搜索： a013594-编号：a013594
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A013590型
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| 数k，使得Phi（k，x）是一个包含绝对值大于1的系数的分圆多项式。 |
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105, 165, 195, 210, 255, 273, 285, 315, 330, 345, 357, 385, 390, 420, 429, 455, 495, 510, 525, 546, 555, 561, 570, 585, 595, 609, 615, 627, 630, 645, 660, 665, 690, 705, 714, 715, 735, 759, 765, 770, 777, 780, 795, 805, 819, 825, 840, 855
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,1
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评论
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以前的名字是：包含绝对值大于1的系数的分圆多项式的阶。
术语是复合的。
如果k是序列的项，那么对于m>0，k*m也是。
让这个序列的一个本原项p是序列中没有除数的项。那么p是一个奇数平方自由数。（结束）
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链接
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MAPLE公司
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isA013590:=进程（n）
数值理论[分圆]（n，x）；
{系数（%，x）}；
地图（abs，%）；
如果%减去{1}={}，则
假；
其他的
真；
结束条件：；
结束进程：
从1到n do
如果是A013590（n），则
打印（n）；
结束条件：；
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数学
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S[n]：=对于[j=1；t=0，j<n，j++，t=Cases[系数表[分圆[j，x]，x]；抗体[k]>1]；如果[Length[t]=0，打印[j]]]；第[856]条
f[n_]：=Max@Abs@CoefficientList[分圆[n，x]，x]；选择[范围@1000，f@#>1&](*罗伯特·威尔逊v*)
选择[Range[900]，Max[Abs[Coefficient List[Cyclotomic[#，x]，x]]>1&](*哈维·P·戴尔2013年3月13日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）是（n）=对于（k=0，n，如果（abs（polceoff（polcyclo（n），k））>1，返回（n））；0
对于（n=11000，如果（是（n），打印1（n，“，”））\\德里克·奥尔2015年4月22日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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Peter T.Wang（peterw（AT）cco.caltech.edu）
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经核准的
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1, 105, 385, 1365, 1785, 2805, 3135, 6545, 10465, 11305, 17255, 20615, 26565, 40755, 106743, 171717, 255255, 279565, 327845, 707455, 886445, 983535, 1181895, 1752465, 3949491, 8070699, 10163195, 13441645, 15069565, 30489585, 37495115, 40324935
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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链接
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John Abbott和Nico Mexis，分圆因子与LRS简并，arXiv:2403.08751[math.AC]，2024。见第12页。
洛拉·汤普森，分圆统计乌得勒支大学（荷兰，2024年）。见第6、14页。
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数学
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r=0；执行[If[#>r，r=#；Print[n]]&@Max@Abs@CoefficientList[Cyclotomic[n，x]，{n，10^4}](*迈克尔·德弗利格2024年5月20日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）打印1（r=1）；对于（n=2，1e4，t=vecmax（abs（Vec（polcyclo（n）））；如果（t>r，r=t；打印1（“，”n））\\查尔斯·格里特豪斯四世2012年6月28日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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经核准的
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A063698号
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| 分圆多项式Phi_n（x）中负系数的位置，从二进制转换为十进制。（最低有效位（位-0）中的常数项，下一位（位-1）中的x项，依此类推）。 |
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0, 1, 0, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 10, 0, 4, 0, 42, 146, 0, 0, 8, 0, 68, 2322, 682, 0, 16, 0, 2730, 0, 1092, 0, 56, 0, 0, 599186, 43690, 8726850, 64, 0, 174762, 9585810, 4112, 0, 792, 0, 279620, 2101256, 2796202, 0, 256, 0, 32800, 2454267026, 4473924, 0, 512
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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评论
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Maple程序Phi_pos_terms和Phi_neg_terms是根据Lam和Leung论文中给出的公式建模的，它们计算所有整数x>1和所有n的正确结果，最多有两个不同的奇数素数因子（即，最多n=104）。其他程序如A063696号和A063694号.
