a（n-2）是Product_{k=0..n}（x+k^2）中x^3的系数。

参考文献

J.Riordan，《组合恒等式》，威利出版社，1968年，第217页。

N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

链接

T.D.Noe，n=0..100时的n，a（n）表

小松高雄，二级多柯西数的卷积恒等式，arXiv:2003.12926[math.NT]，2020年。

米尔恰·梅尔卡，广义Girard-Waring公式的一个特例《整数序列》，第15卷（2012年），第12.5.7条。

配方奶粉

a（n）=s（n+3,3）^2-2*s（n=3,2）*s（n+3,4）+2*s（n+3,1）*s（n+3.5），其中s（n，k）是第一类斯特林数，A048994号. -米尔恰·梅卡2012年4月3日

a（n）=（3*n^2+6*n+5）*a（n-1）-（n^2+n+1）*（3*n ^2+3*n+1）*a（n-2）+n^6*a（n-3）-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年2月23日

a（n）~Pi^5*n^（2*n+5）/（60*经验（2*n））-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年2月23日

MAPLE公司

seq（2*Stirling1（n+3,1）*Stiring1（n=3,5）-2*Stirling1（n+3,2）*Stiling1（n+4,4）+Stirling（n+3,3）^2，n=0..20）#米尔恰·梅卡2012年4月3日

数学

表[StirlingS1[n+3，3]^2-2*Stirling S1[n+2，2]*StiringS1[n+4，4]+2*StirLing S1[n+3，1]*StirlingS1[n+3，5]，{n，0，20}](*T.D.诺伊2012年8月10日*）

交叉参考

囊性纤维变性。A049033号.

三角形右第三列A008955号.

关键词

非n

作者

N.J.A.斯隆

状态

经核准的

A001824号

中心阶乘数。
（原名M4749 N2031）

+10
10

1, 10, 259, 12916, 1057221, 128816766, 21878089479, 4940831601000, 1432009163039625, 518142759828635250, 228929627246078500875, 121292816354463333793500, 75908014254880833434338125, 55399444912646408707007883750, 46636497509226736668824289999375

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,2

参考文献

T.J.I'a.Bromwich，《无穷级数理论导论》，麦克米伦出版社，第2期。1949年版，第223页，问题2。

J.Riordan，《组合恒等式》，威利出版社，1968年，第217页。

N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

链接

Seiichi Manyama，n=0..224时的n、a（n）表（T.D.Noe的条款0..50）

与阶乘数相关的序列的索引项

配方奶粉

例如：（arcsin x）^3；也就是说，ak是x^（2*k+3）in（arcsinx）^3乘以（2*k+3）的系数！除以6乔·基恩（jgk（AT）jgk.org）

a（n）=（（2*n+1）！！）^2*Sum_{k=0..n}（2*k+1）^（-2）。

a（n）~Pi^2*n^2*2^（2*n）*e^（-2*n）*n^（2*n）乔·基恩（jgk（AT）jgk.org），2002年6月6日

（-1）^（n-1）*a（n-1”）是Product_{k=1..2*n}（x+2*k-2*n-1）中x^2的系数-贝诺伊特·克洛伊特和迈克尔·索莫斯2002年11月22日

a（n）=det（V（i+2，j+1），1<=i，j<=n），其中V（n，k）是具有奇数指数的第二类中心阶乘数(A008958号). -米尔恰·梅卡2013年4月6日

递归：a（n）=2*（4*n^2+1）*a（n-1）-（2*n-1）^4*a（n-2）-弗拉基米尔·雷谢特尼科夫2016年10月13日

极限{n->infinity}a（n）/（（2n+1）！！）^2=Pi^2/8-丹尼尔·苏图，2017年10月31日

例子

（arcsin x）^3=x^3+1/2*x^5+37/120*x^7+3229/115120*x^9+。。。

数学

a[n]=（2n+1）^2（Pi^2-2 PolyGamma[1，n+3/2]）/8；a/@Range[0，12]//简化(*Jean-François Alcover公司2011年4月22日，乔·基恩之后*）

对于[{nn=30}，取[（系数列表[Series[ArcSin[x]^3，{x，0，nn}]，x]范围[0，nn-1]！）/6，{4，-1，2}]](*哈维·P·戴尔2012年2月5日*）

交叉参考

囊性纤维变性。A002455号,A001825号,A049033号.

三角形右立柱2A008956号.