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链接
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D.M.布鲁姆，关于分圆多项式的系数阿默尔。数学。《月刊》第75期，第372-377页，1968年。
H.伦斯特拉，消失的统一根之和，在程序中。200周年大会Wiskundig Genootschap（Vrije Univ.Amsterdam，1978），第二部分，第249-268页。
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MAPLE公司
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带有（数字理论）；[seq（Phi_neg_terms（j，2），j=0..104）]；
Phi_neg_terms：=进程（n，x）局部a，m，p，q，e，f，r，s；如果（n<2），则返回（n）；fi；a:=op（2，ifactors（n））；m：=nops（a）；p:=a[1]；e：=a[1][2]；如果（1=m），则返回（0）；fi；如果（2=m），则q:=a[2][1]；f：=a[2]；r：=inv_p_mod_q（p，q）-1；s：=inv_p_mod_q（q，p）-1；
返回（x^（s+1）*（q^f）*（p^（e-1）））*x^ `如果`（（q-2）=r，1，（（（x^（（q-r-1）*（（p^e）*（q^（f-1））））-1）/（x^1（（p*1））-1））；fi；
如果（（3=m）和（2=p）），则如果（1=e），则RETURN（every_other_pos（Phi_neg_terms（n/2，x），x，0）+every_other_pos（Phi_pos_terms（n/2，x），x，1））；否则返回（扩展（Phi_neg_terms（（n/（2^（e-1））），x），x，2^；fi；else printf（`Cannot handle argument%a with>=3 distinct odd prime factors！\n`，n）；返回（0）；fi；结束；
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=我的（p）；如果（n<1，0，p=polcyclo（n））；总和（i=0，n，2^i*（polceoff（p，i）<0））\\米歇尔·马库斯2016年3月5日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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4, 1, 165, 595, 1785, 1785, 2805, 3135, 6545, 6545, 10465, 10465, 10465, 10465, 10465, 11305, 11305, 11305, 11305, 11305, 11305, 11305, 15015, 11305, 20615, 17255, 20615, 20615, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,1
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评论
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铃木证明了每个n都存在一个（n）。沃恩证明了有无穷多个k，其中a（n）=k，n>exp（exp（log 2*log k/log log k））。
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链接
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铃木次郎，关于分圆多项式的系数，程序。日本科学院。序列号。数学。科学。63:7（1987），第279-280页。
R.C.沃恩，分圆多项式系数的界密歇根州数学。J.21（1974），289-295（1975）。
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例子
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Phi（165）=x^80+x^79+x^78-x^75-x^74-x^73-x^69-x^68-x^67+x^65+2x^64+2x^63+x^62-x^60-x^59-x^58-x^54-x^53-x^52+x^50+2x^49+2x^48+2x^47+x^46-x^44-x^43-x^42-x^41-x^40-x^39-x^38-x^37-x^36+x^34+2x^33+2x ^32+2x^31+x^30-x^28-x^27-x^26-x^22-x^21-x^20+x^18+2x^17+2x^16+x^15-x^13-x^12-x^11-x^7-x^6-x^5+x^2+x+1，其中2是x^16的系数，这是出现2的最小k，因此a（2）=165。
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MAPLE公司
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N： =40:计数：=0:A:=数组（0..N）：A[0]：=4:
当计数<N do时，从1开始计算k
S： ＝select（t-＞t:：posint，t＜＝N，A[t]=0，｛coeffs（numtheory：-分圆（k，x），x）｝）：
如果S<>{}，则
A[转换（S，列表）]：=k；
计数：=计数+nops（S）；
fi（菲涅耳）
日期：
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数学
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表[k=1；而[！MemberQ[系数表[分圆[k，x]，x]、n]，k++]；k、 {n，0，9}](*迈克尔·德弗利格，2015年9月29日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=我的（k，v）；while（！setsearch（集合（Vec（polcyclo（k++））），n），）；k个
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交叉参考
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关键词
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A046887美元
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| 数n，使n阶分圆多项式具有非零系数，该系数不出现在任何低阶分圆多项中。 |
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1, 105, 165, 385, 595, 1365, 1785, 2145, 2805, 3135, 6545, 7917, 10465, 11305, 15015, 17255, 20615, 25935, 26565, 40755, 106743, 171717, 255255, 279565, 285285, 327845, 350455, 373065, 463505
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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1,2
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链接
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例子
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分圆多项式循环（105）是第一个包含非零系数的循环，该系数不是1或-1：它包含-2。然后，对于j=165，出现系数2，依此类推。
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MAPLE公司
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with（numtheory）：me:={}：对于从1到10000的j，做h:={coefs（分圆（j，x））}：如果我联合h<>me，则打印（j，h减去me）；me:=我的联合h；fi；日期：
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数学
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coes={}；Reap[For[j=1，j<=10000，j++，h=Select[CoefficientList[Cyclotomic[j，x]，x]0 &]; u=联合[coes，h]；如果[u！=coes，打印[j]；母猪[j]；coes=u]]][[2，1]](*Jean-François Alcover公司2012年11月19日，Maple之后*）
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交叉参考
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关键词
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非n,美好的
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作者
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克里斯托夫·拉姆（Lamm（AT）math.uni-bonn.de）
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扩展
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状态
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经核准的
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A063696号
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| 分圆多项式Phi_n（x）中正系数的位置，从二进制转换为十进制。 |
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5
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0, 2, 3, 7, 5, 31, 5, 127, 17, 73, 21, 2047, 17, 8191, 85, 297, 257, 131071, 65, 524287, 273, 4681, 1365, 8388607, 257, 1082401, 5461, 262657, 4369, 536870911, 387, 2147483647, 65537, 1198665, 87381, 17454241, 4097, 137438953471, 349525
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,2
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评论
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Maple程序Phi_pos_terms和Phi_neg_terms是根据Lam和Leung论文中给出的公式建模的，它们计算所有整数x>1和所有n的正确结果，最多有两个不同的奇数素数因子（即，最多n=104）。其他程序如A063698号和A063694号.