关键词

非n,容易的,美好的

作者

N.J.A.斯隆

扩展

Joe Keane（jgk（AT）jgk.org）提供的更多术语

状态

经核准的

A002455号

中心阶乘数。
（原名M5103 N2210）

+10
7

0, 1, 20, 784, 52480, 5395456, 791691264, 157294854144, 40683662475264, 13288048674471936, 5349739088314368000, 2603081566154391552000, 1506057980251484454912000, 1021944601582419125993472000

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,3

参考文献

B.Berndt，Ramanujan笔记本，第一部分，第263页。

A.Fletcher、J.C.P.Miller、L.Rosenhead和L.J.Comrie，《数学表格索引》。卷。第1版和第2版，牛津大学布莱克威尔和艾迪森·韦斯利出版社，马萨诸塞州雷丁，1962年，第一卷，第110页。

J.Riordan，《组合恒等式》，威利出版社，1968年，第217页。

N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

链接

T.D.Noe，n=0..50时的n，a（n）表

T.R.Van Oppolzer，Lehrbuch zur Bahnbestimmung der Kometen und Planeten公司第2卷，恩格尔曼，莱比锡，1880年，第7页。

与阶乘数相关的序列的索引项

配方奶粉

（-1）^（n-1）*a（n）是Product_{k=0..2*n}（x+2*k-2*n）中x^3的系数-贝诺伊特·克洛伊特和迈克尔·索莫斯2002年11月22日

例如：（arcsin x）^4；也就是说，ak是x^（2*k+2）in（arcsinx）^4乘以（2*k+2）的系数！除以4！同时a（n）=2^（2*n-2）*（n！）^2*Sum_{k=1..n}1/k^2.-乔·基恩（jgk（AT）jgk.org）

a（n）=4*（2*n^2-2*n+1）*a（n-1）-16*（n-1-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年2月23日

a（n）~Pi^3*2^（2*n-2）*n^（2*n+1）/（3*exp（2*n））-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年2月23日

例子

（圆弧x）^4=x^4+2/3*x^6+7/15*x^8+328/945*x^10+。。。

数学

nmax=13；coes=系数列表[Series[ArcSin[x]^4，{x，0，2*nmax+2}]，x]*Range[0，2*nm ax+2]/24; a[n]：=系数[[2*n+3]]；表[a[n]，{n，0，nmax}](*Jean-François Alcover公司2011年12月8日*）

表[4^（n-1）*（n！）^2*谐波数[n，2]，{n，0，20}](*G.C.格鲁贝尔2019年7月4日*）

黄体脂酮素

（PARI）a（n）=如果（n<0，0，（2*n+2）*polceoff（asin（x+O（x^（2*n+3）））^4/4！，2*n+2））

（PARI）a（n）=-（-1）^n*polceoff（prod（k=0，2*n，x+2*k-2*n），3）

（岩浆）[0]cat[4^（n-1）*（阶乘（n））^2*（&+[1/k^2:k in[1..n]]）：n in[1..20]]//G.C.格鲁贝尔2019年7月4日

（Sage）[4^（n-1）*（阶乘（n））^2*和（1/k^2表示k in（1..n））表示n in（0..20）]#G.C.格鲁贝尔2019年7月4日

（GAP）列表（[0..20]，n->4^（n-1）*（阶乘（n））^2*总和（[1..n]，k->1/k^2））#G.C.格鲁贝尔，2019年7月4日

交叉参考

囊性纤维变性。A001819号,A001824号,A001825号,A049033号.

关键词

非n,容易的,美好的

作者

N.J.A.斯隆

扩展

Joe Keane提供的更多术语（jgk（AT）jgk.org）

状态

经核准的

A001825号

中心阶乘数。
（原名M5250 N2284）

+10
5

1, 35, 1974, 172810, 21967231, 3841278805, 886165820604, 261042753755556, 95668443268795341, 42707926241367380631, 22821422608929422854674, 14384681946935352617964750, 10562341153570752891930640875

(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)

抵消

0,2

参考文献

J.Riordan，《组合恒等式》，威利出版社，1968年，第217页。

N.J.A.Sloane，《整数序列手册》，学术出版社，1973年（包括该序列）。

N.J.A.Sloane和Simon Plouffe，《整数序列百科全书》，学术出版社，1995年（包括该序列）。

链接

T.D.Noe，n=0..50时的n，a（n）表

配方奶粉

例如：（arcsin x）^5；也就是说，ak是x^（2*k+5）in（arcsinx）^5乘以（2*k+5）的系数！除以5！.-乔·基恩（jgk（AT）jgk.org）

（-1）^（n-2）*a（n-2”）是x^4在prod中的系数（k=1，2*n，x+2*k-2*n-1）-贝诺伊特·克洛伊特和迈克尔·索莫斯2002年11月22日

a（n）=det（V（i+3，j+2），1<=i，j<=n），其中V（n，k）是具有奇数指数的第二类中心阶乘数(A008958号). -米尔恰·梅卡2013年4月6日

a（n）=（12*n^2+12*n+11）*a（n-1）--瓦茨拉夫·科特索维奇2015年2月23日

a（n）~Pi^4*n^（2*n+4）*2^（2*n-2）/（3*exp（2*n））-瓦茨拉夫·科特索维奇2015年2月23日

例子

（圆弧x）^5=x^5+5/6*x^7+47/72*x^9+1571/3024*x^11+。。。

数学

表[（2*n+5）！/5！*系列系数[ArcSin[x]^5，{x，0，2*n+5}]，{n，0，20}](*瓦茨拉夫·科特索维奇2015年2月23日*）

交叉参考

囊性纤维变性。A001824号,A002455号,A049033号.

三角形右立柱3A008956号.

关键词

非n

作者

N.J.A.斯隆

扩展

Joe Keane（jgk（AT）jgk.org）提供的更多术语

状态

经核准的

第页1

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