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链接
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D.M.布鲁姆，关于分圆多项式的系数阿默尔。数学。《月刊》第75期，第372-377页，1968年。
H.W.Lenstra，消失的统一根之和，在程序中。200周年大会Wiskundig Genootschap（Vrije Univ.Amsterdam，1978），第二部分，第249-268页。
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MAPLE公司
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带有（数字理论）；[seq（Phi_pos_terms（j，2），j=0..104）]；
inv_p_mod_q:=（p，q）->op（2，op（1，msolve（p*x=1，q））；#求p的逆模q。
扩张：=proc（nn，x，e）局部n，i，s；n：=nn；i:=0；s：=0；而（n>0）做s：=s+（（x^e）^i）*（n mod x））；n:=地板（n/x）；i:=i+1；od；申报表；结束；
Phi_pos_terms:=proc（n，x）局部a，m，p，q，e，f，r，s；如果（n<2），则返回（x）；fi；a:=op（2，ifactors（n））；m：=nops（a）；p:=a[1]；e：=a[1][2]；如果（1=m），则返回（（（x^（p^e））-1）/（（x ^（p ^（e-1）））；fi；如果（2=m），则q:=a[2][1]；f：=a[2]；r：=inv_p_mod_q（p，q）-1；s：=inv_p_mod_q（q，p）-1；RETURN（（`if`（0=s，1，（（（x^（（s+1））*（（q^f）*（p^（e-1）））））-1）/（（x^（（q^f）*（p^（e-1）））-1）））*（`if`（0=r，1，（（x^（r+1）*（（p^e）*（q^（f-1）））））-1）/（（x^（（（p^e）*（q^（f-1））））-1））））））；fi；如果（（3=m）和（2=p）），则如果（1=e），则返回（every_other_pos（Phi_pos_terms（n/2，x），x，0）+every_oter_pos（Phi_neg_terms；否则返回（扩展（Phi_pos_terms（（n/（2^（e-1））），x），x，2^；fi；else printf（`无法使用三个或更多不同的奇素因子处理参数%a！\n`，n）；返回（0）；fi；结束；
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数学
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=局部（p）；如果（n<1，0，p=polcyclo（n））；总和（i=0，n，2^i*（polceoff（p，i）>0））
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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4, 1, 105, 385, 1365, 2145, 2805, 3135, 6545, 7917, 10465, 10465, 10465, 10465, 10465, 11305, 11305, 11305, 11305, 11305, 11305, 11305, 15015, 17255, 17255, 17255, 20615, 25935, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565, 26565
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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0,1
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评论
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铃木证明了每个n都存在一个（n）。
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链接
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铃木次郎，关于分圆多项式的系数，程序。日本科学院。序列号。数学。科学。63:7（1987），第279-280页。
R.C.沃恩，分圆多项式系数的界密歇根州数学。J.21（1974），289-295（1975）。
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例子
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Phi（105）=x^48+x^47+x^46-x^43-x^42-2x^41-x^40-x^39+x^36+x^35+x^34+x^33+x^32+x^31-x^28-x^26-x^24-x^22-x^20+x^17+x^16+x^15+x^14+x^13+x^12-x^9-x^8-2x^7-x^6+x^5+x^2+x+1，其中-2是x^7的系数），这是出现-2的最小k，因此a（2）=105。
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数学
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表[k=1；而[！MemberQ[系数表[Cyclotomic[k，x]，-n]，k++]；k、 {n，0，9}](*迈克尔·德弗利格，2015年9月29日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）=我的（k，v）；while（！setsearch（集合（Vec（polcyclo（k++））），-n），）；k个
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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扩展
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状态
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经核准的
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A063670号
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| 分圆多项式Phi_n（x）中非零系数的位置，从二进制转换为十进制。 |
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4
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2, 3, 3, 7, 5, 31, 7, 127, 17, 73, 31, 2047, 21, 8191, 127, 443, 257, 131071, 73, 524287, 341, 7003, 2047, 8388607, 273, 1082401, 8191, 262657, 5461, 536870911, 443, 2147483647, 65537, 1797851, 131071, 26181091, 4161, 137438953471, 524287
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,1
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评论
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当n为素数时，a（n）=2^n-1。似乎a（n）>=A005420号（n） 对于所有n（最多检查200），除了{11,12,15}和每当A005420号（n） =2^n-1（即，2^n-1是素数）-M.F.哈斯勒2007年4月30日
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链接
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MAPLE公司
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[seq（Phi_pos_terms（j，2）+Phi_neg_terms；
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数学
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a[n_]：=FromDigits[If[#！=0，1，0]和/@系数列表[Cyclotomic[n，x]，x]，2]；a[0]=2；表[a[n]，{n，0，38}](*Jean-François Alcover公司2012年12月11日*）
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黄体脂酮素
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（PARI）A063670号（n） =局部（p=polcyclo（n+！n））；如果（n，和（i=0，n，（polceoff（p，i）<>0）<<i），2）\\M.F.哈斯勒2007年4月30日
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交叉参考
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关键词
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非n,基础
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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1,105
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评论
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基于Mathematica帮助文件ref/Factor-Neat Examples中的注释。
x^n-1的第一个因式分解中，系数为2，表示n=105。
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链接
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例子
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a（4）=1，因为x^4-1=（x^2+1）（x+1）（x-1），这三项的最大系数是1。
第一次出现2是在n=105时，其中因子分解为：
（x-1）*（x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1）*（x^4+x^3+x^2+x+1）*
（x^24-x^23+x^19-x^18+x^17-x^16+x^14-x^13+x^12-x^11+x^10-x^8+x^7-x^6+x^5-x+1）*
（x^2+x+1）*（x^12-x^11+x^9-x^8+x^6-x^4+x^3-x+1）*
（x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1）*
（x^48+x^47+x^46-x^43-x^42-2*x^41-x^40-x^39+x^36+x^35+x^34+x^33+x^32+x^31-x^28-x^26-x^24-x^22-x^20+x^17+x^16+x^15+x^14+x^13+x^12-x^9-x^8-2*x^7-x^6-x^5+x^2+x+1）-N.J.A.斯隆2008年4月18日
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数学
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表[Max[Abs[Flatten[Coefficient List[Transpose[FactorList[x^i-1]][[1]，x]]]，{i，1，1000}]
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黄体脂酮素
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（PARI）a（n）={my（f=系数（x^n-1））；vecmax（向量（#f~，k，vecmax（应用（x->abs（x），Vec（f[k，1]））））；}\\米歇尔·马库斯，2018年12月5日
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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状态
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经核准的
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1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 4, 4, 4, 5, 5, 6, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 7, 8, 8, 10, 13, 12, 10, 12, 9, 11, 15, 13, 13, 14, 15, 13, 16, 15, 15, 14, 16, 24, 17, 21, 21, 16, 22, 28, 26, 23
(列表;图表;参考;听;历史;文本;内部格式)
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抵消
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0,8
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评论
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n≤30的术语来自Gallot等人论文的表1，该论文引用了Moller的结果。顺序A138475型给出了产生该最大系数的分圆多项式的最小阶。下面的Mathematica函数coef[k，n]给出了一种非常快速的方法（由于Grytczuk和Tropak），用于计算分圆多项式Phi（n，x）中x ^k以下的系数。
a（n）>n为118的第一个n。对于n>143，序列似乎是单调的。通过穷举搜索找到n=128以下的术语；随后的术语是通过一种速度快得多的爬山方法发现的。
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参考文献
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A.Grytczuk和B.Tropak，确定分圆多项式系数的数值方法，计算数论（Debrecen，1989），15-19，de Gruyter，柏林，1991。
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链接
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John Abbott和Nico Mexis，分圆因子与LRS简并，arXiv:2403.08751[math.AC]，2024。见第8-10页。
伊夫·加洛特（Yves Gallot）、彼得·莫雷（Pieter Moree）和惠布·霍默索姆（Huib Hommersom），分圆多项式系数的值分布，arXiv:0803.2483[math.NT]，2008年。
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例子
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对于分圆多项式Phi（105，x），得到了a（7）=2，其项为-2x^7。
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数学
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coef[k_，n_]：=模[{t，b=表[0，{k+1}]}，t=-MoebiusMu[n]*表[g=GCD[n，k-m]；MoebiusMu[g]*EulerPhi[g]，{m，0，k-1}]；b[[1]]=1；Do[b[[j+1]]=取[b，j]。取[t，-j]/j，{j，k}]；b] ；表[mx=1；r=PrimePi[k]+1；mnN=素数[r]；ps=反向[Prime[范围[r]]]；Do[d=整数位数[i，2，r]；n=次数@@Pick[ps，d，1]；c=绝对值[系数[k，n][[-1]]]；如果[c==mx，mnN=Min[mnN，n]，如果[c>mx，mx=c；mnN=n]]，{i，2^r-1}]；mx，{k，2，20}]
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交叉参考
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关键词
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非n
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作者
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T.D.诺伊，2008年3月19日，2008年4月14日，2009年2月16日
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状态
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经核准的
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